Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Relazioni e funzioni Relazioni di equivalenza e di ordine Relazioni di equivalenza

Fai il punto sulle competenze - Le relazioni in un insieme e loro proprietà

11 esercizi

SVOLGI

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Matematica

In quale dei seguenti insiemi la relazione

a R b \leftrightarrow a b \leq 0

, è antiriflessiva?

N

Z

A = {a \in Z | a \leq - 2}

A = {a \in Z | - 3 < a \leq 4}

Scelta multipla

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Matematica

Quale di queste relazioni è simmetrica?

a R b \leftrightarrow a \subset b

nell'insieme delle parti di un insieme.

a R b \leftrightarrow a

ha più capitoli di

b

nell'insieme dei libri.

a R b \leftrightarrow a - b > 2

nell'insieme

Z

a R b \leftrightarrow a + b < 3

nell'insieme

Z

Scelta multipla

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Matematica

Quale di queste relazioni è transitiva?

a R b \leftrightarrow a ⊥ b

nell'insieme delle rette di un piano.

a R b \leftrightarrow a + b > 0

nell'insieme

Z

a R b \leftrightarrow a

ha meno zampe di

b

nell'insieme degli animali.

a R b \leftrightarrow a

è padre di

b

Scelta multipla

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Matematica

Individua le proprietà delle relazioni

R_{1}

R_{2}

R_{1} : a R_{1} b \leftrightarrow

il quadrato della somma di

a

b

è maggiore di

20

, in

A = {1, 3, 4}

;

R_{2} = {

(1; 1)

(1; 2)

(3; 4)

(3; 3)

(2; 4)

(1; 4)

(2; 2)

(4; 4)}

, in

A = {1, 2, 3, 4}

.

La rappresentazione per elencazione di

R_{1}

R_{1} =

________.

R_{1}

________ riflessiva perché ________.

R_{1}

________ antiriflessiva perché ________.

R_{1}

________ simmetrica perché ________.

R_{1}

________ antisimmetrica perché ________ simmetrica.

R_{1}

________ transitiva perché, per esempio,

(1; 4), (4; 1) \in R

e ________.

R_{2}

________ riflessiva perché ________.

R_{2}

________antiriflessiva perché ________ riflessiva.

R_{2}

________ simmetrica perché per esempio

(1; 2) \in R_{2}

(2; 1) \notin R_{2}

R_{2}

è antisimmetrica perché ________.

R_{2}

è transitiva perché
se

(1; 1)

(1; 2) \in R_{2}

, allora ________

\in R_{2}

;
se

(1; 1)

e ________

\in R_{2}

, allora

(1; 4) \in R_{2}

;
se ________ e

(2; 4) \in R_{2}

, allora

(1; 4) \in R_{2}

;
se

(1; 2)

(2; 2) \in R_{2}

, allora

(1; 2) \in R_{2}

;
se

(3; 4)

(4; 4) \in R_{2}

, allora

(3; 4) \in R_{2}

;
se ________ e

(3; 4) \in R_{2}

, allora

(3; 4) \in R_{2}

;
se

(2; 4)

(4; 4) \in R_{2}

, allora ________

\in R_{2}

;
se

(1; 4)

(4; 4) \in R_{2}

, allora

(1; 4) \in R_{2}

;
se

(2; 2)

(2; 4) \in R_{2}

, allora ________

\in R_{2}

e non ci sono altre terne su cui verificare la relazione.

Completamento chiuso

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Matematica

Considera la relazione

R

rappresentata nel grafo.

R

non è riflessiva perché

c R c

R

è transitiva perché se

d R a

a R b \to d R b

R

è antiriflessiva perché non è riflessiva.

R

è antisimmetrica perché ogni coppia di elementi in relazione è collegata da una sola freccia.

R

non è una relazione di equivalenza o d'ordine.

Vero o falso

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Matematica

Indica quali diagrammi cartesiani rappresentano una relazione di equivalenza, specificando classi di equivalenza e insieme quoziente.

Il diagramma a________ una relazione di equivalenza.
Infatti dal diagramma deduciamo che la relazione ________ delle proprietà ________.

Il diagramma b________ una relazione di equivalenza.
Infatti dal diagramma deduciamo che la relazione ________ di tutte tre le proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva.

Le classi di equivalenza sono gli insiemi degli elementi in relazione, cioè:

{a, b,

________

}, {

________

}

.
L'insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza:
________.

Completamento chiuso

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Matematica

Stabilisci quali delle tabelle in figura rappresentano una relazione d'ordine, specificando se è largo o stretto, totale o parziale.

La relazione della tabella a gode della proprietà ________, transitiva e ________, quindi è una relazione d'ordine ________.

La relazione della tabella b non gode della proprietà ________,
________ una relazione d'ordine.

Completamento chiuso

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Matematica

Nell'insieme

A = {x | x \in N e x \leq 15}

verifica che la relazione «

x

y

danno lo stesso resto se sono divisi per

3

» è di equivalenza e rappresenta la relativa partizione.
a. Qual è la cardinalità dell'insieme quoziente?
b. La classe di equivalenza che contiene l'elemento

0

come può anche essere indicata mediante la proprietà caratteristica?

