Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Particolari triangoli rettangoli e secondo teorema di Euclide

FIP05BBbluG6 - Particolari triangoli rettangoli e secondo teorema di Euclide

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Completa usando i dati indicati in figura.

a.

A \hat{P} O =

________.
b.

P \hat{A} Q =

________.
c.

A P =

________ cm.
d. Area di

A O P =

________ cm².

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Rispondi osservando la figura.

\bar{A B} = \bar{A C} = \sqrt{2}

\bar{D A} = \sqrt{3}

2 p (A B C D E) = 5

E \hat{A} D = 30^{\circ}

Vero o falso

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Matematica

Francesca si trova in mare nel punto

A

. Per arrivare al punto

D

sulla spiaggia, può nuotare direttamente da

A

D

oppure può nuotare da

A

C

e poi camminare sulla spiaggia fino a

D

. In acqua, Francesca si muove con una velocità di

2

km/h, sulla spiaggia invece cammina con una velocità di

4

km/h. Il tratto

A B

, perpendicolare alla costa, misura

20

m. Determina quale percorso le permette di arrivare prima a

D

.

Il triangolo

A B C

è un triangolo rettangolo ________ con

A B ≅ B C

.
Il triangolo

A B D

è ________ triangolo equilatero con

A D ≅ 2 A B

.

Calcoliamo le lunghezze di

A D

A C

C D

A D = 2 \cdot 20 = 40

=

________ km;

A C =

________ m

≃

0, 028

km;
e

C D = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 40

________

20 =

20 (\sqrt{3} - 1)

≃

0, 015

km.

Quindi il tempo

t_{A \to D} =

________

=

0, 02

=

0, 02 \cdot 3600

=

72

s.

Mentre

t_{A \to C \to D} ≃ \frac{0, 028}{2} +

________

≃

0, 01775

≃

0, 01775 \cdot 3600

=

64

s.

Quindi il percorso che passa per

C

permette a Francesca di arrivare prima a

D

Completamento chiuso

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Matematica

Un triangolo

A B C

ha gli angoli

\hat{B}

\hat{C}

rispettivamente di ampiezza

60^{\circ}

75^{\circ}

. Qual è il perimetro del triangolo, sapendo che l'altezza

A H

è lunga

\sqrt{6}

cm?

A: I dati non sono sufficienti.

2 (3 + \sqrt{6} - \sqrt{3})

cm.

(3 + \sqrt{6} - \sqrt{3})

cm.

4 (3 + \sqrt{6} - \sqrt{2})

cm.

Scelta multipla

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Matematica

Le diagonali del trapezio isoscele

A B C D

sono perpendicolari ai lati obliqui

A D

B C

. La somma delle basi è

64

cm e la base minore è i

\frac{3}{5}

della base maggiore. Determina l'area del trapezio.

Disegniamo la figura.

Troviamo le lunghezze delle due basi:

\bar{A B} + \frac{3}{5} \bar{A B} = 64 \to

A B =

________

\cdot 64 = 40

cm
e

C D = 24

cm.
Quindi la proiezione

H

C

A B

è tale che

B H =

________ cm.

Inoltre
________

=

\bar{B H} \cdot \bar{A B} = 8 \cdot 40 = 320

cm² per il ________ teorema di Euclide.

Quindi ________

= 81 \sqrt{5}

cm e
________

= \sqrt{320 - 64} = 16

cm.

Infine, calcoliamo l'area del trapezio:

A =

________

= 512

cm².

Completamento chiuso

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Matematica

Calcola la lunghezza di

A D

, sapendo che

O

è il centro della circonferenza del bracciale.

Prolunghiamo il segmento

O D

e costruiamo il triangolo rettangolo

D E A

.

Consideriamo il triangolo

O E A

, è un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di

30^{\circ}

60^{\circ}

. Quindi abbiamo che

A E = 18 \sqrt{3}

mm e

O E =

________ mm.

Possiamo ora calcolare

\bar{A D}

con il teorema di Pitagora:

A D =

________

= 18 \sqrt{7}

mm.

Completamento chiuso

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Matematica

Vero o falso?

Un esagono regolare

A B C D E F

è inscritto in una circonferenza di raggio

r

. Siano

H

K

rispettivamente la proiezione di

C

sulla diagonale

A D

e il punto di intersezione tra il prolungamento del lato

B C

e la retta tangente in

D

alla circonferenza. Allora:

A B K D

è un trapezio rettangolo.

