Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Sistemi di grado superiore al secondo

FIP06BBblu17 - Sistemi di grado superiore al secondo

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Dimostra che il seguente sistema può essere ricondotto a sistema simmetrico e risolvilo.

${\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 13 \\ (x + 2 y)^{3} = 125 \end{cases}$

${\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 13 \\ (x + 2 y)^{3} = 125 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$(x + 2 y)^{2} -$ ________ $= 13$	$\to$
	$x + 2 y =$ ________

${\begin{cases} \end{cases}$	$x y =$ ________	$\to$
	$x + 2 y = 5$

${\begin{cases} 2 y^{2} - 5 y + 3 = 0 \\ x = 5 - 2 y \end{cases} \to$

$($ ________ $; 1),$ $(2;$ ________ $)$

Completamento chiuso

Quale relazione devono soddisfare i numeri

a

b

, reali e diversi da zero, affinché il sistema

{\begin{cases} \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = a^{2} \\ \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} = b^{2} \end{cases}

abbia soluzioni?

a^{2} \geq b^{2}

a^{2} \leq b^{2}

a^{2} > b^{2}

a^{2} < b^{2}

Scelta multipla

Indica quale dei seguenti sistemi è rappresentato dal grafico in figura e poi risolvilo.

{\begin{cases} y = x^{2} + 2 \\ x^{2} + y^{2} = 2 \end{cases}

{\begin{cases} y = - x^{2} + 2 \\ x^{2} + y^{2} = \sqrt{2} \end{cases}

{\begin{cases} y = - x^{2} + 2 \\ x^{2} + y^{2} = 2 \end{cases}

{\begin{cases} y = - x^{2} + 2 \\ x^{2} = y^{2} + 2 \end{cases}

Scelta multipla

Risolvi il seguente sistema omogeneo.

${\begin{cases} x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0 \\ x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0 \end{cases}$

Il sistema ammette come soluzione la coppia $(0; 0)$ .

Per trovare le altre eventuali soluzioni poniamo: $y = t x$ e dividiamo per $x^{2} \neq 0$ :

${\begin{cases} x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0 \\ x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} + 2$ ________ $- 3 t^{2} x^{2} = 0$	$\to$
	$x^{2} - t x^{2} -$ ________ $= 0$

${\begin{cases} \end{cases}$	$1 +$ ________ $- 3 t^{2} = 0$	$\to$
	$1 - t - 2 t^{2} = 0$

Le due equazioni ________ soluzioni in comune.

Il sistema ammette come unica soluzione $(0; 0)$ .

Completamento chiuso

Associa, a ogni sistema, nelle variabili

x

y

, il suo grado.

{\begin{cases} x^{2} + y - 3 x = 16 \\ y = 6 x^{2} - 2 x \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{3} = 16 a^{6} \\ y = 6 x^{2} - 2 x \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{3} = 16 a^{4} \\ x = 6 a^{2} x^{4} - 5 a y \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{5} + 2 y = 16 x^{4} \\ x = 3 - 3 a^{2} y \end{cases}

________

Posizionamento

Risolvi il seguente sistema simmetrico:

${\begin{cases} x^{4} + y^{4} = 97 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases}$ .

Risolviamo il sistema:

${\begin{cases} x^{4} + y^{4} = 97 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$(x^{2} + y^{2})^{2} -$ ________ $= 97$	$\to$
	$x^{2} + y^{2} = 13$

${\begin{cases} x^{2} y^{2} = 36 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases}$

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici:

${\begin{cases} \end{cases}$	________ $= 6$	$\lor$
	$x^{2} + y^{2} = 13$

${\begin{cases} x y = - 6 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases} .$

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{cases} x y = 6 \\ (x + y)^{2} = 25 \end{cases}$ $\lor$ ${\begin{cases} x y = - 6 \\ (x + y)^{2} = 1 \end{cases} .$

I due sistemi sono equivalenti ai quattro sistemi simmetrici:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x y = 6$	$\lor$
	$x + y =$ ________

${\begin{cases} \end{cases}$	$x y = 6$	$\lor$
	$x + y =$ ________

${\begin{cases} x y = - 6 \\ x + y = 1 \end{cases} \lor$

${\begin{cases} x y = - 6 \\ x + y = - 1 \end{cases} .$

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche

$(- 3; \pm 2)$ , $(- 2; \pm 3)$ , $(2; \pm 3)$ , $(3; \pm 2)$ .

Completamento chiuso

Calcola il perimetro e l'area del quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza $x^{2} + y^{2} = 13$ e l'iperbole $x y = 6$ .

Mettiamo a sistema le equazioni della circonferenza e dell'iperbole e risolviamo il sistema.

${\begin{cases} x y = 6 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases} \to$

${\begin{cases} x y = 6 \\ (x + y)^{2} - 2 x y = 13 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x y = 6$
	$(x + y)^{2} =$ ________

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici.

