FIP01BBblu08 - Divisione fra polinomi, regola di Ruffini, teoremi del resto e di Ruffini #462618

Il polinomio

2 x^{3} + 11 x^{2} + 17 x + 6

è divisibile solo per uno dei seguenti binomi. Stabilisci qual è senza eseguire la divisione.

A:

x - 1

B:

2 x - 1

C:

x + 2

D:

x - 2

Scelta multipla

L'area di un rettangolo $R$ è

$2 a^{3} + 8 a^{2} b + 3 a b + 12 b^{2}$

e la base misura $2 a^{2} + 3 b$ , con $a, b > 0$ .

Trova l'area di un secondo rettangolo che ha altezza doppia rispetto a quella di $R$ e base uguale a quella di $R$ aumentata di $3 b$ .

L'altezza del rettangolo $R$ si ottiene eseguendo la divisione

$(2 a^{3} + 8 a^{2} b + 3 a b + 12 b^{2}) : (2 a^{2} + 3 b)$ .

$2 a^{3}$	$+ 8 a^{2} b$	$+ 3 a b$	$+ 12 b^{2}$	$2 a^{2}$	$+ 3 b$
$- 2 a^{3}$		$+ 3 a b$		$a$	$+$ ________
	$8 a^{2} b$		$12 b^{2}$
	$- 8 a^{2} b$		$- 12 b^{2}$
	$/$		$/$

L'altezza del secondo rettangolo è

$2 a$ $+$ ________ e la sua base è $2 a^{2} + 6 b$ .

L'area del secondo rettangolo è quindi

$4 a^{3} + 12 a b +$ ________ $+$ ________.

Completamento chiuso

Esegui la seguente divisione. Se possibile, usa la regola di Ruffini.

$[(a^{3} - 2)^{2} - (a^{2} + 1)^{3} + 4 a^{2}] : (1 - 3 a^{2})$

Eseguiamo i prodotti notevoli.

$[(a^{3} - 2)^{2} - (a^{2} + 1)^{3} + 4 a^{2}] : (1 - 3 a^{2}) =$

$($ ________ $- 4 a^{3} + a^{2} + 3) : (- 3 a^{2} + 1)$

Eseguiamo la divisione in colonna.

$- 3 a^{4}$	$- 4 a^{3}$	$+ a^{2}$		$+ 3$	$- 3 a^{2}$	$+ 1$
$+ 3 a^{4}$		$- a^{2}$			$a^{2}$	________
	________			$+ 3$
	$+ 4 a^{3}$		$- \frac{4}{3} a$
			$- \frac{4}{3} a$	________

Quindi

$Q = a^{2} +$ ________ e $R = - \frac{4}{3} a$ ________.

Completamento chiuso

Esegui la seguente divisione. Se possibile, usa la regola di Ruffini.

$(- \frac{3}{2} x^{3} + x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + x) : (\frac{1}{4} x^{2} + 3)$

Eseguiamo la divisione ________.

$x^{4}$	$- \frac{3}{2} x^{3}$	$- \frac{1}{2} x^{2}$	$+ x$		$\frac{1}{4} x^{2}$	$+ 3$
$- x^{4}$		$- 12 x^{2}$			________	$- 6 x$	$- 50$
	$- \frac{3}{2} x^{3}$	________	$+ x$
	$+ \frac{3}{2} x^{3}$		$+ 18 x$
		________	$+ 19 x$
		$+ \frac{25}{2} x^{2}$		$+ 150$
			$19 x$	$+ 150$

Otteniamo quindi

$Q =$ ________ e

$R = 19 x + 150$ .

Completamento chiuso

A:

Il polinomio

\frac{3}{2} x^{2} y z - 4 x^{2} z + \frac{1}{2} x y + y z^{2}

è divisibile per

y

.

B:

La divisione

(x^{2} + 4 x - x^{3} - 2) : (2 - x)

non si può eseguire con la regola di Ruffini.

C:

Se si divide un trinomio di grado

4

per un binomio di primo grado, il resto ha sicuramente grado

0

.

D:

Si può eseguire la divisione

(x^{6} y^{6} - 3 x^{3} y^{3} + 4 x y) : (y^{3 - n} + 1)

con la regola di Ruffini.

Vero o falso

Senza eseguire le divisioni, verifica che il polinomio

P (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12

è divisibile per

(x - 1) (x + 3)

ma non per

(x + 1) (x + 3)

.

Il polinomio

P (x)

è divisibile per

(x - 1) (x + 3)

se e solo se

P (1)

________

0

e

P (- 3)

________

0

.

P (1) = 1 + 6 + 5 - 12 = 0

P (- 3) = - 27 + 54 - 15 - 12 = 0

Quindi

P (x)

________ per

(x - 1) (x + 3)

.
Per dimostrare che il polinomio

P (x)

non è divisibile per

(x + 1) (x + 3)

basta verificare che

P (- 1)

________

0

.

P (1) = - 1 + 6 - 5 - 12 = - 12 \to

quindi

P (x)

non è divisibile per

(x + 1) (x + 3)

.

Completamento chiuso

Esegui la seguente divisione. Se possibile, usa la regola di Ruffini.

