Sezione C #105749 - Prove ed esercizi Zanichelli

Primi elementi di calcolo infinitesimale

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + 520 x^{2} - 1}{- x^{4} - 30 x^{2}} =

A:

0

B:

- \infty

C:

- \frac{52}{3}

D:

- \frac{3}{4}

Scelta multipla

Le funzioni trascendenti

Quale fra le seguenti affermazioni individua correttamente gli zeri e il segno della funzione di variabile reale definita da

f (x) = \ln (2 x^{2} - 1)

?

A:

f

non ha zeri; il segno di

f (x)

è positivo se

x > \frac{1}{2}

ed è negativo se

x < \frac{1}{2}

.

B:

f

ha due zeri,

- \frac{1}{2}

e

\frac{1}{2}

; il segno di

f (x)

è positivo se

(x \frac{1}{2})

ed è negativo se

- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}

.

C:

- 1

e 1 sono gli zeri di

f

; il segno di

f (x)

è positivo se

x < - 11 v e e x > 1

ed è negativo se

(- 1 < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \lor \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1)

.

D:

- 1

e 1 sono gli zeri di

f

; il segno di

f (x)

è positivo se

x < - 11 v e e x > 1

ed è negativo se

- 1 < x < 1

.

Scelta multipla

Le funzioni algebriche; Le funzioni trascendenti

Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni è vera o falsa.

A:

Il dominio naturale della funzione definita da

f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}

è l'insieme

] - \infty, - 1] \cup [1, + \infty [

.

B:

Il dominio naturale della funzione definita da

\ln (x^{2} - 1)

è l'insieme

] 0, + \infty [

.

C:

Il dominio naturale della funzione definita da

e^{\frac{x - 1}{x^{2} - 3}}

è l'insieme

] - \infty, - \sqrt{3} [\cup [- \sqrt{3}, \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty [

.

D:

Il dominio naturale della funzione definita da

f (x) = \ln (3 x - 1) + \ln (x - 5)

è un insieme propriamente contenuto nel dominio naturale della funzione definita da

g (x) = \ln (3 x^{2} - 16 x + 5)

.

Vero o falso

Le funzioni trascendenti

Considera l'equazione e la disequazione seguenti:

\ln (2 x - 1) + \ln (x - 1) = 0

\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) > 3

e i relativi procedimenti risolutivi
Procedimento P₁:

\ln (2 x - 1) + \ln (x - 1) = 0 ⟺ \ln ((2 x - 1) (x - 1)) = 0 ⟺

⟺ \ln (2 x^{2} - 3 x + 1 = 0) ⟺ 2 x^{2} - 3 x + 1 = 1 ⟺ 2 x^{2} - 3 x = 0 ⟺ (x = 0 \lor x = \frac{3}{2})

.
Procedimento P₂:

\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) > 3 ⟺ x + 1 > (\frac{1}{3})^{3} ⟺ x > \frac{1}{8} - 1 ⟺ x > - \frac{7}{8}

.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?

A:

P₁ e P₂ sono entrambi corretti.

B:

P₁ e P₂ sono entrambi errati.

C:

P₁ è corretto, P₂ è errato.

D:

P₁ è errato e P₂ è corretto.

Scelta multipla

Le funzioni algebriche

Considera la funzione di variabile reale

f (x) = \frac{2 x^{3} - x + 1}{x^{2} - 1}

.
Quali fra le seguenti equazioni rappresentano tutti i suoi asintoti?

A:

x = 1

,

x = - 1

.

B:

y = 2

,

x = 1

,

x = - 1

.

C:

x = 1

,

y = 2 x

,

x = - 1

.

D:

x = 1

,

y = 2 x + 1

,

x = - 1

.

Scelta multipla

Primi elementi di calcolo infinitesimale

Considera la funzione di variabile reale definita da

f (x) = 3 x^{3} - 2 x + 1

.
Quale delle seguenti espressioni rappresenta il rapporto incrementale di

f

per

x = 2

?

