Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - La similitudine e la circonferenza, la sezione aurea

FIP04BBbluG7 - La similitudine e la circonferenza, la sezione aurea

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Nella figura, la circonferenza ha centro

O

. Determina la lunghezza di

B C

e di

A B

. Determina poi l'area del triangolo

A C O

. Le misure dei segmenti rappresentati sono in cm.

A O

interseca la circonferenza in

A^{'}

; prolunghiamo

A O

fino a intersecare la circonferenza di nuovo in

A^{″}

.
Abbiamo che

A A^{″} =

________ cm e

A C =

(

________

- 14)

cm.
Inoltre, ________

: \bar{A C} = \bar{A B} : \bar{A A^{'}}

per il teorema delle secanti quindi:

44 : (3 x - 14) = (2 x - 14) : 20 \to

6 x^{2}

________

70 x + 196 = 880 \to

3 x^{2} - 35 x + 342 = 0 \to

Δ = 5328

x_{1, 2} = \frac{35 \pm 73}{6} =

x_{1} = 18; x_{2} = - \frac{19}{3} .

Consideriamo solo la soluzione positiva.
Quindi

B C = 18

cm e

A B =

________ cm.
Infine,

2 p_{A C O} = 12 + 40 + 32 = 84

cm e

A_{A C O} = \sqrt{42 \cdot 30 \cdot 2 \cdot 10} = 60 \sqrt{7}

cm².

Completamento chiuso

In un quadrato

A B C D

, di centro

O

M

è il punto medio di

A B

. Considera un punto

E

A M

e un punto

F

M B

tali che

E M ≅ M F ≅ M H

, con

H

punto medio di

A O

. Dimostra che

A B C D

è equivalente a

8

volte il rettangolo che ha i lati congruenti ad

A E

A F

.

Sia

l

il lato del quadrato, si ha che

\bar{A C} = l \sqrt{2}

.
Il triangolo

A H M

è rettangolo isoscele:

\bar{A H} ≅

________

=

________

=

________.

\bar{A E} ≅ \bar{A M} -

________

≅ \bar{A M} - \bar{M H} =

\frac{1}{2} l - \frac{\sqrt{2}}{4} l = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} l

\bar{A F} ≅ \bar{A B} - \bar{B F} ≅ \bar{A B} - \bar{A E} =

l - \frac{2 - \sqrt{2}}{4} l =

________l.

L'area del rettangolo avente i lati congruenti a

A E

A F

è quindi

\frac{2 - \sqrt{2}}{4} l \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{4} l = \frac{4 - 2}{16} l^{2} = \frac{1}{8} l^{2}

.

L'area del quadrato

A B C D

è quindi

8

volte l'area del rettangolo, come volevasi dimostrare.

Completamento chiuso

Nella Gioconda è possibile individuare una spirale aurea. Calcola l'altezza del rettangolo aureo più grande, sapendo che quella del rettangolo più piccolo è

8

cm.

L'altezza del rettangolo più piccolo è il lato più corto del secondo rettangolo più piccolo e quindi la sezione aurea del lato più ________.
Quest'ultimo, a sua volta, è il lato corto del terzo rettangolo più piccolo e quindi la sezione aurea del lato più ________.
Questa relazione si ripete per ________ rettangoli fino ad arrivare al più grande.
Possiamo quindi scrivere:

8 :

________

=

\frac{8 \cdot 2^{4}}{(\sqrt{5} - 1)^{4}} = \frac{16}{7 - 3 \sqrt{5}}

cm.
Razionalizziamo:

\frac{16}{7 - 3 \sqrt{5}} \cdot \frac{7 + \sqrt{5}}{7 + \sqrt{5}} = 4 (7 + \sqrt{5})

cm.

Completamento chiuso

Il quadrilatero

A B C D

ha gli angoli

\hat{B}

\hat{D}

retti e i lati

A B

A D

lunghi rispettivamente

13

cm e

11

cm. Una circonferenza di centro

C

interseca il lato

A B

E

e il prolungamento di

A B

, dalla parte di

B

, in

F

; la stessa circonferenza incontra il lato

A D

G

e il prolungamento di

A D

, dalla parte di

D

, in

H

. Determina le lunghezze di

A E

A G

, sapendo che

B E ≅ 2 D G

.

