Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Serie di funzioni e di potenze Serie di Fourier e analisi armonica Serie di Fourier

Le serie di Fourier

15 esercizi

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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

Date due funzioni

f_{1} (x)

f_{2} (x)

, con

f_{1} (x)

dispari e

f_{2} (x)

pari, indica quale delle seguenti affermazioni è falsa.

{f_{1}}^{2} (x) - f_{2} (x)

è pari.

| f_{1} (x) | + f_{2} (x)

è pari.

f_{1} (x^{2}) - f_{2} (3 x)

è dispari.

f_{1} (4 x) \cdot f_{2} (3 x)

è dispari.

f_{1} (x^{2}) \cdot f_{2} (x)

è pari.

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Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

La funzione

f (x) = \cos 3 x + \cos 5 x

è:

A: dispari e periodica di periodo

2 π

B: pari e non periodica perché 3 e 5 sono primi tra loro.

C: dispari e non periodica perché 3 e 5 sono primi tra loro.

D: pari e periodica di periodo

π

E: pari e periodica di periodo

2 π

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Matematica

Coefficienti di Fourier

I coefficienti di Fourier

a_{n}

n = 1, 2, . . .

nell'intervallo

[- π; π]

della funzione

f (x) = x^{2}

, sono:

(- 1)^{n} \frac{4}{n^{2}}, n = 1, 2, . . .

(- 1)^{n + 1} \frac{4}{n^{2}}, n = 1, 2, . . .

\frac{4}{n^{2}}, n = 1, 2, . . .

(- 1)^{n} \frac{2}{n^{2}}, n = 1, 2, . . .

0, \forall n \in N

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Matematica

Serie trigonometriche

La serie trigonometrica

2 \sum_{n = 1}^{+ \infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{π^{2} n^{2} - 6}{n^{3}} s e n n x, - π < x < π

è generata in

[- π; π]

dalla funzione:

f (x) = x^{5}

f (x) = x^{4}

f (x) = x^{3}

f (x) = x^{2}

f (x) = x

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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

Data la funzione

f (x) = π x - x^{2}, 0 \leq x \leq π

, allora la serie di Fourier del suo prolungamento pari è:

\frac{π}{6} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} c o s n x

; con

- π \leq x \leq π

\frac{π}{6} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} c o s n x

; con

- π < x < π

\frac{π}{6} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} c o s 2 n x

; con

- π < x < π

\frac{π}{6} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} c o s 2 n x

; con

- π \leq x \leq π

\frac{π}{6} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} c o s 2 n x

; con

- π \leq x \leq π x \neq 0

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Matematica

Analisi armonica

Lo spettro delle fasi iniziali della funzione

f (x) = (π^{2} - x^{2}) (3 x + 1)

, con

- π \leq x \leq π

, è:

α_{n} = a r c t g \frac{n}{6}

α_{n} = a r c t g \frac{n^{2}}{3}

α_{n} = a r c t g \frac{n}{3}

α_{n} = a r c t g \frac{9}{n}

α_{n} = a r c t g \frac{n}{9}

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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

La funzione

f (x) = 3 \cos (3 x + 1) + 4 s e n (5 x + 3)

è periodica con periodo

2 π

π

\frac{π}{5}

15 π

\frac{5}{3} π

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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

La funzione

y = 3 \cos (5 x) + \sqrt{3} s e n (5 x)

è la funzione sinusoidale:

y = 2 \sqrt{3} s e n (5 x + \frac{π}{3})

y = 12 s e n (5 x + \frac{π}{3})

y = 2 \sqrt{3} s e n (5 x + \frac{π}{6})

y = 12 s e n (5 x + \frac{π}{6})

y = 2 \sqrt{3} s e n (5 x + \frac{2 π}{3})

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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

L'integrale

\int_{- 2}^{2} x^{2} s e n x d x

è uguale a:

A: 0 perché la funzione integranda è una funzione dispari.

B: 0 perché la funzione integranda è una funzione pari.

2 \int_{0}^{2} x^{2} s e n x d x

perché la funzione integranda è una funzione pari.

