Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Equazioni parametriche

FIP05BBblu16 - Equazioni parametriche

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Vero o falso?
L'equazione

x^{2} - 2 (a + 1) x + a^{2} + 2 = 0

ha soluzioni reali

\forall a \in R

se ha soluzioni reali queste non sono mai discordi.

se ha soluzioni reali queste non sono mai opposte.

se ha soluzioni reali queste sono sempre positive.

Vero o falso

Per quali valori del parametro

k

l'equazione

k x^{2} + (2 k + 3) x + k + 3 = 0

ammette due soluzioni reali il cui prodotto è almeno

10

0 < k \leq \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} < k \leq 0

k < 0 \lor k > \frac{1}{3}

k = 0 \lor k = \frac{1}{3}

Scelta multipla

Associa a ogni condizione relativa all'equazione

x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - k = 0

, in

x

, i valori corrispondenti del parametro

k

.

1. Ha soluzioni reali distinte.
________

2. Ha due soluzioni reali opposte.
________

3. Ha due soluzioni reali antireciproche.
________

4. Ha come soluzione

x = - 1

.
________

Posizionamento

Determina per quali valori del parametro

t

nell'equazione

t x^{2} + 2 t x + t - x - 3 = 0

:
a. si ha

(x_{1} - x_{2})^{2} = 9

;
b. la differenza delle radici è

0

;
c. si ha

| x_{1} + x_{2} | = 1

;
d. le radici sono discordi.

a. Portiamo l'equazione in forma normale.

t x^{2} + x (2 t - 1) + t - 3 = 0

La condizione

(x_{1} - x_{2})^{2} = 9

equivale a:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 9

(x_{1} + x_{2})^{2} -

________

x_{1} x_{2}

= 9

.
Dato che

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

, riscriviamo l'equazione e risolviamo.

{(\frac{- 2 t + 1}{t})}^{2}

________

4 \cdot \frac{(t - 3)}{t} = 9

,
con

t \neq 0

\frac{4 t^{2} + 1 - 4 t - 4 t^{2} + 12 t}{t^{2}} = 9

9 t^{2} - 8 t - 1 = 0

t_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 9}}{9} \to t_{1} = 1, t_{2} = - \frac{1}{9} .

Quindi la condizione è soddisfatta se

t = 1 \lor t = - \frac{1}{9}

.

b. la differenza delle radici è

0

se :
________

= 0

(x_{1} - x_{2})^{2} = 0

________

- 4 x_{1} x_{2} = 0

{(- \frac{2 t + 1}{t})}^{2} - 4 \cdot \frac{(t - 3)}{t} = 0

4 t^{2} + 1 - 4 t - 4 t^{2} + 12 t = 0 \to t = - \frac{1}{8} .

c. La condizione

| x_{1} + x_{2} | = 1

si può riscrivere come

|

________

|

= 1

, con

t \neq 0

.
L'equazione corrisponde alle seguenti due equazioni:
•

\frac{- 2 t + 1}{t} = 1 \to t = \frac{1}{3}

;
•

\frac{- 2 t + 1}{t} = - 1 \to t = 1

.
Quindi la condizione è soddisfatta se

t = \frac{1}{3}

________

t = 1

.

d. Le radici sono discordi se ________,
cioè se

\frac{t - 3}{t} < 0

, con

t \neq 0

.
La disequazione è soddisfatta se ________.

Completamento chiuso

Determina per quali valori di

k

nell'equazione

k x^{2} + k (2 x + 1) - 2 (3 x + 1) = 0

:
a. le soluzioni sono reali distinte;
b.

x_{1} = 5 - x_{2}

;
c. le soluzioni sono discordi;
d. le soluzioni sono antireciproche.

a. Portiamo l'equazione in forma normale.

k x^{2} + 2 k x + k - 6 x - 2 = 0

k x^{2} + 2 x (k - 3) + k - 2 = 0

k

________

0

, l'equazione è di secondo grado.
Calcoliamo il discriminante in questo caso.

\frac{Δ}{4} = (k - 3)^{2} - k (k - 2) \to

\frac{Δ}{4} = - 4 k + 9

Le soluzioni sono reali distinte se

\frac{Δ}{4}

________

0

- 4 k + 9 > 0 \to k < \frac{9}{4}

.
Aggiungendo la condizione iniziale, i valori di

k

cercati sono

k < \frac{9}{4} \land k \neq 0

.

b.

x_{1} = 5 - x_{2} \to x_{1} + x_{2} = 5

Calcoliamo

x_{1} + x_{2}

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} =

________
Sostituiamo nell'equazione.

\frac{- 2 (k - 3)}{k} = 5

, con

k \neq 0

- 2 k + 6 = 5 k \to k = \frac{6}{7}

.

c. Le soluzioni sono discordi se
________

< 0

.
Quindi se ________

< 0

.
La disequazione ha per soluzione ________.

d. Le soluzioni sono antireciproche se

x_{1} x_{2} =

________

1

Quindi se ________, con

k \neq 0

.
Risolviamo l'equazione

k - 2 = - k \to k = 1

Completamento chiuso

Considera l'equazione

(4 - a) x^{2} - 4 x + a = 0

. Trova per quali valori del parametro

a

:
a. si ha

\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} = \frac{1}{2}

;
b. si ha

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 2

;
c. la differenza delle soluzioni è

1

;
d. una soluzione è

4

.

a.

