FIP05BBblu18 - Le equazioni e le disequazioni parametriche

Vero o falso?
Considera l'equazione $x^2+(2k+3)x-k^2+7k-10=0$.

Considera l'equazione parametrica $x^2-(2a-3)x+a^2+5a-3=0$ e determina per quali valori reali del parametro $a$ l'equazione ammette soluzioni:
a.   reali distinte;
b.   il cui prodotto è almeno $3$.

a.   Un'equazione di secondo grado ha radici reali e distinte quando il suo determinante è________ zero. Scriviamo quindi la disequazione:
________$>0$.
Semplificando le parentesi, otteniamo:
________.
I valori di $a$ cercati sono quindi:
________.

b.   Perché il prodotto delle radici sia almeno tre, dev'essere che il quoziente tra il termine noto e il coefficiente del termine di secondo grado sia ________ tre, cioè:
$a^2+5a-3\ge 3$
$a^2+5a-6\ge 0$
________.

Dalla soluzione del punto a. sappiamo che le soluzioni sono reali quando il determinante è maggiore o uguale a zero, cioè:
${\displaystyle a\le \frac{21}{32}}$.
La soluzione del punto b. è data quindi dal sistema:
________.
I valori di a cercati sono:
________.

Studia il segno delle radici della seguente equazione in $x$, al variare del parametro $k\in \mathbb{R}$, applicando la regola di Cartesio.
$(k-1)x^2+kx+1=0$

L'equazione è già nella forma $A{x}^2+Bx+C=0$.
•   Analizziamo il coefficiente $A$ di $x^2$ per cui l'equazione diventa di primo grado.
Se $k-1=0$ cioè $k=1$:
$x+1=0\to x=-1$, soluzione negativa.

•   Studiamo il discriminante per $A\ne 0$:
$\mathrm{\Delta }=k^2-4\cdot (k-1)\to$
$\mathrm{\Delta }=k^2-4k+4\to \mathrm{\Delta }=(k-2{)}^2$.
Il $\mathrm{\Delta }$ è positivo o nullo per ________ valore di $k$, quindi l'equazione di partenza ammette sempre radici reali. In particolare se $k=2$ si hanno due soluzioni coincidenti.

•   Studiamo il segno dei tre coefficienti dell'equazione:
$1^{\circ }$ coefficiente: $A=k-1>0\to k>1$;
$2^{\circ }$ coefficiente: $B=k>0$;
termine noto: $C=1$, positivo per qualsiasi valore di $k$.

•   Compiliamo e analizziamo il quadro dei segni.

Analizziamo ora i valori di $k$ che separano le colonne.
Se $k=0$:   $A<0$, $B=0$, $C>0$$\to$
$s=0$, $p$________$0$$\to$ due soluzioni opposte.
Se $k=1$:   caso già esaminato, una sola soluzione negativa.
Se $k=2$:   $A>0$, $B>0$, $C>0$$\to$
$s<0$, $p>0$$\to$ due soluzioni ________.

Riassumendo:
•   $k<1\wedge k\ne 0$: due soluzioni discordi;
•   $k=0$: due soluzioni ________;
•   $k=1$: una soluzione negativa;
•   $k>1\wedge k\ne 2$: due soluzioni negative;
•   $k=2$: due soluzioni coincidenti e negative.

Stabilisci per quali valori di $a$ l'equazione $-(3-2a)x^2+(a+2)x+2a=0$ ha:
a.   soluzioni discordi;
b.   soluzioni negative distinte;
c.   soluzioni $x_1$ e $x_2$ tali che ${\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<5}$.

L'equazione è nella forma $A{x}^2+Bx+C=0$.
Calcoliamo il determinante.
$\mathrm{\Delta }=(a+2{)}^2+4\cdot (3-2a)\cdot 2a\to$
$-15a^2+28a+4\to$
$(-15a-2)(a-2)$.

