Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

FIP05BBbluG7 - Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Le tre circonferenze in figura hanno raggio uguale a

6

cm e sono a due a due tangenti. Calcola l'area della superficie colorata.

L'area del triangolo equilatero è:

A_{t} = \frac{1}{2} (12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} 12) =

________

\sqrt{3}

cm².

La somma dei tre settori circolari è equivalente alla ________ di raggio

6

cm:

A_{c} =

________

=

________ cm².

L'area colorata è quindi:

A_{c o l o r a t a} = 36 \sqrt{3} -

________

=

18 (2 \sqrt{3} - π)

cm².

Completamento chiuso

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Matematica

Considera una circonferenza lunga

12 π

cm.

a. L'area del semicerchio che ha lo stesso centro e lo stesso diametro della circonferenza è ________ cm².

b. Il rapporto tra l'area del cerchio corrispondente alla circonferenza data e il quadrato del raggio è ________.

c. Un settore circolare di area ________ cm² corrisponde a un angolo al centro di

50^{\circ}

.

d. Un arco corrispondente a un angolo al centro di ________ è lungo

\frac{1}{10}

della circonferenza.

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Matematica

Il bersaglio in figura è formato da due circonferenze concentriche divise da due diametri perpendicolari.
La circonferenza interna ha raggio

12

cm e le

8

parti in cui è diviso il bersaglio sono equivalenti.
Calcola:
a. l'area di ognuna delle

8

parti;
b. il raggio del bersaglio.

a. L'area del cerchio interno è

144 π

, quindi l'area di ciascuno delle otto parti è ________.

b. Consideriamo un quarto del cerchio esterno, esso ha superficie pari a ________. Dunque, il cerchio esterno ha area pari a ________.
Poiché l'area del cerchio si calcola con

A = π r^{2} \to r = \sqrt{\frac{A}{π}} \to

r =

________

=

________ cm.

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Matematica

Calcola l'area della parte colorata della figura, sapendo che

P Q R S

è un quadrato,

B C ≅ \frac{5}{6} A C

A B = 11

cm e il perimetro di

A B C

66

cm.

\bar{A B} + \bar{B C} + \bar{A C} = 66 \to

11 + \frac{5}{6} \bar{A C} + \bar{A C} = 66 \to

\frac{11}{6} \bar{A C} = 55 \to

A C = 30

cm;

B C = 25

cm.

\bar{A B} + \bar{B C} + \bar{A C} = 66 \to

11 + \frac{5}{6} \bar{A C} + \bar{A C} = 66 \to

\frac{11}{6} \bar{A C} = 55 \to

A C = 30

cm;

B C = 25

cm.

Calcoliamo l'area del triangolo con la formula di Erone:

A = \sqrt{p (p - A B) (p - B C) (p - A C)}

, dove con

p

indichiamo il ________ del triangolo.

A = \sqrt{33 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 22} = 132

cm².

Per determinare il raggio del cerchio usiamo la formula

r =

________

=

\frac{11 \cdot 25 \cdot 30}{4 \cdot 132} = \frac{125}{8}

cm.

Dunque il lato del quadrato è ________ cm.
L'area del quadrato è quindi

\frac{15625}{16}

cm², mentre quella del cerchio

\frac{15625}{64} π

cm².
L'area colorata è quindi

(\frac{15625}{16}

________

\frac{15625}{64} π)

cm².

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Matematica

Trova l'area della parte colorata della figura, sapendo che la circonferenza ha centro

O

e raggio

4

cm,

P S

S R

R Q

sono i lati dell'esagono regolare inscritto e

A B

è il lato del triangolo equilatero inscritto.

L'area della circonferenza esterna è

16 π

cm².

Il triangolo

R O S

è equilatero di lato

4

cm, e la sua altezza relativa alla base

S R

misura ________ cm.

L'area del triangolo considerato è quindi
________

=

________ cm².
L'area del poligono

P Q R S

è dunque
________ cm².

Consideriamo il triangolo

A O B

: esso è isoscele con

A O ≅ O B = 4

cm, e inoltre

A \hat{O} B = 120^{\circ}

.

Pertanto, il triangolo

A O H

è rettangolo,

A \hat{O} H = 60^{\circ}

H \hat{A} O = 30^{\circ}

\to

A H =

________ cm e

O H = 2

cm.

L'area di

A O B

è quindi

\frac{4 \sqrt{3} \cdot 2}{2} = 4 \sqrt{3}

cm.

Infine, il raggio della circonferenza è

1

cm, quindi la sua area è

π

.

L'area richiesta è

[16 π - (12 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + π)]

cm²

=

(15 π - 16 \sqrt{3})

cm².