${\begin{cases} \end{cases}$	$x y = 6$	$\lor$
	$x + y =$ ________

${\begin{cases} \end{cases}$	$x y = 6$	.
	$x + y =$ ________

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche $(- 3; - 2), (- 2; - 3), (2; 3), (3; 2)$ .

Il quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza e l'iperbole è un ________ di base ________ e altezza $\sqrt{2}$ .

Il suo perimetro è:

$2 p =$ ________ e l'area è $A = 10$ .

Completamento chiuso

Un numero di due cifre è uguale alla somma tra i quadrati delle unità e delle decine aumentata di $9$ . Inoltre il quadrato della somma delle unità e delle decine è uguale a $49$ . Determina il numero.

Sia $x$ la cifra delle unità e $y$ la cifra delle decine con $x$ , $y$ $\in N$ ; $x, y \neq 0$ .

Traduciamo il testo del problema in un sistema e lo risolviamo.

${\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 9 = 10 y + x \\ (x + y)^{2} = 49 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} + y^{2} + 9 = 10 y + x$	$\to$
	$x + y =$ ________

${\begin{cases} \end{cases}$	$y^{2} + 49 -$ ________ $y + y^{2} + 9 = 10 y + 7 - y$	$\to$
	$x = 7 - y$

${\begin{cases} \end{cases}$	$2 y^{2} - 23 y +$ ________ $= 0$	$\to$
	$x = 7 - y$

${\begin{cases} \end{cases}$	$y =$ ________	.
	$x = 4$

Il numero è ________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema.

${\begin{cases} x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 \\ x^{2} - 3 x y = 0 \end{cases}$

${\begin{cases} x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 \\ x^{2} - 3 x y = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$(x$ ________ $y)^{2} = 4$	$\to$
	$x (x - 3 y) = 0$

${\begin{cases} (x - y)^{2} = 4 \\ x = 0, x = 3 y \end{cases} \to$

$(0; \pm$ ________ $), (\pm 3; \pm$ ________ $)$ .

Completamento chiuso

Una ditta di abbigliamento sportivo ha ideato per i suoi prodotti il logo schematizzato in figura: è delimitato dall'arco $\overset{⌢}{A C B}$ di una circonferenza che ha raggio $4$ e centro nell'origine e dall'arco di parabola $\overset{⏜}{B V A}$ . La parabola ha vertice $V (0; - 5)$ e passa per il punto $D (2 \sqrt{5}; 0)$ . Determina le coordinate dei punti $A$ e $B$ e le equazioni delle rette $O A$ e $O B$ .

Scriviamo le equazioni della circonferenza e della parabola e determiniamo i loro punti di intersezione.

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} + y^{2} =$ ________	$\to$
	$y =$ ________ $- 5$

${\begin{cases} x^{2} = 16 - y^{2} \\ 4 y = 16 - y^{2} - 20 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} = 16 - y^{2}$	$\to$
	$y^{2} + 4 y$ ________ $4 = 0$

${\begin{cases} x^{2} = 16 - y^{2} \\ (y + 2)^{2} = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} =$ ________	$\to$
	$y = - 2$

$A ($ ________ $; - 2), B (- 2 \sqrt{3}; - 2) .$

Le equazioni delle rette $O A$ e $O B$ sono:

$y = \mp$ ________ $x$ .

Completamento chiuso

Per realizzare un lavoretto, in una scuola elementare viene utilizzato un cartoncino che ha densità superficiale $2, 0 \cdot 10^{- 2}$ g/cm². Al cartoncino vengono ritagliati gli angoli, come mostrato in figura, e, combinandoli insieme, si ottiene un rombo di perimetro $8$ cm e area pari a $\frac{1}{4}$ di quella del cartoncino da cui è stato ritagliato. La massa del cartoncino rimanente è $0, 24$ g. Determina i valori di $x$ e di $y$ .

Scriviamo il sistema risolvente e ne determiniamo le soluzioni

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} + y^{2} =$ ________	$\to$
	________ $x y =$ ________ $\cdot \frac{0, 24}{2 \cdot 10^{- 2}}$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} + y^{2} = 4$	$\to$
	$x y =$ ________

${\begin{cases} \end{cases}$	$(x + y)^{2} -$ ________ $= 4$	$\to$
	$x y = 2$

${\begin{cases} \end{cases}$	$(x + y)^{2} =$ ________	$\to$
	$x y = 2$

${\begin{cases} x + y = \pm \sqrt{8} \\ x y = 2 \end{cases} .$

I valori di $x$ e $y$ sono positivi.

$t^{2}$ ________ $\sqrt{8} t + 2 \to t ≃$ ________.

I valori di $x$ e $y$ sono $x = y =$ ________ cm.

Completamento chiuso