Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Sistemi di tre equazioni in tre incognite

FIP05BBblu12 - Sistemi di tre equazioni in tre incognite

8 esercizi

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Matematica

Senza risolverlo, indica se il seguente sistema è indeterminato.

{\begin{matrix} x + 2 y - 3 z = 5 \\ 7 x - 4 y + z = 6 \\ 5 x - 8 y + 7 z = - 4 \end{matrix}

Il sistema è in forma normale. Per capire se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile, calcoliamo il determinante

D

D = | \begin{matrix} 1 & 2 & - 3 \\ 7 & - 4 & 1 \\ 5 & - 8 & 7 \end{matrix} | =

- 28 + 10 + 168 - 60 + 8 - 98 =

________
Il sistema ________ determinato. Per capire se il sistema è impossibile o indeterminato, calcoliamo

D_{x}

D_{x} = | \begin{matrix} 5 & 2 & - 3 \\ 6 & - 4 & 1 \\ - 4 & - 8 & 7 \end{matrix} | =

- 140 - 8 + 144 + 48 + 40 - 84 = 0

Poiché

D_{x} = 0

, calcoliamo

D_{y}

D_{y} = | \begin{matrix} 1 & 5 & - 3 \\ 7 & 6 & 1 \\ 5 & - 4 & 7 \end{matrix} | =

42 + 25 + 84 + 90 - 245 + 4 =

________
Calcoliamo infine

D_{z}

D_{z} = | \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 7 & - 4 & 6 \\ 5 & - 8 & - 4 \end{matrix} | =

16 + 60 - 280 + 100 + 48 + 56 =

________
Abbiamo trovato che

D = D_{x} = D_{y} = D_{z} = 0

, quindi il sistema è ________.

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Matematica

Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo che ritieni più opportuno.

{\begin{matrix} 6 x + y - z = 0 \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} z = - \frac{5}{6} \\ y - 2 z = 5 \end{matrix}

Il sistema è in forma normale. Possiamo applicare il metodo di sostituzione e ricavare

y

dalla terza equazione:

y =

________.
Sostituiamo l'espressione trovata nella prima e nella seconda equazione.
________
Le prime due equazioni contengono solamente le incognite

x

z

. Possiamo ricavare

z

dalla prima equazione e sostituirne il valore nella seconda.
________
Dalla seconda equazione ricaviamo

x

x =

________.
Ora possiamo ricavare

z

dalla prima equazione:

z = - 5 - 6 x =

________.
E infine

y

dalla terza:

y = 2 z + 5 =

________.
La soluzione del sistema è:
________.

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Matematica

Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo che ritieni più opportuno.

{\begin{matrix} 3 x + 2 z = \frac{y + 17}{2} \\ x + 5 = 2 (z - y) \\ 3 (x - y) - 6 = 4 - 2 y - 2 z \end{matrix}

Il sistema in forma normale è:
________.
Applichiamo il metodo di riduzione e eliminiamo

y

dalla seconda e dalla terza equazione. Aggiungiamo alla seconda equazione due volte la prima:
________.
Sottraiamo la prima equazione dalla terza.
________.
Riscriviamo il sistema con le nuove equazioni.
________
La seconda e terza equazione ora contengono solamente

y

z

. Con il metodo di riduzione, eliminiamo

z

dalla seconda. Sottraiamo alla seconda equazione il triplo della terza:
________

x = 2.

Troviamo

z

dalla terza equazione:

z = \frac{7 - 3 x}{2} = \frac{1}{2}

.
Ricaviamo infine

y

dalla prima equazione:

y = 6 x + 4 z - 17 =

________.
La soluzione del sistema è:
________.

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Matematica

Trova i valori di $a$ , $b$ e $c$ affinchè il sistema ammetta come soluzione $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; 1)$ .

${\begin{matrix} 78 x + 12 y - a z = - 41 \\ 2 x + b y + 2 z = a - 6 \\ a x + c y - \frac{b}{3} z = c - 2 \end{matrix}$

Sostituiamo la terna di valori all'interno del sistema.

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$78 (- \frac{1}{2})$ $+ 12 \cdot \frac{1}{3} -$ ________ $= - 41$
	$2 \cdot (- \frac{1}{2}) + b \cdot \frac{1}{3} + 2 = a - 6$
	$a \cdot (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} c - \frac{b}{3} = c - 2$

Svolgiamo i conti e otteniamo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$6$	.
	$b =$ ________
	$c =$ ________

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Matematica

Giulio ha acquistato una giacca, un paio di pantaloni e una camicia. Nello stesso negozio Jamal ha comprato due paia di pantaloni e una giacca spendendo $260$ €, Luigi tre camicie e un paio di pantaloni spendendo $140$ €. Se un paio di pantaloni e una giacca costano come sette camicie, quanto ha speso Giulio?

Chiamiamo $x$ , $y$ e $z$ il costo di una giacca, di un paio di pantaloni e di una camicia, rispettivamente. Allora:

• ________ $= 260$ ;

• $3 z + y = 140$ ;

• ________ $+ x =$ ________.

Poniamo a sistema le tre equazioni e risolviamo.

