Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Derivate Approfondimenti sulle derivate Teorema di De L'Hospital

I teoremi del calcolo differenziale

16 esercizi

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Matematica

Il teorema di Lagrange

La funzione

y = \sqrt[3]{x^{2} - x}

A: non è derivabile solo in

x = 0

B: ha due cuspidi.

C: è derivabile

\forall x \in R

D: non è continua

\forall x \in R

E: ha due flessi a tangente verticale.

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Matematica

Il teorema di Lagrange

La funzione

y = \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}}

A: ha una cuspide in

x = 0

e un flesso a tangente verticale in

x = 1

B: ha due cuspidi in

x = 0

x = 1

C: è derivabile

\forall x \in R

D: non ha punti stazionari.

E: ha punti stazionari in

x = 0

x = \frac{2}{3}

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Matematica

Il teorema di Lagrange

In figura è mostrato il grafico di una funzione

f (x)

. Fra le seguenti affermazioni solo una è falsa. Quale?

f (x)

è decrescente in

[a; b]

f (x)

è decrescente in

[0; d]

f^{'} (x) > 0

[c; 0 [

f (x)

è crescente in

] e; + \infty [

f (x) < 0

] - \infty; b [

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Matematica

Il teorema di Lagrange

Solo a una delle seguenti funzioni è possibile applicare il teorema di Lagrange nell'intervallo [−2; 2]. Quale?

A: y = |x² - 2x|

B: y = |x|

C: y = 1 − |x|²

D: y = |x| − 1

E: y = |x² − 1|

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Matematica

Il teorema di De L'Hospital

Solo uno dei seguenti limiti vale

0

. Quale?

lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - x}{e^{3 x}}

lim_{x \to 0^{+}} e^{t g x \ln x}

lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x^{2} - 4}

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{s e n x}

lim_{x \to + \infty} \frac{4 x^{3}}{1 + x^{2} + x^{3}}

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Matematica

Il teorema di De L'Hospital

I seguenti limiti sono tutti uguali a

2

, tranne uno. Quale?

lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{3} - x^{4}}

lim_{x \to \infty} \frac{1 - 2 x^{2}}{4 - x^{2}}

lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}

lim_{x \to 0^{+}} 2 e^{t g x \ln x}

lim_{x \to \infty} 2 {(x^{2} - 8 x)}^{\frac{1}{x}}

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Matematica

Il teorema di De L'Hospital

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} - 1}

vale:

A: 1.

B: 3.

C: 0.

D: 2.

E: −1.

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Matematica

Il teorema di De L'Hospital

Fra i seguenti limiti, solo uno non è uguale a 0. Quale?

lim_{x \to 0} x \cdot c o t g x

lim_{x \to \frac{π}{2}} t g x \cdot (1 - s e n x)

lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot \ln x

lim_{x \to 0} (\frac{1}{s e n x} - c o t g x)

lim_{x \to 4^{+}} (x - 4) \cdot \ln (x^{2} - 16)

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Matematica

Il teorema di Rolle

La funzione

y = | x | e^{| x |}

soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle in [−1; 1]?

A: Sì.

B: No, perché non è derivabile in

x = 0

C: No, perché

f (- 1) \neq f (1)

D: No, perché non è derivabile negli estremi dell'intervallo.

E: No, perché non è continua in

x = 0

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Matematica

Il teorema di De L'Hospital

Il limite

lim_{x \to 0^{+}} x^{k} \ln x

con

k > 0

, vale:

A: non esiste.

0

+ \infty

- \infty

1

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Matematica

Il teorema di De L'Hospital

Il limite

lim_{x \to 0} \frac{{(x + 4)}^{x + 1} - 4}{x}

vale:

4 \ln 4 + 4

0

4 \ln 4 + \frac{1}{4}

8 \ln 2 + 1

4 \ln 4 - 1

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Matematica

Il teorema di De L'Hospital

Fra i seguenti limiti, solo uno non è uguale a

2

. Quale?

lim_{x \to 0} \frac{- x^{2}}{2 \ln | \cos x |}

lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x^{3}}{x^{2} - x^{3} + 2}

lim_{x \to 0} \frac{2 t g x}{x}

lim_{x \to + \infty} \frac{2 (x^{2} + \ln x)}{x^{2}}

lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} x}{1 - s e n x}

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Matematica

Il teorema di Lagrange

La funzione y = 2x³ − 3x² + 6 è:

A: non crescente se 0 < x < 2.

B: crescente se x < 0 ∨ x > 1.

C: costante se 0 < x <

\frac{1}{2}

D: monotòna ∀ x ∈

R

E: decrescente se x > 0.

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Matematica

I teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy

La funzione rappresentata nel grafico in figura:

A: ha un punto stazionario in x = 2.

B: ha y'

\geq

0 ∀ x ≠ ±1.

C: verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [−1; 1].

D: è continua ma non è derivabile in x = 0.

E: è sempre crescente in

R

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Matematica

Il teorema di Lagrange

Una sola delle seguenti funzioni non verifica le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [-1; 1]. Quale?

y = \frac{1}{x^{2} + x - 2}

y = \sqrt[3]{x^{2} - 1}

y = \sqrt{1 - x^{2}}

(x^{2} - 1)^{4}

y = e^{\sqrt{1 - x^{2}}}

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Matematica

Il teorema di Lagrange

La funzione y = x³ − (a + 2)x − 1 è crescente ∀ x ∈

R

se:

A: a > −2.

B: a ∈

R

C: a ≥ −2.

D: a < −2.

E: a ≤ −2.

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