Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Polinomi Problemi e polinomi Risolvere problemi con i polinomi

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9 esercizi

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Matematica

Quali sono il perimetro

2 p

e l'area

A

della figura?

2 p = 8 x + 8

A = 3 x^{2} + 8 x + 3

2 p = 4 x + 4

A = 3 x^{2} + 8 x + 3

2 p = 8 x + 8

A = 11 x + 3

2 p = 8 x + 8

A = 3 x^{2} + 5 x + 3

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Matematica

Un terreno quadrato di lato

x + 1

è rappresentato in verde scuro in figura. La sua recinzione viene spostata in modo da allungare il lato di

\frac{1}{2} x

, aumentando la superficie della parte indicata in verde chiaro. Esprimi l'incremento dell'area con un polinomio ridotto.

L'area iniziale del quadrato è

A = (x + 1)^{2} = x^{2}

________

2 x + 1

.

Dopo che il lato è stato incrementato, la sua lunghezza è

(x + 1)

________

\frac{1}{2} x =

________

+ 1

.

L'area verde chiaro quindi è

{(\frac{3}{2} x + 1)}^{2} = \frac{9}{4} x^{2} +

________

x

+ 1

.

Quindi l'incremento è pari a:

(\frac{9}{4} x^{2} + 3 x + 1) - (x^{2} + 2 x + 1) =

________.

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Matematica

Un puzzle 3D è stato costruito utilizzando legno di densità diverse. Indicata con

x

la densità del legno chiaro e con

y

quella del legno scuro (entrambe espresse in g/cm³), scrivi il polinomio che rappresenta la densità complessiva del puzzle.

Il puzzle 3D è costituito da
________.
Il volume complessivo della parte in legno chiaro, in cm³, è
________,
mentre quello della parte in legno scuro è
________.
Poiché la densità si ottiene dal rapporto tra massa e volume, la massa complessiva della parte in legno chiaro, espressa in grammi, è
________,
quella della parte in legno scuro è
________.
La densità complessiva del puzzle è allora
________,
ovvero
________.

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Matematica

Un hotel ha

60

camere, tra suite e standard. Il prezzo delle suite è di

140

€ a notte, quello delle standard è di

80

€ a notte. Indica con

x

il numero delle suite ed esprimi, tramite un polinomio, l'incasso totale dell'hotel in un giorno in cui sono occupati metà delle suite e un terzo delle camere standard.

Se

x

è il numero delle suite, il numero delle camere standard è ________.
L'incasso totale dell'hotel nel giorno richiesto è dato da:
________

x \cdot 140 +

\frac{1}{3}

________

\cdot 80

.
Svolgiamo i calcoli:

70 x + (20 - \frac{1}{3} x) \cdot 80 =

70 x + 1600 - \frac{80}{3} x =

________

+ 1600

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Matematica

In un rettangolo la base misura

a + 3

e l'altezza

a + 2

. Se raddoppiamo la base e aumentiamo l'altezza di

3

, di quanto aumentano perimetro e l'area del rettangolo?

Indichiamo con

b

h

rispettivamente la base e l'altezza iniziali del rettangolo.

Il perimetro e l'area iniziali sono:

2 p =

2 (b + h) =

2 (a + 3 + a + 2) =

________

a + 10

A = b \cdot h =

(a + 3) (a + 2) = a^{2} +

________

a + 6

.

Determiniamo le misure

b^{'}

h^{'}

dopo l'aumento:

b^{'} = 2 b = 2 (a + 3) = 2 a +

________;

h^{'} =

________

=

________.

I nuovi perimetro e area sono:

2 p^{'} = 2 (b^{'} + h^{'}) = 2 (2 a + 6 + a + 5) =

2 (3 a + 11) = 6 a + 22

;

A^{'} = b^{'} \cdot h^{'} = (2 a + 6) (a + 5) =

2 a^{2} + 16 a +

________.

Gli incrementi quindi sono:

2 p^{'} - 2 p = 6 a + 22 - (4 a + 10) =

2 a +

________.

A^{'} - A = 2 a^{2} + 16 a + 30 - (a^{2} + 5 a + 6) =

a^{2} +

________

a + 24

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Matematica

Somma al triplo di un numero dispari il doppio del numero dispari successivo. Qual è la cifra delle unità del numero ottenuto? Motiva la risposta.

