Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Relazioni di equivalenza e d’ordine

FIP06BBblu03 - relazioni di equivalenza e d'ordine

8 esercizi

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Matematica

Per ogni rappresentazione indica se si tratta di una relazione di equivalenza e, in caso affermativo, scrivi le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.

Le relazioni ________ e ________ sono di equivalenza.
Le classi di equivalenza della prima relazione di equivalenza sono

{a, c, d}

{b}

, e il suo insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.

Le classi di equivalenza della seconda relazione di equivalenza sono ________ e ________, e il suo insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.

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Matematica

Determina quali diagrammi rappresentano una relazione d'ordine e stabilisci se si tratta di ordine largo, stretto o nessuno dei due.

a. È una relazione di ordine ________.
b. ________ una relazione d'ordine. In particolare,________ una relazione d'ordine largo.
c. È una relazione di ordine ________.

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Matematica

Considera l'insieme $A = {x | x = 2^{n}, n \in N}$ , delle potenze di $2$ . Dimostra che la relazione definita in $A$

$x R y \leftrightarrow$ $x$ è multiplo di $y$

è una relazione d'ordine largo e totale.

Consideriamo $x = 2^{n}$ , $y = 2^{m}$ e $z = 2^{l}$ numeri distinti, appartenenti all'insieme $A$ , con $n$ , $m$ e $l$ $\in N$ .

Dimostriamo che la relazione $R$ è una relazione d'ordine largo.

La proprietà ________ è soddisfatta perché ogni numero $x$ è multiplo di se stesso: $2^{n} = 2^{n} \cdot 1$ .
La relazione è antisimmetrica perché se $x$ è multiplo di $y$ , allora $y$ ________ multiplo di $x$ : se esiste $k \in N$ tale che $2^{n} = k \cdot 2^{m}$ , allora $2^{m} = \frac{1}{k} \cdot 2^{n}$ , ma $\frac{1}{k} \notin N$ .
La relazione è transitiva perché se $x$ è multiplo di $y$ , e $y$ è multiplo di $z$ allora $x$ è multiplo di $z$ : se esistono $k$ e $h$ appartenenti a $N$ tali che $x = k \cdot 2^{m}$ e $y = h \cdot 2^{l}$ allora $x = k \cdot h \cdot$ ________.

Dimostriamo che la relazione è di ordine totale.

Consideriamo due numeri qualsiasi $x = 2^{n}$ e $y = 2^{m}$ appartenenti ad $A$ e supponiamo che $n \leq m$ .

Si ha allora che $y = 2^{m} = 2^{n} \cdot 2^{m - n} = 2^{m - n} \cdot$ ________ e quindi $y$ è in relazione con $x$ .

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Matematica

Nell'insieme

A = {x \in N | 0 \leq x \leq 99}

dei primi

100

numeri naturali, considera le seguenti relazioni.

R_{1}

x R_{1} y

\leftrightarrow

cifra delle decine di

x >

cifra delle decine di

y

;

R_{2}

x R_{2} y \leftrightarrow

3 x > 2 y

;

R_{3}

x R_{3} y \leftrightarrow x^{2} > y^{2}

.
Quali tra queste sono relazioni d'ordine? Si tratta di ordine totale o parziale?

R_{1}

________ una relazione d'ordine parziale.

R_{2}

________ una relazione d'ordine totale.

R_{3}

________ una relazione d'ordine totale.

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Matematica

Considera l'insieme

A = {a, b, c, d, e, f}

, dove gli elementi
assumono i valori indicati.

a = - 2^{- 1} b = 10^{4} : 5^{4} : (- 2)^{3} c = - \frac{3^{4} \cdot 3}{3^{2} \cdot (- 3)^{3}} d = - 3^{2} \cdot 3 : 3^{3} e = {(- \frac{3}{2})}^{2} : (\frac{3^{2}}{2^{3}}) f = (- 2)^{0} - 2^{- 1}

Sia poi

R

la relazione:

x R y \leftrightarrow x

y

sono concordi.
Verifica che

R

è una relazione di equivalenza, poi determina le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.

La relazione

R

è ________, ________ e transitiva e quindi è una relazione di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono ________ e ________ e l'insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.

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Matematica

Considera la relazione rappresentata in figura.
Rappresentala mediante una tabella a doppia entrata e verifica che si tratta di una relazione d'ordine largo. È di ordine totale?
Che cosa cambia se togli le frecce relative ai cappi?

È una relazione d'ordine largo ________.
Togliendo le frecce relative ai capi diventa una relazione d'ordine ________ parziale.

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Matematica

La viscosità di un fluido è una grandezza fisica che misura la resistenza del fluido allo scorrimento.
Davide fa delle ricerche sulla viscosità di Mercurio (M), acqua (A), azoto liquido (N), olio di oliva (O) e acetone (C). Tra i suoi appunti, scrive:
1.   A è meno viscosa di M e di O;
2.   N è, fra le cinque sostanze, la più viscosa;
3.   A è più viscosa di C;
4.   O è più viscoso di M.

a.   Stabilisci se

R

è una relazione d'ordine e, in caso affermativo, specifica se è stretto o largo, totale o parziale.
b. Rappresenta per elencazione la relazione

x R y \leftrightarrow x

è meno viscoso di

y

, definita in {M, A, N, O, C}. che proprietà di

R

hai usato?
c.   Ordina le sostanze dalla meno viscosa alla più viscosa.

a.   È una relazione di ordine ________________.
b.   {(A; M), (A; O), (A; N), (M; O), (M; N), (C; A), (C; M), (C; O), (C; N), (O; N)}.
La proprietà usata è la proprietà ________.
c.   L'ordine richiesto è ________.

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Matematica

Stabilisci se

R

, definita in

N

tale che

a R b \leftrightarrow a

b

danno lo stesso resto se divisi per

5

, è una relazione di equivalenza.
Se lo è, trova le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.

La relazione

R

è una relazione di equivalenza perché soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e ________.

Le classi di equivalenza sono

{x \in N | x =

________,

k \in N}

{x \in N | x =

________,

k \in N}

{x \in N | x = 5 k + 2, k \in N}

{x \in N | x =

________,

k \in N}

{x \in N | x = 5 k + 4, k \in N}

-

L'insieme quoziente è l'insieme formato dalle classi di equivalenza.

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