Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Poligoni inscritti e circoscritti, triangoli e punti notevoli

FIP05BBbluG5 - Poligoni inscritti e circoscritti, triangoli e punti notevoli

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Durante un open day organizzato da un'università, viene proposta una caccia al tesoro matematica. L'ultimo indizio descrive la zona in cui si trova il tesoro: si tratta di un triangolo acutangolo che ha l'incentro nel punto in cui è collocato l'indizio, il perimetro di

40

m e il raggio della circonferenza inscritta di

4

m. Qual è l'area del triangolo in cui avviene la ricerca?

Si sa che il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo è dato dal ________ tra l'area del rettangolo e il suo ________.

Dunque l'area del triangolo è data dal ________ tra il raggio della circonferenza inscritta e il ________ del triangolo stesso.

A = 4 \cdot 20 =

________ m².

Completamento chiuso

Il triangolo

A B C

della figura è isoscele e

G

è il baricentro. Trova l'area e il perimetro di

A B C

.

Sia

H

il piede dell'altezza

C H

\bar{G H} =

________ perché

G

è baricentro di

A B C

\bar{B H} =

________

=

________ perché

B H G

è un triangolo rettangolo.
Quindi

\bar{A B} = 12

\bar{B C} =

________

=

6 \sqrt{17}

.
Troviamo l'area

A

=

________

=

144

e il perimetro

2 p

=

________

+

________

\sqrt{17}

Completamento chiuso

In un triangolo rettangolo la lunghezza dell'ipotenusa è inferiore di

4

alla somma delle lunghezze dei cateti. Quanto è lungo il raggio del cerchio inscritto?

Sia

x

il cateto minore e

y

il cateto maggiore del triangolo.
L'ipotenusa ha lunghezza

x + y

________

4

.
Per il teorema di Pitagora si ha che

x^{2} + y^{2} = (x + y

________

4)^{2}

.
Andando a sviluppare l'equazione ottenuta si ha che:

x^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2} + 16 + 2 x y - 8 x - 8 y

8 x + 8 y - 16 = 2 x y

2 x + 2 y - 4 =

________.
Il raggio della circonferenza inscritta è dato dal rapporto dell'area del triangolo e il suo semiperimento.

r = (\frac{x y}{2}) : (\frac{2 x + 2 y - 4}{2}) = \frac{x y}{2 x + 2 y - 4}

.
Utilizzando l'uguaglianza precedente otteniamo che:

r = \frac{x y}{\frac{x y}{2}} =

________.

Completamento chiuso

A B C

è un triangolo rettangolo di ipotenusa

A C

O

è il centro della circonferenza inscritta. Dimostra che l'angolo

A \hat{O} C

è ampio

135^{\circ}

.

Dal centro

O

tracciamo i raggi perpendicolari ai tre lati del triangolo.
I triangoli

B O H

B O K

sono congruenti.
Quindi

O \hat{B} H ≅ O \hat{B} K = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}

B \hat{O} H ≅ B \hat{O} K = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}

.
I triangoli

A O H

e ________ sono congruenti.
Chiamiamo

A \hat{O} H ≅

________

= x

.
I triangoli

K O C

C O T

sono congruenti. Chiamiamo

K \hat{O} C ≅ C \hat{O} T = y

.
Si ha che

2 x + 2 y +

________

=

360^{\circ} \to

x + y =

________.

Completamento chiuso

Dato il rettangolo

A B C D

, traccia le sue diagonali. Chiama

O

il loro punto di intersezione e indica, nell'ordine, con

G_{1}

G_{2}

G_{3}

G_{4}

i baricentri dei quattro triangoli aventi

O

come vertice e uno dei lati del rettangolo come base.
a. Dimostra che

G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}

è un rombo.
b. Qual è il rapporto tra l'area del rettangolo e l'area del rombo?

a. Il quadrilatero

G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}

ha le diagonali perpendicolari perché sono gli assi di simmetria del rettangolo.
Inoltre, si ha che

\bar{O G_{2}} ≅

________ perché sono i

\frac{2}{3}

della mediana dei triangoli, ossia della metà della diagonale.
Analogamente si ha che

\bar{O G_{1}} ≅ \bar{O G_{3}}

.
Questo dimostra che

G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}

è un rombo.

b. Sia

\bar{A B} = x

\bar{B C} = y

.
Si ha che

\bar{O G_{4}} = \frac{2}{3} \cdot

________

= \frac{1}{3} x

\bar{G_{4} G_{2}} =

________

x

.
Analogamente

\bar{G_{1} G_{3}} = \frac{2}{3} y

.
Dunque, l'area del rombo è

\frac{\frac{2}{3} x \cdot \frac{2}{3} y}{2} = \frac{2}{9} x y

mentre quella del rettangolo

x y

.
Il loro rapporto è dunque ________.

Completamento chiuso

Considera un triangolo

A B C

e costruisci, esternamente ad

A B C

, i triangoli equilateri

A^{'} B C

A B^{'} C

A B C^{'}

.
Dimostra che le bisettrici degli angoli

B \hat{A^{'}} C

A \hat{B^{'}} C

A \hat{C^{'}} B

si incontrano nel circocentro di

A B C

.

Consideriamo il triangolo

A B C^{'}

e tracciamo la bisettrice dell'angolo in

C^{'}

.
Essa è anche mediana e altezza del triangolo.
Quindi il segmento

C^{'} H

divide il lato ________ a metà e cade perpendicolare su di esso.
Consideriamo un suo prolungamento dalla parte di

H

. Il segmento

O C^{'}

è ________

A B

.
Analogamente i segmenti

O K

O T

sono assi rispettivamente dei lati

A C

B C

.
Per questo il punto d'intersezione dei tre segmenti è il ________ di

A B C

Completamento chiuso

Dimostra che le bisettrici degli angoli

B A^{'} C

A B^{'} C

A C^{'} B

si incontrano nel circocentro di

A B C

.

Considera la figura a fianco.
a. Trova le ampiezze degli angoli

x

y

.
b. Che cosa rappresenta il punto

D

per il triangolo

A B C

?

a.

C \hat{A} B = 114^{\circ}

x =

________ perché angolo opposto al vertice di

C \hat{A} B

D \hat{A} B =

________, perché supplementare di

x

y = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 66^{\circ}) = 24^{\circ}

.

b. Il punto

D

rappresenta l'________ del triangolo.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: In un triangolo rettangolo, l'ortocentro non è mai un punto interno.

B: In un triangolo ottusangolo, il baricentro è esterno.

C: In un triangolo equilatero, gli excentri sono vertici di un triangolo equilatero.

D: In un triangolo isoscele, incentro e circocentro coincidono.

Vero o falso