Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Integrali Integrali indefiniti Primitiva di una funzione

Gli integrali indefiniti

15 esercizi

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

Data la funzione

f (x) = \frac{- 3 e^{x}}{{(e^{x} + 2)}^{2}}

, la sua primitiva il cui grafico passa per il punto

(0; 1)

è:

f (x) = \frac{3}{e^{x} + 2}

f (x) = \frac{1}{e^{x} + 2} + \frac{2}{3}

f (x) = \frac{- 3}{e^{x} + 2} + 2

f (x) = \frac{9}{{(e^{x} + 2)}^{2}}

f (x) = \frac{9}{{(e^{x} + 2)}^{2}} - 1

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

Delle seguenti funzioni una è primitiva di

y = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}

. Quale?

y = \frac{1}{2} a r c t g 2 \sqrt{x}

y = a r c t g 2 \sqrt{x}

y = \frac{1}{(1 + 4 x)^{2}}

y = \ln | 1 + 4 x |

y = \sqrt{x} \ln | 1 + 4 x |

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

Quale tra le seguenti funzioni ha per primitiva

y = \sqrt{2 x^{2} - 4 x}

y = \frac{2 (x - 1)}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

y = \frac{1}{2 x^{2} - 4 x}

y = \frac{4 x - 4}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

y = \frac{x - 1}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

La funzione F(x) = p·senx + 2q·sen³x è una primitiva di f(x) = 8cos x − 6cos³x se:

A: p = −2, q = 1.

B: non è possibile trovare i valori di p e q.

C: p = 2, q = −1.

D: p = 1, q = 2.

E: p = 2, q = 1.

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Integrali indefiniti immediati

Affinché

\int \frac{d x}{x^{2} + 8} = \frac{\sqrt{2}}{4} a r c t g [f (x)] + c

occorre che

f (x)

sia uguale a:

\frac{x}{2 \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{8} x

\frac{4}{\sqrt{2} x}

\frac{\sqrt{2} x}{2}

\frac{2}{\sqrt{2} x}

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Matematica

Integrali indefiniti immediati

L'uguaglianza

\int \frac{1}{2 \sqrt{f (x)}} d x = \sqrt{f (x)} + c

è generalmente falsa. Tuttavia vale per una delle seguenti funzioni. Quale?

f (x) = x + 28

f (x) = s e n x

f (x) = 3 x

f (x) = e^{x}

f (x) = x^{2}

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Matematica

Integrali indefiniti immediati

Considera

f (x) = \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{4}}

. Fra le seguenti funzioni, una sola è una sua primitiva. Quale?

- \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}} - \frac{7}{3}

\frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3}}

\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}} + 5

x^{- \frac{7}{3}} + c

- \frac{3}{7} x^{\frac{3}{7}} + 2

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Integrali indefiniti immediati

Che valori devono assumere gli esponenti reali

a

b

affinché sia vera l'uguaglianza

\int \frac{3 + 2 x^{a} - 6 x^{b}}{x^{2}} d x = - \frac{3}{x} + x^{2} - 2 x^{3} + c

a = 3 \land b = 5

a = 2 \land b = 4

a = 4 \land b = 5

a = 3 \land b = 4

E: Nessuna delle altre risposte.

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Matematica

Integrazione per sostituzione

Per risolvere

\int \sqrt{16 - x^{2}} d x

quale sostituzione si utilizza?

x = 4 s e n t

\sqrt{16 - x^{2}} = t - x

x = 4 - \cos t

x = 4 - s e n t

t^{2} = 16 - x^{2}

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Matematica

Integrazione per sostituzione

L'integrale

\int \frac{1}{\sqrt{x} - x} d x

con la sostituzione

\sqrt{x} = t

si trasforma in:

2 \int \frac{d t}{1 - t}

\int \frac{t}{1 - t} d t

2 \int \frac{t}{1 - t} d t

\int \frac{d t}{1 - t}

\int \frac{2}{t - t^{2}} d t

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Matematica

Integrazione per sostituzione

Con l'opportuna sostituzione, l'integrale

\int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x

è uguale a:

a r c t g e^{x} + c

l n (e^{x} + e^{- x}) + c

l n (e^{x} + 1) + c

a r c t g (e^{x} + 1) + c

E: nessuno degli altri.

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Matematica

Integrazione per parti

Se applichiamo il metodo di integrazione per parti all'integrale ∫ x · cos xdx:

A: dobbiamo porre f(x) = x e g '(x) = cos x.

B: dobbiamo porre f'(x) = x e g '(x) = cos x.

C: dobbiamo porre f(x) = cos x e g '(x) = x.

D: dobbiamo porre f(x) = x e g(x) = cos x.

E: non riusciamo a risolvere l'integrale perché esso non si risolve in alcun modo per parti.

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Matematica

Integrazione per parti

Nell'uguaglianza

\int 2 x e^{h (x)} d x = 2 x e^{h (x)} - \int 2 e^{h (x)} d x

è stato applicato il metodo di integrazione per parti.

h (x)

è uguale a:

x^{2}

\frac{x}{4}

x

2 x

\frac{x}{2}

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

Dato il polinomio p(x) = 4x³ + 2x^k − 4, per quale valore di k una primitiva di p (x) è P (x) = x⁴ + x² − 4x + c?

A: 2

B: 1

C: nessuno degli altri.

D: −1

E: 0

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Matematica

Integrazione per sostituzione

Se nell'integrale

\int \frac{x + e^{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

utilizziamo il metodo di sostituzione, ponendo

t = \sqrt{x}

, otteniamo:

\int \frac{t^{2} + e^{2 t}}{t^{2}} d t

\int 2 (t^{2} + e^{2 t}) d t

\int (t^{2} + e^{2 t}) d t

\int \frac{t^{2} + e^{2 t}}{t} d t

\int \frac{t^{2} + e^{2 t}}{2} d t

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