FAPBBblu08 - Divisione tra polinomi. Scomposizione in fattori. #474610

Teorema del resto

Trova per quale valore di $k$ i polinomi $k x^{3} - x^{2} - 5 k x - 3$ e $3 x^{3} + 8 k x^{2} + 3 x - 2 + k$ danno lo stesso resto nella divisione per $x + 1$ .

Sostituiamo $x =$ ________ nel primo e secondo polinomio per calcolare il resto in funzione di ________:

$R =$ ________ $- (- 1)^{2} - 5 k (- 1) - 3 =$ $- k - 1 + 5 k - 3 = 4 k - 4$ ;
$R = 3 \cdot (- 1)^{3} + 8 k \cdot (- 1)^{2}$ ________ $- 2 + k =$ $- 3 + 8 k - 3 - 2 + k = 9 k - 8$ .

Affinchè i due resti siano uguali deve essere soddisfatta la condizione

$4 k - 4 = 9 k - 8$ .

Risolviamo:

$- 5 k = - 4 \to k = \frac{4}{5}$ .

Completamento chiuso

Divisione tra polinomio e monomio

Completa le seguenti divisioni supponendo che il dividendo sia un polinomio ordinato in ordine decrescente.

a.

(

________

- \frac{1}{4} x y - 3 x^{2}) : (2 x) =

x^{2} -

________

-

________

b.

(4 a^{n + 2} - 10 a^{3 n} + a^{2 n + 1}) : (

________

) =

________

+ 5 a^{2} n -

________

Completamento chiuso

Teorema del resto

Per quale valore di

k

la divisione

[(k - 1) x^{3} + k x^{2} + 10 x + 8] : (x + 3)

ha resto

- 1

?

A:

3

B:

\frac{1}{3}

C:

- 3

D:

- \frac{1}{3}

Scelta multipla

Divisione fra polinomi

Calcola quoziente e resto della seguente divisione.

(x^{8} + x^{3} + x^{6} - x^{2} - 1) : (x^{4} - 1)

Il quoziente e il resto sono:
________.

Completamento chiuso

Trinomi speciali

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.
a.

x^{2} + 18 x - 19

b.

2 x^{4} + 5 x^{2} + 3

a.
Due numeri la cui somma sia ________ e il cui prodotto sia ________ sono

19

e

- 1

.
Quindi il trinomio può essere scomposto come segue:

x^{2} + 18 x - 19 = (x + 19) (x - 1)

.

b.
Due numeri la cui somma sia

5

e il cui prodotto sia

6

sono ________.
Quindi il trinomio può essere scomposto come segue:

2 x^{4} + 5 x^{2} + 3 =

2 x^{4} + 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 =

x^{2} (2 x^{2} + 3) + 2 x^{2} + 3 =

(2 x^{2} + 3) (x^{2} +

________

)

.

Completamento chiuso

Regola di Ruffini

Esegui le divisioni con la regola di Ruffini:

a. $(4 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1) : (x - 3)$ ;

b. $(9 a^{5} - \frac{1}{9} a) : (3 a + 2)$ .

a.

	$4$	________	$- 3$	$2$	$- 1$

________		$12$	$36$	$99$	$303$
	$4$	$12$	$33$	$101$	$302$

Il quoziente della divisione è

________,

mentre il resto è $302$ .

b.

Per poter applicare la regola di Ruffini, riscriviamo il divisore come $3 a + 2 = 3 (a + \frac{2}{3})$ .

	$9$	________	$0$	$0$	$- \frac{1}{9}$	$0$

________		$- 6$	$4$	$- \frac{8}{3}$	$\frac{16}{9}$	$- \frac{10}{9}$
	$9$	$- 6$	$4$	$- \frac{8}{3}$	$\frac{5}{3}$	$- \frac{10}{9}$

Il quoziente della divisione è

$3 a^{4} - 2 a^{3} + \frac{4}{3} a^{2} - \frac{8}{9} a + \frac{5}{9}$ ,

mentre il resto è ________.

Completamento chiuso

Quadrato di binomio

Trova i valori di

a

in modo che il trinomio

64 y^{2} - 12 a y + 9

rappresenti il quadrato di un binomio e scrivi poi la relativa scomposizione.

Il trinomio

64 y^{2} - 12 a y + 9

rappresenta il quadrato di un binomio per

a =

________ o per

a =

________.

In corrispondenza di tali valori di

a

, le scomposizioni del trinomio sono rispettivamente

(8

________________

3)^{2}

e

(8 y

________________

)^{2}

.

Completamento chiuso

Raccoglimento totale e parziale

Indica se le seguenti uguaglianze sono vere o false.

A:

2 (x - 1) y + x^{2} y =

y (x^{2} + 2 x - 2)

B:

x^{2} - a x + b x + x =

x (x - a - b)

C:

2 y^{n} + 4 y^{2 n} - 2 y^{3 n} =

2 y^{n} (1 + 2 y^{2} - y^{3})

D:

2 x^{2} - 2 y^{2} - x^{4} + x^{2} y^{2} =

(y^{2} - x^{2}) (x^{2} - 2)

E:

x^{4} - x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} =

(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)

F:

y^{6} - 2 y^{4} - 4 + 2 y^{2} =

(y^{4} + 2) (y^{2} - 2)

Vero o falso

Somma o differenza di cubi

Scomponi in fattori i seguenti polinomi.
a.

a^{4} b + a b

b.

