FIP06BBblu12 - Sistemi fratti e letterali

Risolvi il seguente sistema.

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2x^2-2y^2}+\frac{1}{x+y}=\frac{3}{2y-2x}}\\ {\displaystyle (x-y{)}^2-6(y+x-\frac{1}{3})=(x-y+2{)}^2}\end{array}$

Scomponiamo i denominatori e svolgiamo i calcoli.

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1+2(x-y)}{2(x+y)(x-y)}=\frac{-3(x+y)}{2(x+y)(x-y)}}\\ -10x-2y=2\end{array}$

Poniamo le condizioni di esistenza per la prima equazione: ________.

Semplificando otteniamo:

$\{\begin{array}{c}5x+y=-1\\ 5x+y=-1\end{array}.$

Se proviamo a ________ le equazioni tra loro otteniamo $0=0$. Pertanto, il sistema è ________ con $x\ne \pm y$.

Risolvi il seguente sistema

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{y^2+3x-3}{xy-x}=\frac{y}{x}-\frac{2}{1-y}}\\ {\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{1}{2}(y-\frac{5}{3})=1}\end{array}$

Scomponiamo i denominatori e svolgiamo i calcoli.

Poniamo le condizioni di esistenza per la prima equazione:

________.

Svolgendo i calcoli otteniamo:

$\{\begin{array}{c}x=2\\ y=1\end{array}.$

Il sistema è quindi ________, perché la soluzione ________ non è accettabile per le condizioni di esistenza.

Risolvi il seguente sistema nelle incognite $x$ e $y$, discutendo al variare del parametro $k$.

$\{\begin{array}{c}kx-2y=k\\ -4x+(k-2)y=2k\end{array}$

Il sistema è già espresso in forma normale. Usiamo il metodo di Cramer. Calcoliamo quindi $D$, $D_x$ e $D_y$ in funzione di $k$:

• $D=$________$=k^2-2k-8$;
• $D_x=\left|\begin{array}{cc}k& -2\\ 2k& k-2\end{array}\right|=$$k^2-2k+4k=$$k^2+2k$;
• $D_x=\left|\begin{array}{cc}k& k\\ -4& 2k\end{array}\right|=$$2k^2$________$4k=$$2k(k+2)$.

Il determinante del sistema è diverso da zero se

$k\ne -2$________$k=4$.

In tal caso il sistema è determinato con soluzione:

• ${\displaystyle x=\frac{D_x}{D}=\frac{k(k+2)}{(k+2)(k-4)}=\frac{k}{k-4}}$;
• ${\displaystyle y=\frac{D_y}{D}=\frac{2k(k+2)}{(k+2)(k-4)}=\frac{2k}{k-4}}$.

Se invece

$k=-2$, $D=0$ e ________$=0$, quindi il sistema è in tal caso indeterminato.

Se $k=4$, $D=0$, $D_x\ne 0$ e $D_y\ne 0$: il sistema è impossibile.

Francesco inizia il suo allenamento in palestra correndo per $15$ minuti sul tapis roulant. Poi si ferma $3$ per riposarsi e, prima di riprendere la corsa, si accorge che deve concludere l'abbonamento entro pochi minuti perché la palestra chiuderà a breve . Francesco calcola che, se correrà ancora per $2000$ m sul tapis roulant, la velocità media totale mantenuta durante l'allenamento sarà di $15,6$ km/h, invece, se nello stesso tempo percorrerà solo $1800$ m, sarà di $15,12$ km/h.

a.   Quanti minuti si allenerà Francesco dopo la pausa?

b.   Quanti metri ha percorso durante la prima parte  dell'allenamento?

Chiamiamo $x$ i minuti che rimangono a Francesco per allenarsi dopo la pausa e $y$ i metri da lui percorsi nella prima parte dell'allenamento.

Esprimiamo le velocità in metri al minuto:

• ${\displaystyle 15,6\frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{15600\text{m}}{60\text{min}}=260\frac{\text{m}}{\text{min}}}$
• ${\displaystyle 15,12\frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{15120\text{m}}{60\text{min}}=252\frac{\text{m}}{\text{min}}}$

Possiamo quindi impostare il sistema

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle 260=\frac{y+2000}{18+x}}\\ {\displaystyle 252=\frac{y+1800}{18+x}}\end{array}$

Poniamo le condizioni di esistenza:

$x\ne$________.

In generale comunque ci aspettiamo una soluzione tale che $x>0$, $y>0$, altrimenti essa non sarà accettabile per il problema posto, dato che $x$ e $y$ rappresentano un tempo e uno spazio.

Risolviamo il sistema e otteniamo:

$\{\begin{array}{c}260x-y=-2680\\ 252x-y=-2736\end{array}.$

________ tra loro le equazioni troviamo:

$8x=56\to x=7$.

Quindi $y=260\cdot 7+2680=4500$.

I due valori sono positivi e quindi accettabili, pertanto Francesco si allenerà per $7$ minuti, avendo percorso nella prima parte dell'allenamento $4500$ m.