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

R

: «

x

y

danno lo stesso resto se sono divisi per

3

».

R

, definita in

A

, è di equivalenza perché:

• è riflessiva: qualunque elemento di

A

dà lo stesso resto di se stesso se diviso per

3

;
• simmetrica: se

x

, diviso per

3

, dà lo stesso resto di

y

allora

y

, diviso per

3

, dà lo stesso resto ________;
• transitiva: se

x

, diviso per

3

, dà lo stesso resto di

y

y

, diviso per

3

, dà lo stesso resto di

z

, allora

x

, diviso per

3

, dà lo stesso resto di ________.

La partizione che

R

genera nell'insieme

A

è l'insieme quoziente. Se

x

è un elemento di

A

, tutti i possibili resti della divisione di

x

per

3

sono ________, quindi l'insieme quoziente è:

{

________, ________

} .

a. La cardinalità dell'insieme quoziente è ________.
b. La classe di equivalenza che contiene l'elemento

0

può essere indicata mediante proprietà caratteristica nel seguente modo:
________.

Completamento chiuso

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Matematica

Sia

A

l'insieme dei numeri naturali da uno a sei, scritti a parole. Verifica che la relazione definita in

A

x R y \leftrightarrow x

precede

y

in ordine alfabetico
è una relazione d'ordine stretto e totale.
Quale numero precede tutti gli altri? Qual è quello che segue tutti gli altri?

In figura, la lettera

a

corrisponde a ________, la lettera

b

corrisponde a ________ e la lettera

c

corrisponde a ________.

La relazione è:
• ________ perché ________ elemento è in relazione con se stesso;
• ________ perché se un elemento è in relazione con un secondo, diverso dal primo, il secondo ________ in relazione con il primo, per esempio:
cinque

R

due ________, ecc...
• transitiva perché, presi tre elementi qualunque,

x

y

z

, se

x

precede

y

y

precede

z

, allora

x

precede ________.

Quindi la relazione è d'ordine ________.

Per stabilire se è d'ordine totale o parziale, mettiamo in ordine gli elementi da sinistra verso destra iniziando con ________, che ha solo frecce in partenza, e terminando con ________, che ha solo frecce in arrivo:

________ due quattro sei tre ________.

Poiché tutti gli elementi risultano allineati, la relazione è d'ordine ________.

Il numero più piccolo è ________ e il numero più grande è ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Nell'insieme degli studenti di un liceo,

x R y \leftrightarrow x

y

sono nati nello stesso anno
è una relazione d'equivalenza.
Verificalo e stabilisci quali sono le classi di equivalenza.
Puoi stabilire con certezza quante sono le classi di equivalenza? Motiva la risposta.

La relazione è di equivalenza perché è
• ________: ogni studente è nato nel suo stesso anno;
• ________: se

x

è nato nello stesso anno di

y

allora

y

è nato nello stesso anno di

x

;
• transitiva: se

x

è nato nello stesso anno di

a

a

è nato nello stesso anno di

y

allora

x

è nato nello stesso anno di ________.

La relazione dà la possibilità di dividere l'insieme degli studenti in più sottoinsiemi, ognuno dei quali è formato dagli studenti ________.
________ stabilire con certezza il numero di classi di equivalenza per diversi motivi. Per esempio, ________ se ci sono o no studenti ripetenti.

Completamento chiuso

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Matematica

Cinque studentesse hanno gareggiato nei

100

metri. Luca, un loro compagno un po' pasticcione, deve scrivere un articolo per il giornale scolastico. Purtroppo ha smarrito l'ordine d'arrivo. Tuttavia riesce a ricordare che:
• Myriam ha preceduto Elena e Barbara;
• Stefany è arrivata prima;
• Anna ha preceduto Myriam;
• Elena ha preceduto Barbara.
Aiuta Luca, scrivendo l'ordine d'arrivo. Elenca le coppie della relazione «

x

ha preceduto

y

» che puoi ricavare dalle quattro informazioni fornite, utilizzando per semplicità le lettere iniziali dei nomi. Indica la proprietà che hai utilizzato per stendere l'ordine d'arrivo.

In base alle informazioni fornite, la relazione

R

: «

x

ha preceduto

y

», definita in

{A, B, S, M, E}

, ha per elementi le coppie:

________, ________,

(A; M)

, ________,

(S; M)

(S; B)

(S; E)

, ________.

R

deve essere una relazione d'ordine stretto totale. In particolare deve valere la proprietà ________:

• poiché

A R M

M R

________, deve essere:

A R E

;
• poiché

A R M

M R

________, deve essere:

A R B

.

Quindi Anna ha preceduto anche Elena e Barbara.

Tutte le posizioni delle studentesse sono confrontabili e possiamo schematizzare l'ordine di arrivo mettendo in ordine gli elementi da sinistra verso destra, iniziando da Stefany, che ha preceduto tutte le altre:

S

________ ________ ________

B

Completamento chiuso

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