$(a^{4} + 4 a^{3} b - 3 a^{2} b^{2} - 13 a b^{3} + 4 b^{2}) : (a + 5 b)$

rispetto alla variabile $a$ .

$(a^{4} + 4 a^{3} b - 3 a^{2} b^{2} - 13 a b^{3} + 4 b^{2}) : (a + 5 b)$

È possibile usare la regola di Ruffini per eseguire la divisione.

	$1$	$5 b$	$- 3 b^{2}$	$- 13 b^{3}$	$4 b^{4}$

________		$- 5 b$	$0$	$15 b^{3}$	________
	$1$	$0$	$- 3 b^{2}$	________	________

Quindi $Q = a^{3} - 3 a b^{2} + 2 b^{3}$ e $R = - 6 b^{4}$ .

Completamento chiuso

Completa le seguenti uguaglianze, con

n \in N

.

a.

(4 a^{4} b^{5} - 3 a^{2} b^{8} + \frac{3}{2} a^{3} b^{6}) : (2 a^{2} b^{3}) =

________

-

________

b^{5} + \frac{3}{4} a b^{3}

b.

(8 a^{6} + \frac{1}{2} a^{5} - \frac{2}{3} a^{4} - a^{3}) : (

________

) =

- 4 a^{3} -

________

+ \frac{1}{3} a +

________

c.

(4 x^{5} - 3 x^{4} +

________

) :

(

________

) =

x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{1}{6}

d.

(12 a^{2}

________

+ 4 y^{n + 1} - 9 y^{2 n}) : (3 y^{n}) =

4 a^{2} +

________

- 3

________

Completamento chiuso

Associa a ogni divisione nella variabile

x

il suo resto.

(x^{3} - 2 x) : (2 x + 1)

________

(y x^{3} + 7 y^{4}) : (x + 2 y)

________

(x^{4} - x^{2} y^{2} - 2 x^{3} y) : (x - y)

________

(x^{4} + \frac{x^{3}}{8}) : (x - 1)

________

Posizionamento

Dato il polinomio $P (x) = + x^{2} - 3 x$ , trova quoziente e resto della divisione

$[2 P (k) + P (1 + k) + P (k^{2})] : (k - 2)$ .

Riscriviamo il dividendo come:

$2 P (k) + P (1 + k) + P (k^{2}) =$

$2 k^{2} -$ ________ $+ (1 + k)^{2}$ $- 3 (1 + k) +$ $k^{4} - 3 k^{2} =$

$k^{4} - 7 k - 2$ .

Eseguiamo la divisione con il metodo di Ruffini.

	$1$	$0$	$0$	$- 7$	$- 2$

________		$2$	$4$	$8$	$2$
	________	$2$	$4$	$1$	________

Otteniamo così

$Q =$ ________

e $R = 0$ .

Completamento chiuso

a. Determina il valore di

k

per cui

- 8 x^{4} - 2 x^{3} + x + 2 k - 6

dà resto

\frac{5}{3}

nella divisione per

x + 1

.
b. Trova il valore di

k

per cui

16 x^{3} - 6 x^{2} - x + k

è divisibile per

x - \frac{1}{4}

.

a. Per determinare il valore di

k

, imponiamo che

P (

________

1

)

= \frac{5}{3}

.
________

8 + 2 - 1 + 2 k - 6 = \frac{5}{3} \to

k =

________

b. Affinché

P (x)

sia divisibile per

x - \frac{1}{4}

è necessario che

P (\frac{1}{4})

________

0

.

16 \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} - 6 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4} + k

________

0

\to

k

________

\frac{3}{8}

Completamento chiuso

Trova la base maggiore del trapezio $A B C D$ , sapendo che la sua area misura

$a^{3} + \frac{7}{2} a^{2} + 4 a + \frac{3}{2}$ .

Per determinare la base maggiore del trapezio dobbiamo risolvere l'espressione

$2 (a^{3} + \frac{7}{2} a^{2} + 4 a + \frac{3}{2}) :$ ________ $-$ ________.

Eseguiamo prima la divisione.

$2 a^{3}$	$+ 7 a^{2}$	$+ 8 a$	$+ 3$	$2 a$	$+ 3$
$- 2 a^{3}$	$- 3 a^{2}$			$a^{2}$	________	$+ 1$
	$4 a^{2}$	$+ 8 a$	$+ 3$
	$- 4 a^{2}$	$- 6 a$
		$2 a$	$+ 3$
		$- 2 a$	$- 3$
			$0$

Si ottiene quindi che la base maggiore del trapezio è

________ $=$ ________.

Completamento chiuso

Trova, senza eseguirla, il resto

R

della divisione tra

n^{2} + 2

e

n + 1

. Sostituendo a

n

valori da

2

in poi, ottieni una divisione numerica che ha resto

R

solo per

n \geq 3

. Perché?

Sia

P (n) = n^{2} + 2

.
Il resto della divisione di

P (n)

per

n + 1

si ottiene calcolando

P (

________

) =

________.
Poiché deve essere

R

________

n + 1

, si ottiene

n

________

2

, quindi la divisione avrà resto

R

per

n

________________.

Completamento chiuso