\frac{27}{8} x^{6} - y^{3}

a.
Raccogliamo a fattor comune:
________.
Il termine

a^{3} + 1

è una somma di cubi:

a^{3} + 1 = (a + 1) (a^{2} -

________

+ 1)

La scomposizione completa quindi è:

a^{4} b + a b = a b (a + 1) (a^{2} - a + 1)

.

b.
Il polinomio è una ________ di cubi:

\frac{27}{8} x^{6} - y^{3} =

(\frac{3}{2}

________

- y) (\frac{9}{4} x^{4}

________

\frac{3}{2} x^{2} y

________

y^{2})

.

Completamento chiuso

Cubo di un binomio

Aggiungi un termine a ogni polinomio in modo che sia un cubo di binomio. Scrivi poi la relativa scomposizione.
a.

1 + 27 x^{3} + 27 x^{2}

b.

a^{3} - \frac{1}{8} b^{3} + \frac{3}{4} a b^{2}

c.

a^{9} - 1 + 3 a^{3}

a.
Il polinomio ricorda il cubo di ________:

(3 x + 1)^{3} = 27 x^{3} + 1 + 27 x^{2} +

________.
È necessario quindi aggiungere il termine

9 x

e la scomposizione è

(3 x + 1)^{3}

.

b.
Il polinomio ricorda il cubo di

a - \frac{1}{2} b

:

{(a - \frac{1}{2} b)}^{3} = a^{3} - \frac{1}{8} b^{3}

________

\frac{3}{2} a^{2} b + \frac{3}{4} a b^{2}

.
È necessario quindi aggiungere il termine

- \frac{3}{2} a^{2} b

e la scomposizione è

{(a - \frac{1}{2} b)}^{3}

.

c.
Il polinomio ricorda il cubo di ________:

(a^{3} - 1)^{3} = a^{9} - 1 - 3 a^{6} + 3 a^{2}

.
È necessario quindi aggiungere il termine

- 3 a^{6}

e la scomposizione è

(a^{3} - 1)^{3}

.

Completamento chiuso

Quadrato di un trinomio

Quale termine occorre aggiungere al polinomio

\frac{1}{4} x^{2} + x^{2} y^{4} + x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} x + x y^{2}

in modo che sia il quadrato di un trinomio? Individualo e scrivi la scomposizione.

Il termine da aggiungere al polinomio

\frac{1}{4} x^{2} + x^{2} y^{4} + x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} x + x y^{2}

affinché sia il quadrato di un trinomio è ________.
Con l'aggiunta di tale termine la scomposizione del polinomio è

(\frac{1}{2}

x +

________

+

________

)^{2}

.

Completamento chiuso

MCD e mcm fra polinomi

IL MCD e il mcm dei polinomi

4 a^{2} b^{3} + 8 a b^{3}

,

4 a^{2} b^{2} - 16 b^{2}

,

8 a^{2} b^{3} + 32 a b^{3} + 32 b^{3}

sono:

A:

MCD

= 4 b^{2} (a + 2)

;
mcm

= 32 a b^{3} (a + 2) (a - 2)

.

B:

MCD

= 4 b^{2} (a + 2)

;
mcm

= 32 a b^{3} (a + 2)^{2} (a - 2)

.

C:

MCD

= 4 b^{2} (a + 2)

;
mcm

= 8 a b^{3} (a + 2)^{2} (a - 2)

.

D:

MCD

= 8 a b^{3} (a + 2)^{2} (a - 2)

;
mcm

= 4 b^{2} (a + 2)

.

Scelta multipla

Differenza di due quadrati

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

a^{2} b^{6} - c^{4} = (a b^{3} + c^{2}) (c^{2} - a b^{3})

B:

x^{2 n} - y^{4 n} = (x^{n} - y^{2 n}) (y^{2 n} + x^{n})

, con

n \in N

.

C:

a^{2} + 1 - b^{2} = (a + 1 - b) (a + 1 + b)

D:

x^{2} - (y + 1)^{2} = (x - y + 1) (x + y + 1)

Vero o falso

Equazioni e scomposizioni

Risolvi le seguenti equazioni e verifica che sono equivalenti:

x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0

;

x^{2} - 1 = 0

;

x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0

.

Risolviamo ciascuna equazione:

•

x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0

;
Scomponiamo

x^{4} + 9 x^{2} - 10 =

(x^{2} +

________

) (x^{2} - 1)

.
Quindi l'equazione diventa

(x^{2} + 10) (x^{2} - 1) = 0

.
Per la legge di annullamento del prodotto,

x^{2} - 1 = 0 \to x =

________.

•

x^{2} - 1 = 0

;
Scomponiamo

x^{2} - 1 =

________.
Quindi l'equazione diventa

(x + 1) (x - 1) = 0 \to x = \pm 1

.

•

x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0

.
Scomponiamo

x^{3} + x^{2} - x - 1 =

x^{2} (x + 1)

________

(x + 1) =

(x^{2} - 1) (x + 1) = (x + 1)^{2} (x - 1)

.
Quindi l'equazione diventa

(x + 1)^{2} (x - 1) = 0

.
Per la legge di annullamento del prodotto

x =

________.

Poiché tutte e tre le equazioni hanno lo stesso dominio e le stesse soluzioni, sono equivalenti.

Completamento chiuso

Scomposizione con la regola di Ruffini

Scomponi in fattori il polinomio

x^{5} + x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 8

utilizzando la regola di Ruffini.

Per scomporre il polinomio con la regola di Ruffini è utile lo schema ________.
Quindi

P (x) = (x

________

) (

________

) .

Scomponiamo il secondo fattore:

x^{4} - x^{3} + 2 x - 4 =

(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) - x (x^{2}

________

) =

(x^{2}

________

) (x^{2} - x + 2)

.
Concludiamo che

P (x) = (x

________

) (x^{2}

________

) (x^{2} - x + 2)

.

Completamento chiuso