FIP05BBblu08 - MCD e mcm polinomi #492598 - Prove ed esercizi Zanichelli

Vero o falso?
Dati due polinomi

A (x)

e

B (x)

:

A: se

B (x) = [A (x)]^{2}

, allora il

mcm

fra

A (x)

e

B (x)

è

A (x)

.

B: se

B (x) = (x - 1) \cdot A (x)

, allora

1

è uno zero del

mcm

fra

A (x)

e

B (x)

.

C: se

A (x)

e

B (x)

hanno lo stesso grado, anche il loro

MCD

e il loro

mcm

hanno lo stesso grado.

D: se il

MCD

fra

A (x)

e

B (x)

è

1

,

A (x)

e

B (x)

non hanno zeri in comune.

Vero o falso

Calcola

MCD

e

mcm

dei seguenti polinomi

2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 3;

x^{4} + 2 x^{2} - 3

.

MCD

: ________.

mcm

: ________.

Completamento chiuso

Quale fra i seguenti polinomi è primo rispetto al polinomio

a^{3} - 6 a^{2} - a + 30

, cioè non ha divisori in comune diversi da

1

?

A:

a^{3} + 6 a^{2} - a - 30

B:

a^{3} - 4 a + 7 a^{2} - 28

C:

a^{3} - 4 a^{2} - 11 a + 30

D:

a^{3} - 27

Scelta multipla

Quale delle seguenti coppie di polinomi ha per

MCD

il polinomio

x^{2 n} + x^{n}

, con

n \in N

?

A:

x^{3 n} - x^{n}

e

x^{2 n} - x^{n}

.

B:

(x^{2 n} + x^{n})^{2}

e

x^{2 n} + 5

.

C:

3 x^{2 n} + 3 x^{n}

e

x^{3 n} + x^{2 n}

.

D:

12 x^{2 n} + 12 x^{n}

e

- 4 x^{2 n} - 4 x^{n}

.

Scelta multipla

Calcola

MCD

e

mcm

dei seguenti polinomi

16 x^{3} - 8 x^{2} + x

;

2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2

;

8 x^{3} - 10 x^{2} + 2 x

.

MCD

: ________.

mcm

: ________.

Completamento chiuso

Calcola il $MCD$ e il $mcm$ fra i seguenti polinomi.

$a^{4} - 16 b^{4} + 2 a^{3} b - 8 a b^{3}$ ;
$4 a b^{2} + 4 a^{2} b - 3 a^{2} + a^{3} - 12 b^{2} - 12 a b$ ;
$a^{3} + 12 b^{2} - 4 a b^{2} - 3 a^{2}$ .

Scomponiamo i polinomi dati in fattori.

$a^{4} - 16 b^{4} + 2 a^{3} b - 8 a b^{3} =$
$a^{3} (a + 2 b) - 8$ ________ $(a + 2 b) =$
$(a + 2 b) (a^{3} - 8 b^{3}) =$
$(a + 2 b) (a - 2 b) (a^{2} + 2 b +$ ________ $)$
$4 a b^{2} + 4 a^{2} b - 3 a^{2} + a^{3} - 12 b^{2} - 12 a b =$
$a (4 b^{2} + 4 a b + a^{2})$ ________ $3 (4 b^{2} + 4 a b + a) =$
$(4 b^{2} + 4 a b + a^{2}) (a - 3) =$ ________ $(a - 3)$
$a^{3} + 12 b^{2} - 4 a b^{2} - 3 a^{2} =$
$a^{2} (a - 3)$ ________ $4 b^{2} (a - 3) =$
$(a - 3) (a^{2} - 4 b^{2}) =$
$(a - 3)$ ________

Quindi si ha:

$MCD$ $=$ ________;

$mcm =$ $(a + 2 b)^{2} (a - 2 b) (a - 3) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})$ .

Completamento chiuso

Dati i polinomi

P (x)

e

Q (x)

e

a \in R

, siano

A (x)

e

B (x)

, rispettivamente, il loro

MCD

e il loro

mcm

. Quale delle seguenti implicazioni è sempre vera?

A:

P (a) = 0 \to A (a) = 0

B:

B (a) = 0 \to P (a) = 0

C:

A (a) = 0 \to B (a) = 0

D:

B (a) = 0 \to A (a) = 0

Scelta multipla

Calcola il $MCD$ e il $mcm$ fra i seguenti polinomi.

$b^{2 n} - 6 b^{n} - 7$ ;
$1 - b^{2 n}$ ;
$3 b^{n + 2} - 21 b^{2}$ .

Scomponiamo i polinomi in fattori.

$b^{2 n} - 6 b^{n} - 7 = (b^{n} - 7) (b^{n}$ ________ $1)$ ;
$1 - b^{2 n} =$ ________;
$3 b^{n + 2} - 21 b^{2} = 3 b^{n} \cdot b^{2} - 21 b^{2} =$
$3 b^{2} ($ ________ $- 7)$ .

Quindi, si ha:

$MCD =$ ________;

$mcm =$ $3 b^{2} (b^{n} - 7) (b^{n} + 1) (1 - b^{n})$ .

Completamento chiuso

Quale delle seguenti coppie di polinomi ha come

mcm

il polinomio

x^{4 n} + 2 x^{2 n} - 3

, con

n \in N

?

A:

x^{2 n} - 1

e

x^{2 n} - 3

.

B:

4 x^{2 n} - 4

e

x^{2 n} + 3

.

C:

(x^{n} - 1)^{2}

e

x^{2 n} + 3

.

D:

x^{n} - 1

e

x^{3 n} + 3 x^{2 n} + 3 x^{n} + 3

.

Scelta multipla

Dei polinomi

A (x)

e

B (x)

si sa che:
• sono entrambi di secondo grado;
• il

MCD

tra

A (x)

e

B (x)

è

x - 3

;
• il

mcm

tra

A (x)

e

B (x)

è

x^{3} - x^{2} - 14 x + 24

;
• il termine noto di

A (x)

è

6

.
Qual è il

MCD

tra

B (x)

e

x^{2} + 2 x - 8

?

Poiché il

MCD

tra

A (x)

e

B (x)

è

(x - 3)

scriviamo

A (x) = a (x - 3) (x - x_{1})

e

B (x) = b (x - 3) (x - x_{2})

. Scomponiamo il

mcm

:

x^{3} - x^{2} - 14 x + 24 =

________.
Poiché il termine noto di

A (x)

è

6

, allora

a = b = 1

e

A (x) =

________,
Il

MCD

tra

B (x)

e

x^{2} + 2 x - 8

è:
________.

Completamento chiuso