Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Polinomi Definizioni sui polinomi Grado di un polinomio

Fai il punto sulle competenze - Polinomi, grado e funzioni polinomiali

9 esercizi

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Matematica

Trova

n \in N

in modo che

\frac{1}{2} x^{3} y - 2 x^{2} + 5 x^{n - 4}

:
a.   sia un polinomio;
b.   abbia termine noto non nullo;
c.   sia un trinomio.

a.   L'espressione è un polinomio se tutti gli esponenti sono numeri interi positivi o nulli. Pertanto,

n

deve essere ________

4

, da cui ________.
b. L'espressione ha termine noto non nullo se il termine

5 x^{n - 4}

è non nullo, ovvero

n =

________.
c. L'espressione deve prima di tutto essere un polinomio, quindi

n \geq 4

. Inoltre, il termine

5 x^{n - 4}

deve avere un grado diverso rispetto

- 2 x^{2}

n - 4 \neq 2

, da cui ________. Quindi l'espressione è un trinomio se

n \geq 4 \land n \neq 6

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Matematica

Vero o falso?
Il polinomio

1 - 3 x + 2 x^{2} y

A: è un trinomio di grado

2

B: ha grado

2

rispetto a

x

e grado

1

rispetto a

y

C: è completo rispetto alla lettera

y

D: è ordinato rispetto alla lettera

x

E: è ordinato secondo le potenze decrescenti di

y

Vero o falso

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Matematica

Associa a ciascun polinomio la sua caratteristica distintiva.

a.

2 x^{3} - 3 x + 1

________

b.

2 x y^{4} - y^{5} + x^{3} y^{2}

________

c.

\frac{1}{2} + a^{2} - 2 a

________

d.

x^{4} - 16 x^{2} y + x^{3} + y^{3}

________

Posizionamento

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Matematica

Associa a ciascun polinomio i suoi zeri.

a.

x^{2} - 3 x + 2

________

b.

x^{2} - x

________

c.

x^{2} - 4

________

d.

x^{2} + x - 2

________

Posizionamento

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Matematica

Dati i polinomi

P (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 2 x - 3

Q (x) = - x^{3} - \frac{x}{2} + 1

, calcola:
a.

P (- 2) - 2 P (- 1) - Q (- 2)

;
b.

[P (2) - Q (- 1)] \cdot \frac{Q (0)}{2}

.

a. Calcoliamo

P (- 2)

P (- 1)

Q (- 2)

P (- 2) = \frac{1}{2} (- 2)^{4} - 2 (- 2) - 3 =

________;

P (- 1) = \frac{1}{2} (- 1)^{4} - 2 (- 1) - 3 = - \frac{1}{2};

Q (- 2) = - (- 2)^{3} - \frac{- 2}{2} + 1 =

________.
Quindi

P (- 2) - 2 P (- 1) - Q (- 2) =

________.

b.

P (2), Q (- 1)

Q (0)

P (2) = \frac{1}{2} 2^{4} - 2 \cdot 2 - 3 = 1

;

Q (- 1) = - (- 1)^{3} - \frac{- 1}{2} + 1 =

________;

Q (0) = - (0)^{3} - \frac{0}{2} + 1 = 1

.
Quindi

[P (2) - Q (- 1)] \cdot \frac{Q (0)}{2} = - \frac{3}{4}

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Matematica

Vero o falso?

P (x)

è un quadrinomio completo di terzo grado tale che

P (- 1) = 0

. Allora:

0

è uno zero di

P (x)

P (x)

può essere

x^{2} + x^{3} - 4 - 4 x

P (x)

può avere tutti i coefficienti, compreso il termine noto, uguali a

1

P (1) = - P (- 1)

Vero o falso

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Matematica

Data l'espressione

- 8 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{n - 3} + 6 x^{n - 2}

, con

n \in N

, determina per quali valori di

n

si ha:
a.   un polinomio;
b.   un polinomio completo;
c.   un trinomio;
d.   un binomio;
e.   un polinomio di grado

6

;
f. un monomio.

a. L'espressione è un polinomio se tutti gli esponenti sono numeri interi positivi o nulli. Quindi devono essere soddisfatte le due condizioni

n > 3

n \geq 2

, da cui ________.

b. L'espressione è un polinomio completo se sono presenti i monomi di ogni grado, ossia dal grado

0

al grado

3

. Quindi

n =

________.

c. L'espressione deve essere un polinomio, quindi

n \geq 3

. Per ottenere un trinomio, le possibilità sono: ________ o

n = 6

, entrambe soluzioni accettabili.

d. L'espressione deve essere un polinomio, quindi

n \geq 3

. Poniamo inoltre

n - 3 = 2

n - 2 = 3

che hanno come soluzione

n =

________. Questo valore non è però accettabile perché l'espressione per

n = 5

diventa un ________. Quindi non esiste un numero naturale che soddisfi la richiesta.

e. L'espressione deve essere un polinomio, quindi

n \geq 3

. Per avere un polinomio di grado

6

si deve porre ________, quindi

n = 8

.

f. Se ________ l'espressione diventa un monomio, infatti

- 8 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{5 - 3} + 6 x^{5 - 2} = - 2 x^{3} .

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Matematica

Una persona consuma in media, in un certo periodo di tempo,

a

spazzolini da denti da

15

g, al

90 %

di plastica riciclata,

b

flaconi di bagno schiuma che, vuoti, pesano

120

g, al

100 %

di plastica riciclata, e

c

bottigliette d'acqua che, vuote, pesano

14

g, al

50 %

di plastica riciclata.
a. Scrivi il polinomio che esprime la plastica riciclata consumata, in grammi, in funzione di

a

b

c

.
b. Supponi che, in media, ogni italiano consumi, in tre mesi, ciascuno dei prodotti descritti sopra nelle seguenti quantità: uno spazzolino da denti, due flaconi di bagnoschiuma e

10

bottigliette. Stima quanta plastica riciclata, in grammi, verrebbe consumata in tre mesi, considerando la popolazione italiana di

60

milioni. Scrivi il risultato in notazione scientifica.

a. Il polinomio che esprime in grammi la plastica riciclata consumata è:
________

=

\frac{27}{2} a + 120 b + 7 c

.

b. In un periodo di tre mesi,

a = 1

b = 2

c = 10

. Quindi il polinomio diventa:

(\frac{27}{2} + 120 \cdot 2 + 7 \cdot 10) \cdot 60 \cdot 10^{6}

=

________ g.

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Matematica

Un'azienda utilizza un programma per analizzare il traffico sul proprio sito web con lo scopo di ottimizzarlo e controllarlo. Dall'analisi risulta che l'andamento del numero di visitatori, in decine di migliaia, nella fascia oraria dalle

12

alle

13

, è ben approssimato dalla funzione polinomiale

P (x) = - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + 2

, dove

x

è il tempo, in ore (

x = 0

corrisponde alle

12

).
a. Calcola il numero di visitatori all'inizio e alla fine della fascia oraria analizzata.
b. Alle

12 : 30

, il numero di visitatori è aumentato o diminuito rispetto a quello iniziale? Di quanto?

a. All'inizio della fascia oraria

x = 0

, quindi il numero di visitatori è ________. Alla fine della fascia oraria

x = 1

, quindi il numero di visitatori è ________.

b. Alle

12 : 30

il valore di

x

è ________, per cui il numero di visitatori è ________. Il numero è aumentato di

5000

rispetto a quello iniziale.

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