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Matematica

In una pista circolare di raggio

50

cm, una biglia si muove di moto circolare uniforme. Se la biglia impiega

4

secondi a percorrere un arco lungo

\frac{40}{3} π

cm, quanto tempo è necessario per percorrere un arco corrispondente a un angolo di

54^{\circ}

?

Ricaviamo l'angolo corrispondente all'arco di

\frac{40}{3} π

θ =

________

=

________.

Ricaviamo la velocità angolare della biglia:

ω =

________

=

________ rad/s.

Convertiamo l'angolo in gradi in radianti:

54^{\circ} : x = 180^{\circ} : π \to

x = \frac{54}{180} π \to x = \frac{3}{10} π

.

Dunque, il tempo di percorrenza richiesto è

t =

________

= \frac{9}{2} = 4, 5

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Matematica

Gli ottagoni della struttura in acciaio e vetro della figura sono regolari. Dimostra che:
a. i triangoli

O A B

O A^{'} B^{'}

sono simili;
b. il rapporto tra i raggi delle due circonferenze è uguale al rapporto tra i perimetri dei due ottagoni inscritti.

a. I triangoli

O A B

O A^{'} B^{'}

sono triangoli ________, con angolo in

O

in comune, dunque sono simili.

b. Dalla similitudine dei due triangoli, segue che

\bar{O A^{'}} ≅ k \cdot \bar{O A}

\bar{A^{'} B^{'}} ≅

________

\cdot \bar{A B}

.
Il rapporto tra i raggi sarà dunque

\frac{\bar{O A^{'}}}{\bar{O A}} =

________

=

________,
mentre il rapporto dei perimetri

\frac{8 \bar{A^{'} B^{'}}}{8 \bar{A B}} = \frac{8 k \cdot \bar{A B}}{8 \bar{A B}} = k

e pertanto i due rapporti risultano uguali.

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Matematica

Nella figura,

O

è il centro delle circonferenze concentriche

C

C^{'}

. Dimostra che la zona colorata è equivalente a

\frac{1}{4}

della corona circolare individuata da

C

e da

C^{'}

.

Sia

\bar{O B} = r

\bar{A O} = R \to

\bar{C D} = R - r

.
Indichiamo con

C^{″}

la semicirconferenza di diametro

A C

e con

C^{‴}

la semicirconferenza di diametro

C D

A_{C} = \frac{π}{2} R^{2}

;

A_{C^{'}} = \frac{π}{2} r^{2}

;

A_{C^{″}} = \frac{π}{2} {(\frac{R + r}{2})}^{2} =

________

(R + r)^{2}

;

A_{C^{‴}} = \frac{π}{2} {(\frac{R - r}{2})}^{2} =

________

(R - r)^{2}

.

Dunque, l'area blu è

\frac{π}{2} R^{2} -

\frac{π}{8}

(R + r)^{2}

________

\frac{π}{8}

(R - r)^{2} =

\frac{π}{2} R^{2} - \frac{π}{8} R^{2} - \frac{π}{4} R r - \frac{π}{8} r^{2} - \frac{π}{8} R^{2} - \frac{π}{8} r^{2} + \frac{π}{4} R r =

\frac{π}{4} R^{2} - \frac{π}{4} r^{2} = \frac{1}{4} (π R^{2} - π r^{2})

.

L'area della corona circolare individuata da

C

C^{'}

è
________

=

π R^{2} - π r^{2}

.
Ne segue la tesi.

Completamento chiuso

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Matematica

La circonferenza grande in figura è lunga

10

m. Le

10

circonferenze piccole hanno i centri allineati su un diametro della circonferenza grande. Le due circonferenze piccole più esterne sono tangenti internamente alla circonferenza grande; ciascuna delle altre è tangente esternamente alle due a essa contigue. Quanto vale la somma delle misure delle circonferenze piccole?

1

5

10

100

E: Dipende dal diametro delle singole circonferenze.

Scelta multipla

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Matematica

In una scultura d'arte moderna è rappresentato un cerchio nascosto in parte da un triangolo equilatero, come in figura: il cerchio ha il diametro lungo quanto l'altezza del triangolo, la quale misura

\sqrt{6}

m. Quanto vale l'area della parte del cerchio non coperta dal triangolo?

(\frac{3}{2} π - \frac{8}{\sqrt{3}}) m^{2}

\frac{π}{2} m^{2}

(π - \frac{3 \sqrt{3}}{4}) m^{2}

(\frac{3}{2} π - \frac{9 \sqrt{3}}{8}) m^{2}

\frac{3}{2} π m^{2}

Scelta multipla

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