FIP05BBblu17 - Equazione di grado superiore al secondo #464946

Determina per quali valori del parametro

a \in R

l'equazione

(2 - a) x^{4} - 8 = 0

:
a. è impossibile;
b. ha

\pm 2

come soluzioni.

a. È impossibile per

a

________.
b. Sostituiamo nell'equazione
________

= \pm 2 :

(2 - a) 16 - 8 = 0 \to a =

________.

Completamento chiuso

Il quadrato del successivo di un numero è uguale a

16

volte il quadrato del reciproco del suo precedente. Qual è il numero?

Indichiamo con

x

il numero.
Traduciamo il testo del problema in un'equazione e la risolviamo.

(x + 1)^{2} =

________

\to

(x - 1)^{2} (x + 1)^{2} = 16 \to

(x^{2}

________

1)^{2} = 16 \to

________

=

________

4

\to

x = \pm \sqrt{5}

.

Il numero quindi è

\sqrt{5}

o

- \sqrt{5}

.

Completamento chiuso

Per quanti valori interi positivi del parametro

k

l'equazione binomia

k x^{6} + 1 = 12 x^{6} - k x^{6}

nell'incognita

x

ha almeno una soluzione?

A:

0

B:

1

C:

5

D:

6

Scelta multipla

Associa a ogni equazione binomia le sue soluzioni.

3 x^{2} = 27

________

2 x^{3} = 54

________

3^{3} + x^{3} = 0

________

\frac{1}{3} x^{3} = 1

________

Posizionamento

Risolvi la seguente equazione.

x^{4} - x^{3} - 8 x^{2} + 2 x + 12 = 0

x^{4} - x^{3} - 8 x^{2} + 2 x + 12 = 0 \to

(x

________

2) (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x +

________

) = 0 \to

(x + 2) (x -

________

) (x^{2} - 2) = 0 \to

x = - 2

,

x =

________,

x = \pm \sqrt{2}

.

Completamento chiuso

Il guadagno settimanale, in euro, di una pasticceria è rappresentato dalla funzione

g (x) = - \frac{x^{3}}{2} + 14 x^{2} - 30 x - 100

,
dove

x

indica i kilogrammi di dolci venduti. Determina quanti kilogrammi di dolci deve vendere la pasticceria per avere un guadagno di

500

€.

Traduciamo il testo del problema in un'equazione e la risolviamo:

- \frac{x^{3}}{2} + 14 x^{2} - 30 x - 100 = 500 \to

- \frac{x^{3}}{2} + 14 x^{2} - 30 x -

________

= 0 \to

x^{3} - 28 x^{2} + 60 x +

________

= 0 \to

(x

________

10) (x^{2} -

________

x - 120) = 0 \to

x = 10

,

x ≃

________.

Completamento chiuso

Risolvi l'equazione

${(\frac{x}{x - 1})}^{4} - 5 {(\frac{x}{x - 1})}^{2} + 4 = 0.$

Poniamo $t = {(\frac{x}{x - 1})}^{2}$ con $x \neq 1$ .

L'equazione diventa

________ $- 5$ ________ $+ 4 = 0$

e ha come soluzioni $t_{1} = 4$ e $t_{2} =$ ________.

Risostituiamo $t = {(\frac{x}{x - 1})}^{2}$ :

${(\frac{x}{x - 1})}^{2} = 4$ $\to$ $3 x^{2} - 8 x + 4 = 0$ $\to$ $x_{1} =$ ________, $x_{2} = \frac{2}{3}$ ;
${(\frac{x}{x - 1})}^{2} =$ ________ $\to$ $- 2 x + 1 = 0 \to x_{3} = \frac{1}{2}$ .

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

x^{5} - 7 x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 3 x + 21 = 0

x^{5} - 7 x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 3 x + 21 = 0 \to

(x -

________

) (x^{4} - 2 x^{2} -

________

) = 0

Poniamo

x^{2} = t

\to

t^{2} - 2 t - 3 = 0 \to

t =

________,

t = - 1

.
Abbiamo quindi:

x =

________;

x = \pm \sqrt{3}

.

Completamento chiuso

Scrivi le condizioni di esistenza della frazione

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + x}{2 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x - 2}$

e semplificala.

Le condizioni di esistenza sono

$2 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x - 2 \neq 0 \to$

$(x - 1) (x + 1)$ ________ $(x - \frac{1}{2})$ $\neq 0$ $\to$

$x \neq 1$ , $x \neq - 1$ , $x \neq$ ________ $2$ , $x \neq \frac{1}{2}$ .

Semplifichiamo la frazione:

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + x}{2 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x - 2} =$

$x (x - 1)$ ________	$=$
$(x - 1) (x + 1) (x - 2) (x - \frac{1}{2})$

$x$	$=$
$(x + 1)$ ________

$\frac{x}{x^{2} - x - 2}$ .

Completamento chiuso

Determina per quali valori del parametro le seguenti equazioni soddisfano la condizione indicata.
a.

x^{10} + a x^{5} + 2 a = 0

ha una sola soluzione;
b.

a x^{4} - 5 + a = 0

ha almeno una soluzione.

a.

x^{10} + a x^{5} + 2 a = 0

Poniamo

t = x^{5} \to t^{2} + a t + 2 a = 0

, ha una sola soluzione se ________

\to

a^{2} - 8 a = 0 \to

________.

b.

a x^{4} - 5 + a = 0

L'equazione ha almeno una soluzione se ________

\geq 0

\to

________.

Completamento chiuso

Considera l'equazione

(2 h + 2) x^{4} + (k - 3) x^{3} - 26 x^{2} - 9 x + h + 3 = 0

.
a. Per quali valori di

h

e

k

l'equazione è reciproca di quarto grado?
b. In corrispondenza di tali valori, quali sono le sue soluzioni?

a. L'equazione è reciproca di quarto grado per

2 h + 2 =

________

\to

h = 1

e

k - 3 = - 9 \to k =

________.

b. L'equazione per

h = 1

e

k = - 6

diventa:

4 x^{4} - 9 x^{3} - 26 x^{2} - 9 x + 4 = 0

.
Scomponiamo in fattori:

4 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 9 (x + \frac{1}{x}) - 26 = 0

.
Poniamo

t = x + \frac{1}{x}

; le soluzioni di

4 t^{2} - 9 t - 34 = 0

sono

t_{1} =

________,

t_{2} = \frac{17}{4}

\to

x = - 1

,

x = \frac{1}{4}

,

x =

________.

Completamento chiuso

Per quali valori di

a

l'equazione

x^{4} + (a - 3) x^{2} - 2 a + 3 = 0

ammette esattamente due soluzioni reali e opposte?

Poniamo

t = x^{2}

. L'equazione diventa

t^{2} + (a - 3) t - 2 a + 3 = 0

e ha esattamente una soluzione se

Δ = 0

:

(a - 3)^{2} - 4

________

= 0

\to

a^{2} + 2 a - 3 = 0 \to

a_{1} =

________,

a_{2} = 1

.

Abbiamo quindi che

t = x^{2} = - \frac{a - 3}{2}

, pertanto per

a =

________

\lor

a = 1

l'equazione

x^{4} + (a - 3) x^{2} - 2 a + 3 = 0

ammette esattamente due soluzioni reali opposte.

Completamento chiuso