Fai il punto sulle competenze - Le relazioni in un insieme e loro proprietà

11 esercizi
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Matematica

In quale dei seguenti insiemi la relazione aRbab0, è antiriflessiva?
A: N.
B: Z.
C: A={aZ | a2}.
D: A={aZ | 3<a4}.
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Matematica

Quale di queste relazioni è simmetrica?
A: aRbab nell'insieme delle parti di un insieme.
B: aRba ha più capitoli di b nell'insieme dei libri.
C: aRbab>2 nell'insieme Z.
D: aRba+b<3 nell'insieme Z.
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Matematica

Quale di queste relazioni è transitiva?
A: aRbab nell'insieme delle rette di un piano.
B: aRba+b>0 nell'insieme Z.
C: aRba ha meno zampe di b nell'insieme degli animali.
D: aRba è padre di b.
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Matematica

Individua le proprietà delle relazioni R1 e R2.
R1:aR1b il quadrato della somma di a e b è maggiore di 20, in A={1,3,4};
R2={(1;1), (1;2), (3;4), (3;3), (2;4), (1;4), (2;2), (4;4)}, in A={1,2,3,4}.

La rappresentazione per elencazione di R1 è
R1=________.
R1________ riflessiva perché ________.
R1________ antiriflessiva perché ________.
R1________ simmetrica perché ________.
R1________ antisimmetrica perché ________ simmetrica.
R1________ transitiva perché, per esempio, (1;4),(4;1)R e ________.

R2________ riflessiva perché ________.
R2________antiriflessiva perché ________ riflessiva.
R2________ simmetrica perché per esempio (1;2)R2 ma (2;1)R2.


R2 è antisimmetrica perché ________.
R2 è transitiva perché
se (1;1) e (1;2)R2, allora ________R2;
se (1;1) e ________R2, allora (1;4)R2;
se ________ e (2;4)R2, allora (1;4)R2;
se (1;2) e (2;2)R2, allora (1;2)R2;
se (3;4) e (4;4)R2, allora (3;4)R2;
se ________ e (3;4)R2, allora (3;4)R2;
se (2;4) e (4;4)R2, allora ________R2;
se (1;4) e (4;4)R2, allora (1;4)R2;
se (2;2) e (2;4)R2, allora ________R2
e non ci sono altre terne su cui verificare la relazione.
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Matematica

Considera la relazione R rappresentata nel grafo.
A: R non è riflessiva perché cRc.
B: R è transitiva perché se dRa e aRbdRb.
C: R è antiriflessiva perché non è riflessiva.
D: R è antisimmetrica perché ogni coppia di elementi in relazione è collegata da una sola freccia.
E: R non è una relazione di equivalenza o d'ordine.
Vero o falsoVero o falso
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Matematica

Indica quali diagrammi cartesiani rappresentano una relazione di equivalenza, specificando classi di equivalenza e insieme quoziente.

Il diagramma a________ una relazione di equivalenza.
Infatti dal diagramma deduciamo che la relazione ________ delle proprietà ________.

Il diagramma b________ una relazione di equivalenza.
Infatti dal diagramma deduciamo che la relazione ________ di tutte tre le proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva.

Le classi di equivalenza sono gli insiemi degli elementi in relazione, cioè:
{a,b,________},{________}.
L'insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza:
________.
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Matematica

Stabilisci quali delle tabelle in figura rappresentano una relazione d'ordine, specificando se è largo o stretto, totale o parziale.

La relazione della tabella a gode della proprietà ________, transitiva e ________, quindi è una relazione d'ordine ________.

La relazione della tabella b non gode della proprietà ________,
________ una relazione d'ordine.
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Matematica

Nell'insieme A={x | xNex15} verifica che la relazione «x e y danno lo stesso resto se sono divisi per 3» è di equivalenza e rappresenta la relativa partizione.
a.   Qual è la cardinalità dell'insieme quoziente?
b.   La classe di equivalenza che contiene l'elemento 0 come può anche essere indicata mediante la proprietà caratteristica?

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},

R: «x e y danno lo stesso resto se sono divisi per 3».
R, definita in A, è di equivalenza perché:

•   è riflessiva: qualunque elemento di A dà lo stesso resto di se stesso se diviso per 3;
•   simmetrica: se x, diviso per 3, dà lo stesso resto di y allora y, diviso per 3, dà lo stesso resto ________;
•   transitiva: se x, diviso per 3, dà lo stesso resto di y e y, diviso per 3, dà lo stesso resto di z, allora x, diviso per 3, dà lo stesso resto di ________.