${\begin{matrix} 2 y + x = 260 \\ 3 z + y = 140 \\ y + x = 7 z \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 260 - 2 y$	$\to$
	$3 z + y = 140$
	$y +$ ________ $= 7 z$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 260 - 2 y$	$\to$
	$y = 140 -$ ________
	$z = 30$

${\begin{matrix} x = 160 \\ y = 50 \\ z = 30 \end{matrix}$

Quindi Giulio ha speso $160 + 50 + 30 = 240$ €.

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Matematica

Il perimetro del triangolo $A B C$ è $25$ cm e il lato $A B$ è i $\frac{2}{3}$ della somma degli altri due. Determina le lunghezze dei lati del triangolo, sapendo che congiunge i punti medi di $A C$ e $B C$ è lungo come la differenza tra i $\frac{3}{2}$ di $B C$ e $A C$ .

Per semplicità, chiamiamo $x = A B$ , $y = B C$ , $z = A C$ . Allora:

________ $= 25$ ;
$x =$ ________;
per il teorema dei punti medi di un triangolo, il segmento che congiunge i punti medi di $A C$ e $B C$ ha lunghezza pari alla metà di $A B$ , quindi
$\frac{x}{2} =$ ________.

Poniamo le tre equazioni a sistema e risolviamo.

${\begin{matrix} x + y + z = 25 \\ x = \frac{2}{3} (y + z) \\ \frac{x}{2} = \frac{3}{2} y - z \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} 2 y + 2 z + 3 y + 3 z = 75 \\ x = \frac{2}{3} (y + z) \\ 2 y + 2 z = 9 y - 6 z \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$z =$ ________	$\to$
	$x = \frac{2}{3} (y + z)$
	$2 y + 2 (15 - y) = 9 y - 6 (15 - y)$

${\begin{matrix} z = 7 \\ x = 10 \\ y = 8 \end{matrix}$

Quindi le lunghezze dei lati sono $A B = 10$ cm, $B C = 8$ cm, $A C = 7$ cm.

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Matematica

Lucia acquista in un negozio alcuni pacchetti di pasta, al costo di

1, 25

€ l'uno,

3

barattoli di marmellata e

2

confezioni di biscotti, spendendo in totale

24, 45

€. Nello stesso negozio, Sabrina acquista la metà dei pacchetti di pasta rispetto a Lucia e una confezione di biscotti, spendendo in tutto

7, 50

€. Infine Luca, in un giorno in cui la marmellata è scontata del

20 %

, acquista

3

barattoli di marmellata e

4

pacchetti di biscotti, spendendo complessivamente

10, 06

€ più di Sabrina. Quanti pacchetti di pasta ha preso Lucia?

Chiamiamo

x

il numero di pacchetti di pasta presi da Lucia, mentre chiamiamo

y

z

il costo di un barattolo di marmellata e una confezione di biscotti, rispettivamente.

Allora tenendo conto degli acquisti di Lucia, Sabrina e Luca possiamo scrivere:
•

1, 25 x + 3 y + 2 z = 24, 45

;
• ________

+ z =

7, 50

;
• ________

+ 4 z =

10, 06 + 7, 50

.

Poniamo le tre equazioni a sistema e risolviamo. Otteniamo

{\begin{matrix} 125 x + 300 y + 200 z = 2445 \\ 125 x + 200 z = 1500 \\ 240 y + 400 z = 1756 \end{matrix} .

Se ________ la prima equazione con la seconda otteniamo:

300 y = 945 \to y = \frac{63}{20}

.
Sostituiamo nella terza equazione:

240 \cdot \frac{63}{20} + 400 z = 1756 \to z = \frac{5}{2} .

Pertanto, tornando alla prima equazione:

125 x = 1000 \to x = 8.

Quindi Lucia ha preso

8

pacchetti di pasta.

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Matematica

Dato il polinomio

P (x) = x^{4} + a x^{3} + b x + c

,
determina i valori di

a

b

c

, sapendo che il polinomio è divisibile per

x - 2

e che

P (1) = - 2

P (- 2) = 40

.

Se

P (x)

è divisibile per

x - 2

, allora ________

= 0

16 +

________

+ 2 b + c = 0

.
Inoltre:
•

P (1) = - 2 \to 1 + a + b + c = - 2

;
•

P (- 2) = 40 \to 16

________

- 2 b + c = 40

.
Mettiamo le tre equazioni trovate a sistema.

{\begin{matrix} 16 + 8 a + 2 b + c = 0 \\ 1 + a + b + c = - 2 \\ 16 - 8 a - 2 b + c = 40 \end{matrix}

Se ________ la prima equazione con l'ultima otteniamo:

32 + 2 c = 40 \to c = 4

.
Torniamo al sistema.

{\begin{matrix} 8 (- b - 7) + 2 b = - 20 \\ a = - b - 7 \\ 16 - 8 a - 2 b + 4 = 40 \end{matrix}

{\begin{matrix} b = - 6 \\ a = - 1 \\ c = 4 \end{matrix}

Quindi i coefficienti valgono:

a = - 1

b = - 6

c = 4

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