- 2 \int_{0}^{2} x^{2} s e n x d x

perché la funzione integranda è una funzione dispari.

2 \int_{0}^{2} x^{2} s e n x d x

perché la funzione integranda è una funzione dispari.

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Matematica

Sviluppo di Fourier

La serie di Fourier

\frac{e^{- π} - e^{π}}{π} [- \frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} (\cos n x + n s e n n x)}{n^{2} + 1}]

è per

x \neq π + 2 k π

lo sviluppo in serie di Fourier del prolungamento periodico della funzione

f (x) = e^{- x}

definita in

] - π, π [

f (x) = e^{x}

definita in

] - π, π [

f (x) = e^{π x}

definita in

] - π, π [

f (x) = e^{- π x}

definita in

] - π, π [

f (x) = - e^{x}

definita in

] - π, π [

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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

Il prolungamento periodico pari di

f (x) = x^{4}

definita nell'intervallo

[0; 2]

è una funzione

A: periodica di periodo 4, pari e uguale a

f (x)

per ogni

x

appartenente all'intervallo

[- 2; 2 [

B: periodica di periodo 2, pari e uguale a

f (x)

per ogni

x

appartenente all'intervallo

[0; 2 [

C: periodica di periodo 4, dispari e uguale a

f (x)

per ogni

x

appartenente all'intervallo

[0; 2 [

D: periodica di periodo 2, dispari e uguale a

f (x)

per ogni

x

appartenente all'intervallo

[0; 2 [

E: periodica di periodo 4, pari e uguale a

f (x)

per ogni

x

appartenente all'intervallo

[0; 4 [

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Matematica

Funzione sinusoidale

La funzione sinusoidale

f (x) = - 5 \cos (π x + \sqrt{3})

ha ampiezza, periodo e frequenza rispettivamente uguali a

5, 2, \frac{1}{2}

- 5, 2, \frac{1}{2}

5, \frac{1}{2}, 2

- 5, \frac{1}{2}, 2

5, 2 π, \frac{1}{2 π}

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Matematica

Funzioni periodiche, pari e dispari

Un prolungamento periodico dispari della funzione

f (x) = 2 x + 1

, definita nell'intervallo

[0; 1]

, si ottiene riproducendo negli intervalli

[- 1 + k; 1 + k [

, con

k \in N

, la funzione:

f_{P} (x) = | 2 x - 1 |

x \in [- 1; 1]

f_{P} (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1, x \in [0; 1] \\ 2 x - 1, x \in [- 1; 0 [ \end{matrix}

f_{P} (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1, x \in [0; 1] \\ - 2 x - 1, x \in [- 1; 0 [ \end{matrix}

f_{P} (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1, x \in [0; 1] \\ - 2 x + 1, x \in [- 1; 0 [ \end{matrix}

f_{P} (x) = 2 x - 1

x \in [- 1; 1]

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Matematica

Coefficienti di Fourier

I coefficienti di Fourier

b_{n}

n = 1, 2, . . .

nell'intervallo

[- π; π]

della funzione

f (x) = x^{2} - 2 x

sono

A: uguali a quelli della funzione

f (x) = x^{2}

B: tutti nulli, poiché la funzione è pari.

C: uguali a quelli della funzione

f (x) = - 2 x

D: uguali ai coefficienti

a_{n}

, poiché la funzione è somma di una funzione pari e una funzione dispari.

E: tutti nulli, poiché la funzione è dispari.

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Matematica

Coefficienti di Fourier

I coefficienti di Fourier

b_{n}

n = 1, 2, . . .

nell'intervallo

[- 1; 1]

della funzione

f (x) = s e n (π x)

sono:

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} s e n (π x) s e n (n x) d x

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- 1}^{1} s e n (π x) s e n (n x) d x

b_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- 1}^{1} s e n (π x) s e n (\frac{n x}{2}) d x

b_{n} = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} s e n (π x) s e n (n x) d x

b_{n} = \int_{- 1}^{1} s e n (π x) s e n (n x) d x

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