A:

\frac{3 (2)^{3} + h - 2 (2) + h - 20}{h}

B:

\frac{3 (2)^{3} + h - 2 (2) + h + 1 - 21}{h}

C:

\frac{3 x^{3} + h - 2 x + h + 1 - 21}{h}

D:

\frac{3 (2 + h)^{3} + h - 2 (2 + h) - 20}{h}

Scelta multipla

Primi elementi di calcolo infinitesimale

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 100 x - 3}{2 x^{3} + 400 x^{2}} =

A:

+ \infty

B:

- \infty

C:

2

D:

\frac{1}{2}

Scelta multipla

Le funzioni circolari

Le due proposizioni seguenti:
p: l'equazione

\sin (3 x - 4) = 2

ha infinite soluzioni reali;
q: l'equazione

3 \cos (x - 4) = 3

ha infinite soluzioni reali;
sono:

A:

entrambe vere.

B:

p vera e q falsa.

C:

p falsa e q vera.

D:

entrambe false.

Scelta multipla

Le funzioni trascendenti

Quale fra le seguenti affermazioni individua correttamente gli zeri e il segno della funzione di variabile reale definita da

e^{x^{2} - 1} - 1

?

A:

f

non ha zeri; il segno di

f (x)

è positivo per ogni numero reale

x

.

B:

f

ha due zeri,

- 1

e 1; il segno di

f (x)

è positivo se

(x < - 1 \lor x > 1)

ed è negativo se

- 1 < x < 1

.

C:

0 è lo zero di

f

; il segno di

f (x)

è positivo se

x > 0

ed è negativo se

x < 0

.

D:

1 è lo zero di

f

; il segno di

f (x)

è positivo se

x > 1

ed è negativo se

x < 1

.

Scelta multipla

Le funzioni algebriche

Quale fra le seguenti affermazioni individua correttamente gli zeri e il segno della funzione di variabile reale definita da

f (x) = \frac{x + 5}{x^{2} + 3 x}

?

A:

Gli zeri di

f

sono

- 5

,

- 3

e 0; il segno di

f (x)

è positivo se

x > - 3

ed è negativo se

x > 0

.

B:

- 5

è lo zero di

f

; il segno di

f (x)

è positivo se

x > - 5

ed è negativo se

x < - 5

.

C:

- 5

è lo zero di

f

; il segno di

f (x)

è positivo se <

(- 50)

ed è negativo se

(x < - 5 \lor - 3 < x < 0)

.

D:

Gli zeri di

f

sono

- 3

e 0; il segno di

f (x)

è positivo se

(x 0)

ed è negativo se

- 3 < x < 0

.

Scelta multipla

Le funzioni circolari

Quale fra le seguenti affermazioni individua correttamente gli zeri e il segno della funzione di variabile reale definita da

f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})

sull'intervallo

[0, π]

?

A:

f

ha un solo zero,

\frac{π}{6}

; il segno di

f (x)

è positivo se

x > \frac{π}{6}

ed è negativo se

x < \frac{π}{6}

.

B:

f

ha due zeri,

\frac{π}{6}

e

\frac{2 π}{3}

; il segno di

f (x)

è positivo se

(0 < x < \frac{π}{6} \lor \frac{2 π}{3} < x < π)

ed è negativo se

\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}

.

C:

f

ha due zeri,

\frac{π}{6}

e

\frac{2 π}{3}

; il segno di

f (x)

è positivo se

\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}

ed è negativo se

(0 < x < \frac{π}{6} \lor \frac{2 π}{3} < x < π)

.

D:

f

ha due zeri,

\frac{π}{6}

e

\frac{2 π}{3}

; il segno di

f (x)

è positivo se

x > \frac{π}{6}

ed è negativo se

x < \frac{π}{6}

.

Scelta multipla