Indichiamo con ________ il numero dispari. Allora il numero dispari successivo è ________.
Traduciamo la richiesta del problema in un'espressione e svolgiamo i calcoli:

3 (2 n + 1) + 2 (2 n + 3) =

6 n +

________

+ 4 n + 6 = 10 n + 9

.
Quindi la cifra delle unità del numero ottenuto è ________.

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Matematica

Durante una lezione di laboratorio di chimica, una classe viene divisa in due gruppi per testare la solubilità del sale da cucina in due diversi tipi di solvente. La solubilità è la quantità massima di sostanza che può sciogliersi in una data quantità di solvente a una certa temperatura. La classe ha a disposizione

n

tipi di solvente il primo gruppo sceglierà due solventi a piacere, poi il secondo ne sceglierà altri due fra quelli rimasti.
a. Trova i polinomi

A (n)

B (n)

, ridotti in forma normale, che esprimono il numero di soluzioni che possono realizzare rispettivamente il primo e secondo gruppo.
b. Se in totale ci sono

10

solventi, quante soluzioni può realizzare ciascun gruppo?

a. I polinomi che esprimono il numero di soluzioni sono:

A (n) = \frac{1}{2} n

________

(n - 1) =

\frac{1}{2} n^{2}

________

\frac{1}{2} n

;

B (n) = \frac{1}{2} (n - 2) (n +

________

) =

\frac{1}{2} (n^{2} - 5 n + 6) =

\frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n

________.

b. Calcoliamo

A (n = 10)

B (n = 10)

A (n = 10) = \frac{1}{2} \cdot 10^{2} - \frac{1}{2} \cdot 10 =

________;

B (n = 10) = \frac{1}{2} \cdot 10^{2} - \frac{5}{2} \cdot 10 + 3 =

________.

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Matematica

Scrivi un numero di tre cifre e il numero che si ottiene scambiando la cifra delle centinaia con quella delle unità. Dimostra che la differenza fra i due numeri è divisibile sia per

11

sia per

9

.

Indichiamo il numero di tre cifre come

100 x + 10 y + z

. Il numero che si ottiene scambiando la cifra delle centinaia con quelle delle unità ________.
La differenza tra i due numeri è

100 x + 10 y + z - (100 z + 10 y + x) =

100 x + 10 y + z - 100 z - 10 y - x =

99 x

________

=

99

________.
Qunidi il numero è divisibile ________.

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Matematica

Osserva il mattone in figura, le cui misure sono in centimetri. I tre fori a forma di parallelepipedo sono tutti uguali, equidistanti tra loro e dai bordi esterni del mattone e hanno la stessa altezza del mattone.
a. Determina il volume del mattone in cm³.
b. Trova il volume nel caso in cui

a

diminuisca del

25 %

.
c. È possibile che

a = 2

? E che

a = 6

? E che

a = 8

? Calcola il volume del mattone, in cm³, quando

a = 2

, prima e dopo la riduzione di

a

. Di quanto è diminuito il volume, in percentuale?

a. Determiniamo il volume del singolo parallelepipedo:

V_{p} = b_{p} \cdot h_{p} \cdot p_{p} =

\frac{1}{3} (24 -

________

a) \cdot 6 \cdot (12 - 2 a) =

(8 - \frac{4}{3} a)

________

(72 - 12 a) =

16 a^{2} - 192 a + 576

.
Il volume del mattone quindi è

V = 6 \cdot 12 \cdot 24 - 3 V_{p} =

1728 - 3 (16 a^{2} - 192 a + 576) =

1728

________

+ 576 a - 1728 =

576 a

________

48 a^{2}

.

b. Il valore di

a

diminuito è:

a^{'} = a -

________

a =

\frac{3}{4} a

.
Quindi il volume è

V^{'} = 576 a^{'} - 48 a^{' 2} =

576 \cdot \frac{3}{4} a - 48 \cdot

________

a^{2} =

432 a -

________

a^{2}

.

c. ________ possibile che

a = 2

.
È possibile che

a = 6

.
________ possibile che

a = 8

.
Calcoliamo

V

V^{'}

per

a = 2

V (a = 2) = 576 \cdot 2 - 48 \cdot 2^{2} = 960

cm³;

V^{'} (a = 2) = 432 \cdot 2 - 27 \cdot 2^{2} =

________ cm³.
Il volume, in percentuale è diminuito di:

\frac{V - V^{'}}{V} \cdot 100 =

\frac{960 - 756}{960} \cdot 100 = 21, 25 %

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