FIP04BBblu19 - Disequazioni con valori assoluti

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{5-|2x+5|}{|x^2-10|+1}\le 0}\\ {\displaystyle \frac{3}{|x+4|}\ge \frac{x}{2}}\end{array}.$

Studiamo separatamente le due disequazioni.

La prima disequazione equivale a:

Abbiamo quindi:

$\{\begin{array}{l}x<-\sqrt{10}\\ \frac{2x+10}{x^2-9}\le 0\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}-\frac{5}{2}\le x<\sqrt{10}\\ {\displaystyle \frac{-2x}{-x^2+11}\le 0}\end{array}\vee$

La seconda disequazione equivale a:

Risolviamo i sistemi ed otteniamo:

________.

Risolvi la seguente disequazione.

$-|2x-11|+2\le 3x$

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

${\displaystyle 2x-11\ge 0\to x\ge \frac{11}{2}.}$

La disequazione data è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle x<\frac{11}{2}}\\ 2x-11+2\le 3x\end{array}$

Risolviamo i sistemi:

________.

Risolvi la seguente disequazione al variare di $k$ in $\mathbb{R}$:

${\displaystyle \frac{|x-3|-1}{k-1}>0}$.

${\displaystyle \frac{|x-3|-1}{k-1}>0}$.

Studiamo li segno del denominatore:

$k-1>0\to k>1$.

Se $k>1$ il denominatore è positivo, per cui

${\displaystyle \frac{|x-3|-1}{k-1}>0}$ è equivalente a

$|x-3|-1$________$0$.

Risolviamola:

$|x-3|$________$1$$\to$

$x-3<-1\vee x-3>1\to$

$x<2\vee x>4$.

Se $k<1$ il denominatore è negativo, per cui

${\displaystyle \frac{|x-3|-1}{k-1}>0}$ è equivalente a

$|x-3|-1$________$0$.

Risolviamola:

$|x-3|<1\to$

$2<x<4$.

Se $k=1$ la disequazione ________.

Risolvi la seguente disequazione.

${\displaystyle \frac{|2x|-4}{8-|x^2-4|}\ge 0}$

Studiamo il segno delle espressioni all'interno dei valori assoluti:

• $2x\ge 0\to x\ge 0$;
• $x^2-4\ge 0\vee x\le -2\vee x\ge 2$.

L'equazione è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}x\le -2\\ -2\sqrt{3}<x\le -2\vee x>2\sqrt{3}\end{array}\to$________;

2.$\{\begin{array}{l}-2<x<0\\ {\displaystyle \frac{-2x-4}{8+x^2-4}\ge 0}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}-2<x<0\\ x\le -2\end{array}\to$________

3.$\{\begin{array}{l}0<x<2\\ {\displaystyle \frac{2x-4}{8+x^2-4}\ge 0}\end{array}\to$

4.$\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ {\displaystyle \frac{2x-4}{8-x^2-4}\ge 0}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x<-2\sqrt{3}\vee 2\le x\le 2\sqrt{3}\end{array}\to$________

Quindi la disequazione è soddisfatta per

$-2\sqrt{3}<x\le -2\vee 2\le x<2\sqrt{3}$.

Risolvi la seguente disequazione.

$x-{\displaystyle \frac{x-1}{|x+2|}\ge 5+2x}$

Mettiamo la disequazione nella forma:

$5+x+{\displaystyle \frac{x-1}{|x+2|}\le 0}$.

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

$x+2\ge 0\to x\ge -2$.

Quindi

La disequazione ha per soluzioni l'unione delle soluzioni dei due sistemi:

$\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ 5+x+{\displaystyle \frac{x-1}{x+2}\le 0}\end{array}\vee$

Risolvendo la seconda disequazione del primo sistema, otteniamo:

${\displaystyle \frac{x^2+8x+9}{x+2}\le 0}$.

Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore:

• $N>0$:   $x^2+8x+9\ge 0\to$$x\le -4-\sqrt{7}\vee x\ge -4+\sqrt{7}$;
• $D>0$:   $x+2>0\to x>-2$.

Compiliamo il quadro dei segni.

Dunque, ${\displaystyle \frac{x^2+8x+9}{x+2}\le 0}$ se e solo se

$x\le -4-\sqrt{7}\vee -2<x\le -4+\sqrt{7}$.

Intersechiamo le soluzioni delle due disequazioni del primo sistema.

Le soluzioni del primo sistema sono

$-2<x\le -4+\sqrt{7}$.

Risolvendo la seconda disequazione del secondo sistema, otteniamo:

${\displaystyle \frac{x^2+6x+11}{x+2}\le 0}$.

Poiché il numeratore è sempre positivo, affinché la frazione risulti negativa, è necessario che il numeratore sia negativo:

${\displaystyle \frac{x^2+6x+11}{x+2}\le 0\to }$________$<0$$\to$________.

Il secondo sistema è dunque equivalente a

Unendo le soluzioni dei due sistemi, troviamo le soluzioni della disequazione iniziale:

$x\le -4+\sqrt{7}\wedge x\ne -2$.

Risolvi la seguente disequazione.

$1-|2x^2-5x+2|\ge 2x-3$

$1-|2x^2-5x+2|\ge 2x-3$

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

$2x^2-5x+2\ge 0\to$

$\mathrm{\Delta }=25-16=9\to$

$x_{1,2}={\displaystyle \frac{5\pm 9}{4}=\frac{5\pm 3}{4}\to }$

$x$________${\displaystyle \frac{1}{2}\vee x\ge 2}$.