Studiamo il segno del discriminante al variare di $a$.
•   $-15a-2\ge 0\to a$________${\displaystyle -\frac{2}{15}}$;
•   $a-2\ge 0\to a\ge 2$.
Il discriminante è positivo o nullo se ${\displaystyle -\frac{2}{15}\le a\le 2}$.
Per questo intervallo di valori del parametro quindi le radici sono reali.

a.
Affinché le radici siano discordi, il prodotto deve essere negativo.
Troviamo il prodotto delle due soluzioni in funzione del parametro
$a:p=$________$={\displaystyle \frac{2a}{-(3-2a)}}$.
Chiediamo che $p$ sia negativo e risolviamo.
${\displaystyle \frac{2a}{-(3-2a)}<0\to {\displaystyle \frac{2a}{-3+2a}<0}}$
•   $2a>0\to a>0$;
•   $-3+2a>0\to a>{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
Il prodotto delle soluzioni è negativo se
________.
Mettiamo a sistema le condizioni trovate con quella di $\mathrm{\Delta }\ge 0$:
$\{\begin{array}{c}0<a<{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ {\displaystyle -\frac{2}{15}\le a\le 2}\end{array}\to 0<a<{\displaystyle \frac{3}{2}.}$

b.
Per avere delle soluzioni negative, la loro somma deve essere negativa, mentre il loro prodotto positivo. Troviamo l'espressione della somma in funzione del parametro $a$:
$s={\displaystyle -\frac{B}{A}=\frac{-(a+2)}{-(3-2a)}=\frac{a+2}{3-2a}}$.
L'espressione del prodotto è la stessa del punto a.
Dobbiamo richiedere quindi
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a+2}{3-2a}<0}\\ {\displaystyle \frac{2a}{-(3-2a)}>0}\end{array}$.
Risolviamo le singole disequazioni e il sistema.
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a+2}{3-2a}<0}\\ {\displaystyle \frac{2a}{-(3-2a)}>0}\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle a<-2\vee a>{\displaystyle \frac{3}{2}}}\\ {\displaystyle a<0\vee a>{\displaystyle \frac{3}{2}}}\end{array}\to a<-2\vee a>{\displaystyle \frac{3}{2}.}$
Dato che cerchiamo soluzioni distinte, mettiamo a sistema le condizioni trovate con quella di $\mathrm{\Delta }$________$0$
$\{\begin{array}{c}a<-2\vee a>{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ {\displaystyle -\frac{2}{15}<a<2}\end{array}\to {\displaystyle \frac{3}{2}<a<2}$.

c.
La condizione ${\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<5}$ si può riscrivere come
${\displaystyle \frac{x_2+x_1}{x_1\cdot x_2}<5\to }$________$<5$.
Scriviamo la condizione in funzione del parametro $a$ e la risolviamo.
${\displaystyle \frac{\frac{a+2}{3-2a}}{\frac{2a}{-(3-2a)}}<5}$
${\displaystyle \frac{a+2}{\cancel{3-2a}}\cdot \frac{-\cancel{(3-2a)}}{2a}<5}$
Per poter semplificare dobbiamo porre la condizione ________.
${\displaystyle \frac{-(a+2)}{2a}<5\to \frac{-a-2-10a}{2a}<0}$,
${\displaystyle \frac{-11a-2}{2a}<0\to a<-\frac{2}{11}\vee a>0}$.
Mettiamo a sistema la condizione trovata con quella di $\mathrm{\Delta }\ge 0$. Ricordiamo inoltre di inserire la condizione $a\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$, posta in precedenza.
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle a<{\displaystyle -\frac{2}{11}\vee a>0}}\\ {\displaystyle a\ne \frac{3}{2}}\\ {\displaystyle -\frac{2}{15}\le a\le 2}\end{array}\to$________.

Considera la disequazione parametrica
$(2k^2-1)x^2+(3+4k)x+2<0$
Per quali valori di $k$ la disequazione ammette come soluzioni i valori di $x$ interni all'intervallo delle soluzioni dell'equazione associata?

Cerchiamo i valori di $k$ per cui l'equazione associata abbia soluzioni reali e il termine di secondo grado sia positivo, cioè:
________.
Risolviamo una disequazione alla volta.

Prima disequazione.
$9+24k+16k^2-16k^2+8>0$
________

Seconda disequazione.
$2k^2-1>0$
________


Le soluzioni del problema sono date dallo schema in figura ________, cioè:
________.

