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Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoMatematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1Fai il punto sulle competenze - Relazioni di equivalenza e d’ordine

FIP06BBblu03 - relazioni di equivalenza e d'ordine

8 esercizi

Matematica

Nell'insieme A={xN|0x99} dei primi 100 numeri naturali, considera le seguenti relazioni.
R1:xR1y cifra delle decine di x> cifra delle decine di y;
R2: xR2y3x>2y;
R3: xR3yx2>y2.
Quali tra queste sono relazioni d'ordine? Si tratta di ordine totale o parziale?
R1________ una relazione d'ordine parziale.
R2________ una relazione d'ordine totale.
R3________ una relazione d'ordine totale.
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Matematica

Per ogni rappresentazione indica se si tratta di una relazione di equivalenza e, in caso affermativo, scrivi le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.

Le relazioni ________ e ________ sono di equivalenza.
Le classi di equivalenza della prima relazione di equivalenza sono {a,c,d} e {b}, e il suo insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.

Le classi di equivalenza della seconda relazione di equivalenza sono ________ e ________, e il suo insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.
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Matematica

Determina quali diagrammi rappresentano una relazione d'ordine e stabilisci se si tratta di ordine largo, stretto o nessuno dei due.

a.   È una relazione di ordine ________.
b.   ________ una relazione d'ordine. In particolare,________ una relazione d'ordine largo.
c.   È una relazione di ordine ________.

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Matematica

Considera l'insieme A={x|x=2n,nN}, delle potenze di 2. Dimostra che la relazione definita in A

xRy  x è multiplo di y

è una relazione d'ordine largo e totale.


Consideriamo x=2n, y=2m e z=2l numeri distinti, appartenenti all'insieme A, con n, m e lN.

Dimostriamo che la relazione R è una relazione d'ordine largo.

  • La proprietà ________ è soddisfatta perché ogni numero x è multiplo di se stesso: 2n=2n1.
  • La relazione è antisimmetrica perché se x è multiplo di y, allora y________ multiplo di x: se esiste kN tale che 2n=k2m, allora 2m=1k2n, ma 1kN.
  • La relazione è transitiva perché se x è multiplo di y, e y è multiplo di z allora x è multiplo di z: se esistono k e h appartenenti a N tali che x=k2m e y=h2lallora x=kh________.

Dimostriamo che la relazione è di ordine totale.

Consideriamo due numeri qualsiasi x=2n e y=2m appartenenti ad A e supponiamo che nm.

Si ha allora che y=2m=2n2mn=2mn________ e quindi y è in relazione con x.

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Matematica

La viscosità di un fluido è una grandezza fisica che misura la resistenza del fluido allo scorrimento.
Davide fa delle ricerche sulla viscosità di Mercurio (M), acqua (A), azoto liquido (N), olio di oliva (O) e acetone (C). Tra i suoi appunti, scrive:
1.   A è meno viscosa di M e di O;
2.   N è, fra le cinque sostanze, la più viscosa;
3.   A è più viscosa di C;
4.   O è più viscoso di M.

a.   Stabilisci se R è una relazione d'ordine e, in caso affermativo, specifica se è stretto o largo, totale o parziale.
b.   Rappresenta per elencazione la relazione xRyx è meno viscoso di y, definita in {M, A, N, O, C}. che proprietà di R hai usato?
c.   Ordina le sostanze dalla meno viscosa alla più viscosa.

a.   È una relazione di ordine ________________.
b.   {(A; M), (A; O), (A; N), (M; O), (M; N), (C; A), (C; M), (C; O), (C; N), (O; N)}.
La proprietà usata è la proprietà ________.
c.   L'ordine richiesto è ________.
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Matematica

Stabilisci se R, definita in N tale che
aRba e b
danno lo stesso resto se divisi per 5, è una relazione di equivalenza.
Se lo è, trova le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.

La relazione R è una relazione di equivalenza perché soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e ________.

Le classi di equivalenza sono
{xN|x=________, kN},
{xN|x=________, kN},
{xN|x=5k+2,kN},
{xN|x=________, kN},
{xN|x=5k+4,kN}-

L'insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.



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Matematica

Considera la relazione rappresentata in figura.
Rappresentala mediante una tabella a doppia entrata e verifica che si tratta di una relazione d'ordine largo. È di ordine totale?
Che cosa cambia se togli le frecce relative ai cappi?


È una relazione d'ordine largo ________.
Togliendo le frecce relative ai capi diventa una relazione d'ordine ________ parziale.

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Matematica

Considera l'insieme A={a,b,c,d,e,f}, dove gli elementi
assumono i valori indicati. a=21b=104:54:(2)3c=34332(3)3d=323:33e=(32)2:(3223)f=(2)021
Sia poi R la relazione:
x R yx e y sono concordi.
Verifica che R è una relazione di equivalenza, poi determina le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.

La relazione R è ________, ________ e transitiva e quindi è una relazione di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono ________ e ________ e l'insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.
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