L'integrazione #98712 - Prove ed esercizi Zanichelli

Integrali indefiniti

A quale dei seguenti integrali è equivalente

\int 3 f (\frac{x}{2}) d x

?

A:

\int 6 f (x) d x

B:

\int \frac{3}{2} f (x) d x

C:

\int \frac{2}{3} f (x) d x

D:

\int 3 f (x) d x

E:

\int 4 f (\frac{x}{3}) d x

Scelta multipla

Primitive e integrale indefinito

Dato il polinomio p(x) = 4x³ + 2x^k − 4, per quale valore di k una primitiva di p (x) è P (x) = x⁴ + x² − 4x + c?

A:

2

B:

1

C:

nessuno degli altri.

D:

−1

E:

0

Scelta multipla

Integrali indefiniti

Sia

f (x)

una funzione continua, di cui

F (x)

è una primitiva immediata. Quale delle seguenti uguaglianze è corretta?

A:

\int \frac{f (x)}{x} d x = \frac{F (x)}{x} + \int \frac{F (x)}{x^{2}} d x

B:

\int e^{x} f (x) d x = F (x) e^{x} + \int F (x) e^{x} d x

C:

\int x^{2} f (x) d x = x^{2} F (x) - \int 2 x f (x) d x

D:

\int f (x) \cos x d x = F (x) s e n x - \int s e n x F (x) d x

E:

\int f (x) \cdot f (x) d x = F (x) f (x) - \int f (x) f^{'} (x) d x

Scelta multipla

Integrali definiti - Calcolo delle aree di superfici piane

L'area della regione piana delimitata dal grafico di

y = x^{2} - 2 x

,

x \in [0; 3]

, e dall'asse

x

è data da:

A:

\int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

.

B:

\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

.

C:

\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x + \int_{2}^{3} (2 x - x^{2}) d x

.

D:

\int_{0}^{3} (2 x - x^{2}) d x

.

E:

\int_{0}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

.

Scelta multipla

Integrazione per sostituzione

Con l'opportuna sostituzione, l'integrale

\int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x

è uguale a:

A:

a r c t g e^{x} + c

.

B:

l n (e^{x} + e^{- x}) + c

.

C:

l n (e^{x} + 1) + c

.

D:

a r c t g (e^{x} + 1) + c

.

E:

nessuno degli altri.

Scelta multipla

Integrali indefiniti

Qual è il risultato dell'integrale

\int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x} d x

?

A:

\ln | x^{2} + x | + c

.

B:

\ln | 2 x + 1 | + c

.

C:

\ln | \frac{x + 1}{x} | + c

.

D:

\ln | \frac{x}{x + 1} | + c

.

E:

\ln | \frac{2 x + 1}{x^{2} + x} | + c

.

Scelta multipla

Integrazione per parti

Data l'uguaglianza

\int f (x) \ln x d x = - \frac{1}{x} \ln x + \int \frac{1}{x^{2}} d x

, la

f (x)

è uguale a:

A:

\frac{1}{x^{2}}

.

B:

- \frac{1}{x^{2}}

.

C:

- x^{2}

.

D:

\frac{1}{x}

.

E:

- \frac{1}{x}

.

Scelta multipla

Integrali indefiniti

Dato l'integrale

\int \frac{1}{9 - 6 x + x^{2}} d x

, il suo risultato è:

A:

\frac{1}{3 - x} + c

.

B:

- \frac{1}{{(3 - x)}^{3}} + c

.

C:

\frac{1}{x - 3} + c

.

D:

\frac{1}{2} \ln | 9 - 6 x + x^{2} | + c

.

E:

(3 - x)^{3} + c

.

Scelta multipla

Integrali definiti - Integrazione per sostituzione

Calcoliamo l'integrale

\int_{4}^{9} \frac{1}{x - \sqrt{x}} d x

per sostituzione ponendo

t = \sqrt{x} - 1

. Otteniamo:

A:

2 \ln 2

.

B:

\ln 9 - \ln 4

.

C:

\ln 5

.

D:

\ln 2

.

E:

2 \cdot (\ln 9 - \ln 4)

.

Scelta multipla

Integrali impropri

Quale, fra i seguenti integrali impropri, è convergente?

A:

\int_{3}^{+ \infty} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x

B:

\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x

.

C:

\int_{1}^{2} \frac{1}{x - 1} d x

D:

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{4}} d x

E:

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

Scelta multipla

Integrali impropri

La funzione

f (x)

è continua

\forall x \in R - {0}

ed è tale che

lim_{x \to 0} f (x) = + \infty

. Quale, fra i seguenti integrali, non è improprio?

A:

\int_{2}^{100} f (x) d x

.

B:

\int_{2}^{+ \infty} f (x) d x

.

C:

\int_{- \infty}^{- 1} f (x) d x

.

D:

\int_{0}^{3} f (x) d x

.

E:

\int_{- 1}^{1} f (x) d x

.

Scelta multipla

Solidi di rotazione - Calcolo dei volumi

Quale dei seguenti integrali permette di calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all'asse x della regione di piano della figura?

A:

π \int_{2}^{5} \frac{1}{2} \sqrt{9 x^{2} - 36} d x

B:

π \int_{2}^{5} \frac{1}{4} (9 x^{2} - 36) d x

C:

\int_{2}^{5} \frac{1}{2} \sqrt{9 x^{2} - 36} d x

D:

π \int_{2}^{5} \frac{1}{2} (9 x^{2} - 36) d x

E:

\int_{2}^{5} \frac{1}{4} (9 x^{2} - 36) d x

Scelta multipla

Calcolo delle aree di superfici piane

L'area del trapezoide delimitato dalla funzione y = x³ in [−1; 0] è uguale a:

A:

\frac{1}{4}

.

B:

3.

C:

−

\frac{1}{3}

.

D:

\frac{1}{3}

.

E:

- \frac{1}{4}

.

Scelta multipla

Calcolo delle aree di superfici piane

Quanto vale l'area del trapezoide in figura?

A:

\frac{45}{2}

B:

- \frac{45}{2}

C:

- \frac{70}{3}

D:

\frac{70}{3}

E:

\frac{343}{6}

Scelta multipla

Calcolo delle aree di superfici piane

Quanto vale l'area della superficie indicata in figura?

A:

−10

B:

−

\frac{23}{3}

C:

10

D:

\frac{23}{3}

E:

\frac{7}{3}

Scelta multipla