Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Il primo teorema di Euclide e il teorema di Pitagora

FIP04BBbluG6 - Il primo teorema di Euclide e il teorema di Pitagora

9 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Vero o falso?

In figura

E D ∥ A B

P R ∥ Q D

.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

{\bar{B E}}^{2} = \bar{B P} \sqrt{{\bar{A E}}^{2} + {\bar{B E}}^{2}}

{\bar{P R}}^{2} = \bar{E R} \cdot \bar{E B} - {\bar{E R}}^{2}

{\bar{B D}}^{2} - {\bar{E B}}^{2} = \bar{E Q} \cdot \bar{E B}

{\bar{E D}}^{2} = {\bar{B R}}^{2} + {\bar{P R}}^{2}

Vero o falso

Il punteggio di un esercizio è determinato
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Matematica

In un triangolo rettangolo, la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa è lunga

1, 8

cm e l'ipotenusa supera il cateto minore di

2

cm. Calcola perimetro e area del triangolo.

Disegniamo la figura.

\bar{B H} : \bar{B C} =

________

:

________
per il ________ teorema di Euclide.

Quindi

{\bar{B C}}^{2} = 1, 8 (\bar{B C}

________

2)

e risolviamo per trovare

\bar{B C}

{\bar{B C}}^{2}

________

1, 8 \bar{B C}

________

3, 6 = 0 \to

10 {\bar{B C}}^{2}

________

18 \bar{B C}

________

36 = 0

\to

10 {\bar{B C}}^{2}

________

12 \bar{B C}

________

30 \bar{B C} - 36 = 0 \to

(5 \bar{B C}

________

6) (2 \bar{B C}

________

6) = 0 \to

\bar{B C} = - \frac{6}{5} \lor \bar{B C} = 3

.
Accettiamo solo la soluzione

\bar{B C} = 3

cm.

Quindi

A B =

________ cm e

A C =

________

= 4

cm
per il teorema di Pitagora.

Infine, troviamo il perimetro del triangolo

2 p = 12

cm
e la sua area

A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6

cm².

Completamento chiuso

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Matematica

Un quadrilatero

A B C D

ha le diagonali perpendicolari, lunghe

5

cm e

12

cm, che si incontrano nel punto

O

tale che

A O = 5

cm e

O B = \frac{2}{3} D O

. Calcola il perimetro del quadrilatero.

Disegniamo la figura.

O C = 12

________

5 =

________ cm.

O B ≅ \frac{2}{5} A C

quindi

O B = \frac{2}{5} \cdot 5 =

________ cm e

O C =

________ cm.
Utilizziamo il teorema di Pitagora nei triangoli

A O B

B O C

D O C

A O D

per calcolare la lunghezza delle loro ipotenuse:

A B =

________

≃ 5, 83

cm;

B C =

________

≃ 7, 62

cm;

D C =

________

≃ 7, 28

cm;

A D =

________

≃ 5, 39

cm.
Quindi il perimetro è

2 p = 26

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Considera un triangolo rettangolo

A B C

. Da un punto

N

appartenente all'ipotenusa

B C

traccia la retta perpendicolare al cateto

A C

e chiama

M

il punto di intersezione.
Dimostra che

{\bar{B C}}^{2} - {\bar{C M}}^{2} - {\bar{B M}}^{2} = 2 \bar{A M} \cdot \bar{C M}

.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B C

triangolo rettangolo;

M N ⊥ A C

.
Tesi

{\bar{B C}}^{2} - {\bar{C M}}^{2} - {\bar{B M}}^{2} = 2 \bar{A M} \cdot \bar{C M}

.
Dimostrazione
Sappiamo che

{\bar{A C}}^{2} = (\bar{A M} + \bar{M C})^{2}

e cioè

{\bar{A C}}^{2} = {\bar{A M}}^{2}

________

2 \bar{A M} \cdot \bar{A M} + {\bar{M C}}^{2}

.
Quindi

{\bar{A C}}^{2}

________

{\bar{A M}}^{2}

________

{\bar{M C}}^{2}

=

2 \bar{A M} \cdot \bar{M C}

.

Inoltre,

{\bar{A C}}^{2} = {\bar{B C}}^{2}

________

{\bar{A B}}^{2}

per il teorema di ________ sul triangolo

A B C

{\bar{A B}}^{2} = {\bar{B M}}^{2}

________

{\bar{A M}}^{2}

per il teorema di Pitagora sul triangolo

A B M

.

Sostituendo

{\bar{A B}}^{2}

nella seconda uguaglianza otteniamo

{\bar{A C}}^{2} = {\bar{B C}}^{2}

________

{\bar{B M}}^{2}

________

{\bar{A M}}^{2}

.