La disequazione iniziale è quindi equivalente all'unione dei due sistemi:

Risolviamo la seconda disequazione del primo sistema:

$1-(2x^2-5x+2)\ge 2x-3\to$

$1-2x^2+5x-2\ge 2x-3\to$

$2x^2-3x-2\le 0\to$

$x_{1,2}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{25}}{4}=\frac{3\pm 5}{4}\to }$

${\displaystyle -\frac{1}{2}\le x\le 2}$.

Intersechiamo le soluzioni delle due disequazioni del primo sistema per trovarne le soluzioni.

Le soluzione del primo sistema sono dunque

________.

Risolviamo la seconda disequazione del secondo sistema:

$1-(-2x^2+5x-2)\ge 2x-3\to$

$1+2x^2-5x+2\ge 2x-3\to$

$2x^2-7x+6\ge 0\to$

$\mathrm{\Delta }=49-48=1\to$

$x_{1,2}={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{1}}{4}=\frac{7\pm 1}{4}\to }$

________.

Lo schema grafico rappresentante l'intersezione delle soluzioni delle due disequazioni del secondo sistema è quello in figura ________.

Le soluzioni del secondo sistema sono dunque

________.

Uniamo le soluzioni dei due sistemi per trovare le soluzioni della disequazione da risolvere:

${\displaystyle -\frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}\vee x=2}$.

Considera le funzioni $f(x)=|3x^2-6x|$ e $g(x)=2x+|x|$.

a.   Disegna i grafici di $f(x)$ e $g(x)$ nello stesso riferimento cartesiano.

b.   Determina graficamente e algebricamente per quali valori di $x$ si ha $f(x)\le g(x)$.

a.   Tracciamo il grafico della funzione $h(x)=3x^2-6x$, sapendo che il suo vertice è $V(1;-3)$ e passa per i punti $A(0;0)$ e $B(-1;9)$.

Si ha che

$f(x)=|h(x)|=$

$g(x)=\{\begin{array}{ll}2x+x& \text{se}x\ge 0\\ 2x-x& \text{se}x<0\end{array}=$

$\{\begin{array}{ll}3x& \text{se}x\ge 0\\ x& \text{se}x<0\end{array}.$

Tracciamo il grafico di $f(x)$ in blu, e di $g(x)$ in rosso.

b.   Risolviamo la disequazione algebricamente.

$|3x^2-6x|\le 2x+|x|\to$

Dopo semplici passaggi matematici, otteniamo:

$x=0\vee 1\le x\le 2\vee 2<x\le 3\to$

$x=0\vee 1\le x\le 3$.

Risolvere graficamente la disequazione significa stabilire per quali valori di $x$ la funzione $f(x)$ sta ________ o interseca la funzione $g(x)$.

Evidenziamo le parti di grafico dove ciò si verifica.

Le soluzioni coincidono con quelle trovate algebricamente.

Considera l'equazione $m{x}^2+(m+3)x-4=0$. Determina per quali valori di $m$ la somma fra il valore assoluto della somma delle radici e il valore assoluto del loro prodotto è almeno $2$.

Affinché l'equazione ammetta soluzioni reali dobbiamo imporre

$\mathrm{\Delta }$________$0$.

Svolgendo i calcoli otteniamo:

$m\le -11-4\sqrt{7}\vee m\ge -11+4\sqrt{7}$.

Siano $x_1$ e $x_2$ le soluzioni dell'equazione.

Si deve determinare $m$ tale che

$|x_1+x_2|+|x_1{x}_2|\ge 2$.

Si ha $x_1+x_2=$________ e $x_1{x}_2={\displaystyle -\frac{4}{m}}$.

${\displaystyle |-\frac{m+3}{m}|+|-\frac{4}{m}|\ge 2\to }$

${\displaystyle \left|\frac{m+3}{m}\right|+\left|\frac{4}{m}\right|\ge 2}$.

Studiamo il segno delle due espressioni nei valori assoluti:

${\displaystyle \frac{m+3}{m}\ge 0\to m\le -3\vee m>0}$;

${\displaystyle \frac{4}{m}\ge 0\to m>0}$.

Compiliamo uno schema grafico riassuntivo.

Dunque, la disequazione è equivalente ai tre sistemi seguenti:

$\{\begin{array}{l}m\le -3\\ {\displaystyle \frac{m+3}{m}-\frac{4}{m}\ge 2}\end{array}\vee$$\{\begin{array}{l}-3<m<0\\ {\displaystyle -\frac{m+3}{m}-\frac{4}{m}\ge 2}\end{array}\vee$

ossia, svolti i calcoli:

$\{\begin{array}{l}m\le -3\\ -1\le m<0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}-3<m<0\\ {\displaystyle -\frac{7}{3}\le m<0}\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}m>0\\ 0<m\le 7\end{array}.$

Il primo sistema è impossibile, le soluzioni della disequazione sono quindi date dall'unione delle soluzioni del secondo e del terzo sistema:

${\displaystyle -\frac{7}{3}\le m<0\vee 0<m\le 7\to }$

${\displaystyle -\frac{7}{3}\le m\le 7\wedge m\ne 0}$.

Intersechiamo adesso le soluzioni trovate con la condizione iniziale:

$m\le -11-4\sqrt{7}\vee m\ge -11+4\sqrt{7}$.

I valori di $m$ cercati sono quindi

$-11+4\sqrt{7}\le m\le 7\wedge m\ne 0$.