Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Sistemi di disequazioni

FIP04BBblu18 - Sistemi di disequazioni

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Quali tra le seguenti sono le soluzioni del sistema

{\begin{cases} \frac{4 x}{1 - x} > \frac{2}{x - 1} - 2 x \\ \frac{(x^{3} + 1)^{3}}{x^{3} + x^{2}} \leq 0 \end{cases}

Impossibile.

Scelta multipla

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} \frac{x^{2} (x + 1^{3})}{x^{2} + 1} < 0 \\ \frac{x}{x + 2} \leq \frac{2 x}{x^{2} + 3 x + 2} \end{cases}

Risolviamo separatamente le due disequazioni.

Prima disequazione

\frac{x^{2} (x + 1)^{3}}{x^{2} + 1} < 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Osserviamo che:
•

N_{1} = x^{2}

è sempre ________ e si
annulla per

x = 0

, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto del valore

0

nello scrivere soluzioni;

N_{2} > 0 \to (x + 1)^{3} > 0 \to x

________

- 1

.
•

D = x^{2} + 1

è sempre ________.
Quindi la frazione è negativa per ________.

Seconda disequazione

\frac{x}{x + 2} \leq \frac{2 x}{x^{2} + 3 x + 2}

Scomponiamo i denominatori e portiamo le frazioni al primo membro.

\frac{x}{x + 2} -

________

\leq 0

________

\leq 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N > 0 \to x^{2} - x \leq 0 \to

________

D > 0 \to x^{2} + 3 x + 2 > 0 \to

________
Quindi la frazione è negativa o nulla per:

- 2 < x < - 1 \lor 0 \leq x \leq 1

.
Lo schema grafico con gli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni è quello in figura ________.

Le soluzioni del sistema sono:
________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} \frac{1}{x^{2} - 2 x} + 2 < \frac{1}{x} \\ \frac{x (x + 2)}{9 x^{2} - 1} \geq 0 \end{cases}

Risolviamo la prima disequazione.

\frac{1}{x^{2} - 2 x} + 2 < \frac{1}{x}

\frac{1 + 2 x (x - 2) - (x - 2)}{x (x - 2)} < 0

\frac{1 + 2 x^{2} - 4 x - x + 2}{x (x - 2)} < 0

\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x (x - 2)} < 0

Studiamo separatamente il numeratore e il denominatore.
• ________

Δ = 25 - 24 \to x_{1} = \frac{3}{2}

x_{2} = 1

.
Il numeratore è positivo se
________.
•

x (x - 2) > 0

Il denominatore è positivo se

x < 0 \lor x > 2

.
La prima disequazione del sistema ha come soluzione
________.

Risolviamo la seconda disequazione.

\frac{x (x + 2)}{9 x^{2} - 1} \geq 0

• ________

\to

x \leq - 2 \lor x \geq 0

•

9 x^{2} - 1 > 0 \to (3 x - 1) (3 x + 1) > 0

x < - \frac{1}{3} \lor x > \frac{1}{3}

La seconda disequazione del sistema ha come soluzione

x \leq - 2 \lor - \frac{1}{3} < x \leq 0 \lor x > \frac{1}{3}

.
Mettendo a sistema le soluzioni trovate si trova

\frac{1}{3} < x < 1 \lor \frac{3}{2} < x < 2

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} (x - 2) (x + 3) < 3 x^{2} - 9 \\ \frac{3}{x} \leq x + 2 \end{cases}

Risolviamo separatamente le due disequazioni.
Prima disequazione

(x - 2) (x + 3) < 3 x^{2} - 9

x^{2} + x - 6 - 3 x^{2} + 9 < 0

2 x^{2} - x - 3

________

0

________

Seconda disequazione

\frac{3}{x} \leq x + 2

Portiamo la disequazione nella forma

\frac{N (x)}{D (x)} \geq 0

\frac{N (x)}{D (x)} \leq 0

\frac{3}{x} - x - 2 \leq 0

;
________

\geq 0

.
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N \geq 0 \to x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 \to

________

D > 0 \to x > 0

La frazione è positiva o nulla per:

- 3 \leq x < 0 \lor x \geq 1

.
Lo schema grafico con gli insiemi delle soluzioni è quello in figura ________.
Le soluzioni del sistema sono:
________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema utilizzando la figura.

${\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) > 0 \\ h (x) \leq 0 \end{cases}$

Il sistema

${\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) > 0 \\ h (x) \leq 0 \end{cases}$ osservando la figura è

${\begin{cases} \end{cases}$	________	.
	$x < 3$
	________

Riportiamo i vari intervalli di valori in uno schema.

La soluzione del sistema quindi è

________.

Completamento chiuso

Determina le C.E. della seguente espressione.

\sqrt{\frac{2}{1 - x} + x} - \sqrt{x^{2} - 4 x^{4}}

I radicali presenti sono di indice pari. Quindi poniamo

{\begin{cases} \frac{2}{1 - x} + x \geq 0 \\ x^{2} - 4 x^{4} \geq 0 \end{cases} .

Risolviamo la prima disequazione.

\frac{2}{1 - x} + x \geq 0

\frac{2 + x - x^{2}}{1 - x} \geq 0

Studiamo separatamente il numeratore e il denominatore.
•

2 + x - x^{2} \geq 0

x^{2} - x - 2

________

0

Δ = 1 + 8 = 9 \to x_{1} = 2, x_{2} = - 1

.
Il numeratore quindi è positivo se
________.
•

1 - x > 0 \to x < 1

La prima disequazione del sistema ha come soluzione

- 1 \leq x < 1

.