\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} = \frac{1}{2}

\frac{2 x_{2} + 2 x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{1}{2}

\frac{2 (x_{1} + x_{2})}{x_{1} x_{2}} = \frac{1}{2}

Calcoliamo la somma e il prodotto delle due soluzioni:
•

x_{1} + x_{2} =

________

= \frac{4}{4 - a}

, con

a \neq 4

;
•

x_{1} x_{2} =

________

= \frac{a}{4 - a}

, con

a \neq 4

.
Sostituiamo.

\frac{2 \cdot \frac{4}{4 - a}}{\frac{a}{4 - a}} = \frac{1}{2} \to

\frac{8}{a} = \frac{1}{2} \to a = 16

.

b.

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 2

;
________

- 3 x_{1}^{2} x_{2} - 3 x_{1} x_{2}^{2} = 2

(x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 2

Sostituiamo i valori di somma e prodotto trovati nel punto a:

(

________

)^{3}

- \frac{3 a}{4 - a} \cdot \frac{4}{4 - a} = 2

.
Risolviamo l'equazione, supponendo sempre

a \neq 4

\frac{64}{(4 - a)^{3}} - \frac{12 a}{(4 - a)^{2}} = 2

\frac{64 - 12 a (4 - a)}{(4 - a)^{3}} = \frac{2 (4 - a)^{3}}{(4 - a)^{3}}

64 - 48 a + 12 a^{2} = 128 - 2 a^{3} - 96 a + 24 a^{2}

a^{3} - 6 a^{2} + 24 a - 32 = 0

(a - 2) (a^{2} - 4 a + 16) = 0

Il secondo fattore non è ulteriormente scomponibile perché

Δ

________

0

.
Quindi

a = 2

.

c. Si deve porre

x_{1} - x_{2} = 1

, che può essere così riscritta come

(x_{1} + x_{2})^{2} = 1

________

-

________

x_{1} x_{2} = 1

Sappiamo che

x_{1} + x_{2} =

________ e

x_{1} x_{2} =

________,
quindi sostituendo:

{(\frac{4}{4 - a})}^{2} - \frac{4 a}{4 - a} = 1

, con

a \neq 4

.
Risolviamo l'equazione.

16 - 4 a (4 - a) = (4 - a)^{2}

16 - 16 a + 4 a^{2} - 16 - a^{2} + 8 a = 0

3 a^{2} - 8 a = 0

a (3 a - 8) = 0 \to a = 0, a = \frac{8}{3}

.

d. Sostituiamo ________ nell'equazione e risolviamo per ________.

(4 - a) \cdot 16 - 4 \cdot 4 + a = 0

64 - 16 a - 16 + a = 0

- 15 a = - 48 \to a = \frac{16}{5}

Completamento chiuso

Per quale valore di

k

la somma dei reciproci dei cubi delle radici dell'equazione

x^{2} + 3 x + k = 0

è nulla?

k = 0

k = 2

k = 3

∄ k \in R

Scelta multipla

Considera l'equazione

x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} - 3 = 0

, nell'incognita

x

. Determina i valori di

k

per cui una radice supera l'altra di

3

.

Una radice supera l'altra di

3

x_{1} - x_{2}

________

3

.
Quindi se

(x_{1} + x_{2})^{2} -

________

x_{1} x_{2}

(

________

)^{2}

- 4 \cdot (k^{2} - 3) = 9

.
Risolviamo l'equazione.

4 k^{2} + 1 + 4 k - 4 k^{2} + 12 - 9 = 0 \to

k = - 1

Completamento chiuso

Considera l'equazione

2 a x^{2} + (b - 2) x - a + b = 0

, con

a \neq 0

. Trova

a

b

in modo che una soluzione valga

- 1

e che il prodotto delle soluzioni sia uguale al doppio della somma.

Imponiamo le condizioni richieste:
•

2 a

________

(b - 2) - a + b = 0

;
• ________

=

\frac{- (b - 2)}{2 a} \cdot 2

.

Poniamo le equazioni a sistema e risolviamo.

{\begin{cases} 2 a - b + 2 - a + b = 0 \\ \frac{- a + b}{2 a} = \frac{- (b - 2)}{2 a} \cdot 2 \end{cases} \to

{\begin{cases} a = - 2 \\ + 2 + b = - 2 b + 4 \end{cases} \to

{\begin{cases} a = - 2 \\ b = \frac{2}{3} \end{cases} .

Completamento chiuso