Quindi, sostituiamo

{\bar{A C}}^{2}

nella prima uguaglianza e otteniamo:

{\bar{B C}}^{2}

________

{\bar{B M}}^{2}

________

{\bar{A M}}^{2} - {\bar{A M}}^{2} - {\bar{M C}}^{2} =

2 \bar{A M}

\cdot

\bar{M C} \to

{\bar{B C}}^{2} - {\bar{B M}}^{2} - {\bar{M C}}^{2} = 2 \bar{A M} \cdot \bar{C M}

Completamento chiuso

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Matematica

Dato un triangolo

E F G

, sia

C

la circonferenza a esso circoscritta. Indichiamo con

X

il punto d'intersezione (diverso da

F

) della bisettrice dell'angolo

E \hat{F} G

con la circonferenza

C

e con

Y

il punto medio dell'arco

\overset{⌢}{E G}

contenente

F

. Sapendo che

\bar{F X} = 12

\bar{F Y} = 5

, quanto misura il raggio della circonferenza

C

9

\frac{13}{2}

7

8

\frac{11}{2}

Scelta multipla

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Matematica

In un rettangolo

A B C D

, le perpendicolari alle diagonali

A C

B D

passanti per i punti

C

D

incontrano i prolungamenti della base

A B

rispettivamente in

Q

P

. Dimostra che la somma dei quadrati costruiti su

A B

B C

è equivalente a un triangolo di base

A B

e altezza congruente a

P Q + C D

.

Disegniamo la figura.

Consideriamo i triangoli

A D P

B Q C

:
•

D \hat{A} P ≅ C \hat{B} Q ≅ \frac{π}{2}

;
•

A \hat{D} P ≅ B \hat{C} Q

perché ________ di angoli congruenti;
•

A D ≅ B C

perché

A B C D

è un ________;
quindi

A P D ≅ B Q C

per il ________ criterio di congruenza e in particolare

A P ≅

________.

Quindi

P Q ≅ A B + 2 B Q

per costruzione.

Il secondo membro dell'uguaglianza desiderata è equivalente a:

\frac{\bar{A B} (\bar{P Q} + \bar{C D})}{2} = \frac{\bar{A B} (2 \bar{A B} + 2 \bar{B Q})}{2} =

{\bar{A B}}^{2} + \bar{A B} \cdot \bar{B Q}

.

Inoltre per il teorema di Pitagora nei triangoli

A B C

A C Q

C B Q

{\bar{A B}}^{2}

________

{\bar{B C}}^{2} = {\bar{A C}}^{2}

;

{\bar{A Q}}^{2}

________

{\bar{C Q}}^{2} = {\bar{A C}}^{2}

;

{\bar{B Q}}^{2}

________

{\bar{B C}}^{2} = {\bar{C Q}}^{2}

;
e

\bar{A B} \cdot \bar{B Q} = {\bar{B C}}^{2}

per il ________ teorema di Euclide nel triangolo

A C Q

.

Quindi il primo membro dell'uguaglianza desiderata è equivalente a:

{\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} = {\bar{A Q}}^{2}

________

{\bar{C Q}}^{2} =

(\bar{A B} + \bar{B Q})^{2}

________

{\bar{C Q}}^{2} =

{\bar{A B}}^{2} + {\bar{B Q}}^{2} + 2 \bar{A B \cdot B Q}

________

{\bar{B Q}}^{2}

________

\bar{A B} \cdot \bar{B Q} =

{\bar{A B}}^{2} + \bar{A B} \cdot \bar{B Q}

.

Entrambi i membri dell'uguaglianza sono equivalenti a

{\bar{A B}}^{2} + \bar{A B} \cdot \bar{B Q}

quindi l'uguaglianza è verificata per la proprietà transitiva.

Completamento chiuso

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Matematica

Consideriamo il triangolo rettangolo

A B C

di ipotenusa

A B

. La mediana

C M

relativa ad

A B

è i

\frac{5}{2}

della proiezione

A H

del cateto

A C

sull'ipotenusa e il perimetro di

A B C

8 (3 \sqrt{5} + 5)

cm. Trova la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta ad

A B C

.

Per il primo teorema di Euclide abbiamo che:

{\bar{A C}}^{2} = \bar{A H} \cdot \bar{A B} =

\bar{A H} \cdot

________

=

________

\to

\bar{A C} = \sqrt{5} \bar{A H}

;

{\bar{B C}}^{2} = \bar{B H} \cdot \bar{A B} =

________

\cdot

________

= 20 {\bar{A H}}^{2} \to

\bar{B C} = 2 \sqrt{5} \bar{A H}

.

Il perimetro del triangolo rettangolo è:

2 \sqrt{5} \bar{A H} + \sqrt{5} \bar{A H} +

________

=

8 (3 \sqrt{5} + 3) \to \bar{A H} =

________ cm.

Possiamo ora calcolare l'area del triangolo rettangolo:

A =

________

=

________ cm².

La lunghezza del raggio della circonferenza inscritta è:

a = \frac{A}{p} =

________

=

________

(3 \sqrt{5} - 3)

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Quale, tra le seguenti, non è una terna pitagora?

2 \sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{10} .

3 \sqrt{3}, \sqrt{2}, \sqrt{20} .

5, 2 \sqrt{5}, 3 \sqrt{5} .

2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{26} .

Scelta multipla

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Matematica

Il periodo

T

di oscillazione di un pendolo semplice di lunghezza

l

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

, dove

g = 9, 8

m/s² è l'accelerazione di gravità terrestre. Il pendolo in figura ha un periodo di

2, 2

s. Qual è la misura di

Δ y

?

Calcoliamo la lunghezza del pendolo:

l =

________

≃ 1, 2

m cioè

l ≃

________ cm.
Sia

y + Δ y = l

, allora

y =

________

≃ 118

cm.
Infine,

Δ y ≃ 120

________

118

≃

________ cm.

Completamento chiuso

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