Determina il dominio di:
a.   $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{3x^2-4x+5}{9x^2+1-6x}}}$;
b.   $y={\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[4]{x^2+2x-1}}$.

a.
Si deve richiedere che il radicando sia positivo o nullo:
${\displaystyle \frac{3x^2-4x+5}{9x^2+1-6x}}$________$0$.
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
•   $3x^2-4x+5\ge 0$
$\mathrm{\Delta }=16-60<0\to$________
•   $9x^2+1-6x$________$0$
$9x^2-6x+1>0$
$\mathrm{\Delta }=36-36=0\to$
${\displaystyle x_1=x_2,x_1=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}$.
Il denominatore è positivo $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
Quindi la frazione è positiva per qualsiasi $x$ reale, ad eccezione di ${\displaystyle x=\frac{1}{3}}$, per il quale si annulla il denominatore.

b.
Il primo radicale ha indice dispari. Pertanto è sufficiente chiedere che il denominatore non si annulli: ________.
Per il secondo radicale invece dobbiamo richiedere che il radicando sia ________: $x^2+2x-1\ge 0$.
Risolviamo la disequazione.
${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}=1+1=2\to }$
$x_1=$________, $x_2=-1-\sqrt{2}$.
La disequazione ha quindi soluzione
________.
Poiché i due radicali sono presenti nella stessa espressione, le condizioni trovate devono valere contemporaneamente:
$\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\le -1-\sqrt{2}\vee x\ge \sqrt{2}-1\end{array}\to$
$x\le -1-\sqrt{2}\vee x\ge \sqrt{2}-1$.

Calcola per quali valori di $k$ la seguente disequazione è impossibile.
$(k-1)x^2+2(k-2)x+k<0$

Cerchiamo i valori di $k$ per cui per l'equazione associata ha $\mathrm{\Delta }$________$0$.
Consideriamo $(k-1)x^2+2(k-2)x+k=0$; troviamo:
$\mathrm{\Delta }=k^2-4k+4-k^2$________$k=$
$-$________$k+4$.
Imponiamo $\mathrm{\Delta }$________$0$ e otteniamo:
$-3k+4$________$0$$\to$
$3k$________$4$$\to$
$k$________${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

È data la funzione
$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-x-3}{x^2-3x+10}}$.
Trova:
a.   il dominio;
b.   per quali valori di $x$ il suo grafico si trova al di sopra dell'asse $x$;
c.   per quali valori di $x$ il suo grafico si trova al di sotto della retta di equazione $y=2$.

a.
Per determinare il dominio, dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli, quindi
$x^2-3x+10\ne 0$.
Risolviamo l'equazione associata $x^2-3x+10=0$.
$\mathrm{\Delta }=(-3{)}^2-4\cdot 10\cdot 1=$
$9-40=-31<0$
Il discriminante è negativo quindi non esiste valore di $x$ che annulli il denominatore, pertanto il dominio è $\mathbb{R}$.

b.
Dobbiamo richiedere
${\displaystyle \frac{2x^2-x-3}{x^2-3x+10}}$________$0$.
Risolviamo la disequazione studiandone separatamente il segno del numeratore e del denominatore.
•   $2x^2-x-3>0$
$\mathrm{\Delta }=1+24=25\to$
$x_1={\displaystyle \frac{1+5}{4}=\frac{3}{2}}$, $x_2={\displaystyle \frac{1-5}{4}=-1}$.
Il numeratore è quindi positivo se ________.
•   $x^2-3x+10>0$
Il discriminante, come già calcolato, è negativo. Per cui il denominatore è positivo $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
Costruendo uno schema dei segni, si trova che $f(x)$ è positiva se $x<-1\vee x>{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

c.
Il grafico di $f(x)$ si trova al di sotto della retta
$y=2$ se ${\displaystyle \frac{2x^2-x-3}{x^2-3x+10}}$________$2$.
Risolviamo la disequazione.
${\displaystyle \frac{2x^2-x-3}{x^2-3x+10}-2<0}$
${\displaystyle \frac{\cancel{2x^2}-x-3-\cancel{2x^2}+6x-20}{x^2-3x+10}<0}$
${\displaystyle \frac{5x-23}{x^2-3x+10}<0}$
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
•   $5x-23>0\to x>{\displaystyle \frac{23}{5}}$;
•   $x^2-3x+10>0\to \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
La disequazione è verificata se
$x$________${\displaystyle \frac{23}{5}}$.