Sia

\bar{D G} = x

\to

\bar{B E} = 2 x

.
Inoltre,

\bar{D H} ≅ \bar{G D} = x

\bar{B F} ≅ \bar{B E} = 2 x

.
Per il teorema delle secanti si ha che:

\bar{F A} : \bar{A H} =

________

\to

(13 + 2 x) : (11 + x) =

________

:

________

\to

(13 + 2 x) (13 - 2 x) = (11 - x) (11 + x)

\to

169 - 4 x^{2} = 121 - x^{2} \to

3 x^{2} = 48 \to x^{2} = 16 \to x = 4

cm.

Di conseguenza

A E = 13 -

________

=

________ cm e

A G = 11 - 4 = 7

cm.

Completamento chiuso

Il quadrato

A B C D

in figura è formato da un quadrato e due rettangoli. Il quadrato

A E F G

e il rettangolo

E B C H

sono equivalenti. Dimostra che

A E

è la sezione aurea di

A B

.

Dobbiamo dimostrare che

\bar{A B} : \bar{A E} = \bar{A E} :

________,
ossia che

\bar{A B} \cdot

________

= {\bar{A E}}^{2}

.
L'area del quadrato

A E F G

{\bar{A E}}^{2}

, mentre l'area del rettangolo

E B C H

\bar{C B} \cdot \bar{E B} =

________

\cdot \bar{E B}

.
Visto che il quadrato e il rettangolo sono equivalenti si ha che

\bar{A B} \cdot

________

= {\bar{A E}}^{2}

Completamento chiuso

Tre corde,

A B

C D

E F

, di una circonferenza si incontrano nel punto medio

M

A B

, che è lunga

12

cm.
Determina le lunghezze di

C M

M D

E F

, sapendo che

C D

è lunga

13

cm,

C M < M D

e il rapporto fra l'area del triangolo

A F M

e quella del triangolo

B E M

9

.

Sia

\bar{C M} = x

. Allora

\bar{M D} = 13 - x

.
Per il teorema delle ________ si ha che

\bar{A M} : \bar{M D} =

________

\to

6 : (13 - x) = x : 6 \to (13 - x) x = 36 \to

x^{2} - 13 x + 36 = 0 \to x = 4 \lor x = 9

.
Poiché

C M < M D

, si ha che

C M = 4

cm e

\bar{M D} = 9

cm.
I triangoli

A F M

B E M

sono simili, pertanto il loro rapporto di similitudine tra i loro lati:
________

=

________

\to

M F =

________ cm;

\frac{\bar{A M}}{\bar{E M}} = 3 \to E M = 2

cm.
Dunque,

E F = 20

cm.

Completamento chiuso

Siano

A

P

B

tre punti allineati, con

P

compreso fra

A

B

, tali che

A P

è la sezione aurea di

A B

. Detta

γ

una qualunque circonferenza passante per

A

P

, e detto

B T

il segmento di tangente condotto da

B

γ

, dimostra che

B T

è congruente ad

A P

.

Per il teorema ________ si ha che

A B : B T =

________

\to

B T = \sqrt{A B \cdot P B}

.
Per la definizione di sezione aurea si ha che

A B :

________

=

P A :

________

\to

P A = \sqrt{A B \cdot P B}

.
Ne segue la tesi.

Completamento chiuso

La figura rappresenta una circonferenza di centro

O

e raggio

r = 40

cm.

M

è il punto medio della corda

A B

\bar{O M} = 32

.
Calcola le lunghezze di

M D

C M

e il rapporto tra le aree dei triangoli

C B M

A D M

.

Nel triangolo rettangolo

O B M

abbiamo

M B = \sqrt{40^{2} - 32^{2}} = 24

cm per il teorema di Pitagora.
Quindi anche

A M =

________ cm.

\bar{M B} : \bar{M D} =

________:

\bar{A M}

per il teorema delle corde

24 : (\frac{1}{3} x - 4) = x : 24 \to

\frac{1}{3} x^{2} - 4 x - 576 = 0 \to

x^{2} - 12 x - 1728 = 0 \to

\frac{Δ}{4} = 1764

x_{1, 2} = 6 \pm

________

=

x_{1} = 48; x_{2} = - 36.

Consideriamo solo la soluzione positiva.
Quindi

C M = 48

cm e

M D = 12

cm.
Infine, il rapporto di similitudine tra

C B M

A D M

2

quindi il rapporto tra le loro aree è ________.

Completamento chiuso