La partizione che R genera nell'insieme A è l'insieme quoziente. Se x è un elemento di A, tutti i possibili resti della divisione di x per 3 sono ________, quindi l'insieme quoziente è:
{________, ________}.

a.   La cardinalità dell'insieme quoziente è ________.
b.   La classe di equivalenza che contiene l'elemento 0 può essere indicata mediante proprietà caratteristica nel seguente modo:
________.



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Matematica

Sia A l'insieme dei numeri naturali da uno a sei, scritti a parole. Verifica che la relazione definita in A
xRyx precede y in ordine alfabetico
è una relazione d'ordine stretto e totale.
Quale numero precede tutti gli altri? Qual è quello che segue tutti gli altri?

In figura, la lettera a corrisponde a ________, la lettera b corrisponde a ________ e la lettera c corrisponde a ________.

La relazione è:
•   ________ perché ________ elemento è in relazione con se stesso;
•   ________ perché se un elemento è in relazione con un secondo, diverso dal primo, il secondo ________ in relazione con il primo, per esempio:
cinque R due ________, ecc...
•  transitiva perché, presi tre elementi qualunque, x, y e z, se x precede y e y precede z, allora x precede ________.

Quindi la relazione è d'ordine ________.

Per stabilire se è d'ordine totale o parziale, mettiamo in ordine gli elementi da sinistra verso destra iniziando con ________, che ha solo frecce in partenza, e terminando con ________, che ha solo frecce in arrivo:

________     due     quattro     sei     tre     ________.

Poiché tutti gli elementi risultano allineati, la relazione è d'ordine ________.

Il numero più piccolo è ________ e il numero più grande è ________.

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Matematica

Nell'insieme degli studenti di un liceo,
xRyx e y sono nati nello stesso anno
è una relazione d'equivalenza.
Verificalo e stabilisci quali sono le classi di equivalenza.
Puoi stabilire con certezza quante sono le classi di equivalenza? Motiva la risposta.

La relazione è di equivalenza perché è
•   ________: ogni studente è nato nel suo stesso anno;
•   ________: se x è nato nello stesso anno di y allora y è nato nello stesso anno di x;
•   transitiva: se x è nato nello stesso anno di a e a è nato nello stesso anno di y allora x è nato nello stesso anno di ________.

La relazione dà la possibilità di dividere l'insieme degli studenti in più sottoinsiemi, ognuno dei quali è formato dagli studenti ________.
________ stabilire con certezza il numero di classi di equivalenza per diversi motivi. Per esempio, ________ se ci sono o no studenti ripetenti.

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Matematica

Cinque studentesse hanno gareggiato nei 100 metri. Luca, un loro compagno un po' pasticcione, deve scrivere un articolo per il giornale scolastico. Purtroppo ha smarrito l'ordine d'arrivo. Tuttavia riesce a ricordare che:
•   Myriam ha preceduto Elena e Barbara;
•   Stefany è arrivata prima;
•   Anna ha preceduto Myriam;
•   Elena ha preceduto Barbara.
Aiuta Luca, scrivendo l'ordine d'arrivo. Elenca le coppie della relazione «x ha preceduto y» che puoi ricavare dalle quattro informazioni fornite, utilizzando per semplicità le lettere iniziali dei nomi. Indica la proprietà che hai utilizzato per stendere l'ordine d'arrivo.

In base alle informazioni fornite, la relazione R: «x ha preceduto y», definita in {A,B,S,M,E}, ha per elementi le coppie:

________, ________, (A;M), ________, (S;M), (S;B), (S;E), ________.

R deve essere una relazione d'ordine stretto totale. In particolare deve valere la proprietà ________:

•   poiché ARM e MR________, deve essere: ARE;
•   poiché ARM e MR________, deve essere: ARB.

Quindi Anna ha preceduto anche Elena e Barbara.

Tutte le posizioni delle studentesse sono confrontabili e possiamo schematizzare l'ordine di arrivo mettendo in ordine gli elementi da sinistra verso destra, iniziando da Stefany, che ha preceduto tutte le altre:

S     ________     ________     ________     B.

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