D H = \frac{r}{2} \sqrt{3}

C: l'area di

A B K D

\frac{7}{8} \sqrt{3} r^{2}

C H^{2} = A H \cdot H D

Vero o falso

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Matematica

Un quadrilatero

A B C D

, inscritto in una circonferenza di raggio

7, 5

cm, ha le diagonali

A C

D B

, tra loro perpendicolari, che si intersecano in

M

, punto medio di

A C

, che misura

14, 4

cm.
a. Verifica che

A D ≅ D C

A B ≅ B C

.
b. Determina la misura di

D M

e di

M B

.
c. Determina il perimetro di

A B C D

.

Disegniamo la figura.

a. Consideriamo i triangoli

A B M

C B M

:
•

A \hat{M} B ≅

________

≅ \frac{π}{2}

per ipotesi;
•

B M

in comune;
•

A M ≅ M C

per ipotesi;
quindi

A B M ≅ C B M

per il ________ criterio di congruenza fra triangoli rettangoli.
In particolare

A B ≅

________.
Analogamente nei triangoli

C M D

A M D

abbiamo che

A D ≅

________.

b.

A M = \frac{14, 4}{2} = 7, 2

cm.

O M =

________

= 2, 1

cm per il teorema nel triangolo

A M O

.
Quindi

M B =

7, 5

________

2, 1 =

________ cm e

M D =

7, 5

________

2, 1 =

________ cm.

c.

A B =

________

= 9

cm per il teorema di Pitagora nel triangolo

A M B

A D =

________

= 12

cm per il teorema di Pitagora nel triangolo

A M D

.
Quindi

2 p_{A B C D} = 2 (9 + 12) =

________ cm.

Completamento chiuso

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Matematica

È dato un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza. Dimostra che il quadrato costruito sul diametro è equivalente al rettangolo con i lati congruenti alle basi del trapezio.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B ≅ C D

;

A B C D

circoscritto.
Tesi

{\bar{B H}}^{2} = \bar{A D} \cdot \bar{B C}

.

Dimostrazione

{\bar{B H}}^{2} = {\bar{A B}}^{2}

________

{\bar{A H}}^{2}

per il teorema di Pitagora nel triangolo

A B H

.
Inoltre,

\bar{A H} =

________ perché il trapezio è isoscele.

\bar{A B} + \bar{C D} = \bar{A D} + \bar{B C}

perché il trapezio è ________ a una circonferenza.
Quindi ________ perché

A B ≅ C D

e cioè

\bar{A B} = \frac{\bar{A D} + \bar{B C}}{2}

.

Sostituiamo le espressioni per

\bar{A B}

\bar{A H}

nella prima uguaglianza:

{\bar{B H}}^{2} = {(\frac{\bar{A D} + \bar{B C}}{2})}^{2}

________

{(\frac{\bar{A D} - \bar{B C}}{2})}^{2} \to

{\bar{B H}}^{2} =

\frac{{\bar{A D}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + 2 \bar{A D} \cdot \bar{B C} - {\bar{A D}}^{2} - {\bar{B C}}^{2} + 2 \bar{A D} \cdot \bar{B C}}{4} =

\bar{A D} \cdot \bar{B C}

Completamento chiuso

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Matematica

Il grafico rappresenta la velocità di un ciclista in funzione del tempo.
a. Determina l'istante di tempo

t_{1}

in cui il ciclista inizia a decelerare.
b. Determina lo spazio complessivamente percorso.
c. Verifica che

α ≃ 30^{\circ} \lor α ≃ 60^{\circ}

.

a. Il grafico forma un triangolo rettangolo con l'intervallo

[0; 20, 8]

sull'asse

x

.
Quindi ________ per il ________ teorema di Euclide.
Sviluppiamo e risolviamo l'equazione e troviamo

t_{1}

81 = 20, 8 t_{1} - t_{1}^{2} \to

t_{1}^{2}

________

20, 8 t_{1}

________

81 = 0

\to

Δ = 20, 8^{2} - 4 \cdot 81 = 108, 64

quindi

t_{1} = \frac{20, 8 \pm 10, 4}{2}

.
Quindi

t_{1} ≃ 5, 2 \lor t_{1} ≃ 15, 6

s.

b. Lo spazio percorso è ________ del triangolo formato dal grafico con l'asse

x

quindi
________

= 93, 6

m.

c. Se

t_{1} ≃ 5, 2

s allora il triangolo formato dal ________ segmento del grafico con l'asse

x

è metà triangolo ________ con altezza ________.

Infatti

\frac{\sqrt{3}}{2} (5, 2 \cdot 2) ≃

________ quindi

α = 60^{\circ}

.

Analogamente, se

t_{1} ≃ 15, 6

s allora il triangolo formato dal ________ segmento del grafico con l'asse

x

è metà triangolo ________ con altezza ________.

Infatti

\frac{\sqrt{3}}{2} [(20, 8 - 15, 6) \cdot 2] ≃

________ e cioè

α = 30^{\circ}

Completamento chiuso

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