Risolviamo la seconda disequazione.

x^{2} - 4 x^{4} \geq 0

Procediamo con la sostituzione

t = x^{2}

- 4 t^{2} + t \geq 0

4 t^{2} - t \leq 0 \to t (4 t - 1) \leq 0 \to

0 < t < \frac{1}{4}

Tornando alla variabile

x

, si avrà

0 < x^{2} < \frac{1}{4}

.
Quindi la seconda disequazione del sistema ha come soluzione
________.
Mettendo quest'ultima soluzione a sistema con quella della prima disequazione, si ottiene
________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

La frazione

\frac{- k + 4}{2 k^{2} + 3 k - 2}

è:

propria per

k < - 3 \lor k > 1

positiva per

k < 4

negativa per

- 2 < k < \frac{1}{2} \lor k > 4

propria e positiva per

k < - 3 \lor \frac{1}{2} < k < 4

Vero o falso

Vero o falso?
Fai riferimento alla figura.

{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases}

ha per soluzione

x < - 5

Il sistema

{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) > 0 \end{cases}

è impossibile.

{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) \leq 0 \end{cases}

è equivalente a

{\begin{cases} x^{2} - 4 \leq 0 \\ 2 (x + 1) \geq x + 2 \end{cases} .

{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases}

è equivalente a

x^{2} + 7 x + 10 < 0

Vero o falso

Determina quali numeri reali soddisfano contemporaneamente le seguenti condizioni.

• Il doppio del quadrato del numero sommato al triplo del numero stesso è maggiore di $5$ .

• La differenza tra il cubo del numero e tre volte il suo quadrato è negativa o nulla.

Chiamiamo $x$ un generico numero reale. Allora per la prima condizione si deve avere

________ $+ 3 x > 5$ .

Per la seconda condizione invece

$x^{3} - 3 x^{2}$ ________ $0$ .

Dato che devono essere soddisfatte contemporaneamente, dobbiamo risolvere il sistema

${\begin{cases} 2 x^{2} + 3 x > 5 \\ x^{3} - 3 x^{2} \leq 0 \end{cases} .$

Risolviamolo:

${\begin{cases} 2 x^{2} + 3 x > 5 \\ x^{3} - 3 x^{2} \end{cases} \to {\begin{cases} 2 x^{2} + 3 x - 5 > 0 \\ x^{2} (x - 3) \leq 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	________	.
	________

Quindi la soluzione è

$x < - \frac{5}{2} \lor 1 < x \leq 3$ .

Completamento chiuso

Marco si allena regolarmente per il triathlon. Nei $5$ minuti successivi all'allenamento di oggi, la sua frequenza cardiaca (in bpm, cioé battiti al minuto) varia con buona approssimazione secondo la funzione $f (t)$ rappresentata in figura, dove $t$ è il tempo, in minuti. Il grafico della funzione $y = f (t)$ è un arco di parabola, con vertice di coordinate $(5; 60)$ . In quale intervallo di tempo, nei $5$ minuti successivi al termine dell'allenamento, la frequenza cardiaca di Marco risulta compresa tra $60$ bpm e $100$ bpm?

L'equazione della parabola associata all'arco di parabola visibile in figura sarà del tipo $y = a x^{2} + b x + c$ . Determiniamo $a$ , $b$ , $c$ usando le informazioni date:

• l'intersezione con l'asse $y$ è in $(0; 160)$ , quindi, imponendo il passaggio della parabola per questo punto, si ha
$160 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \to c = 160$ ;

• il vertice è in $(5; 60)$ , quindi impostiamo il sistema

${\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = 9 \\ - \frac{(b^{2} - 4 a c)}{4 a} = 60 \end{cases} .$

Risolviamo il sistema.

${\begin{cases} b = - 10 a \\ - b^{2} + 4 a \cdot 160 = 240 a \end{cases} \to$

${\begin{cases} b = - 10 a \\ - b^{2} + 640 a - 240 a = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} b = - 10 a \\ - 100 a^{2} + 400 a = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} b = - 10 a \\ a (a - 4) = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$b =$ ________
	$a =$ ________

Quindi la parabola avrà equazione $y = 4 x^{2} - 40 x + 160$ .

Imponiamo ora che la frequenza cardiaca di Marco sia compresa tra $60$ bpm e $100$ bpm, cioè

$60 < 4 x^{2} - 40 x + 160 < 100$ .

Quest'ultimo intervallo si traduce nel sistema

${\begin{cases} \end{cases}$	$4 x^{2} - 40 x + 160$ ________ $60$	.
	$4 x^{2} - 40 x + 160$ ________ $100$

Risolviamo il sistema.

${\begin{cases} 4 x^{2} - 40 x + 100 > 0 \\ 4 x^{2} - 40 x + 60 < 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} x^{2} - 10 x + 25 > 0 \\ x^{2} - 10 x + 15 < 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	________	.
	$5 - \sqrt{10} < x < 5 + \sqrt{10}$

Il sistema ha quindi come soluzione

$5 - \sqrt{10} < x < 5 \lor 5 < x < 5 + \sqrt{10}$ .

Dato che ci interessano i $5$ minuti successivi all'allenamento, l'intervallo da considerare è il primo: la frequenza cardiaca di Marco è tra i $60$ bpm e i $100$ bpm da circa $1, 8$ minuti a $5$ minuti dopo l'allenamento.

Completamento chiuso

Le lunghezze della base e dell'altezza di un triangolo, in cm, sono date, rispettivamente, dalle seguenti espressioni: $\frac{1}{3} a + 2$ e $\frac{1}{2} (a - 1)$ . Se la somma delle due lunghezze è meno di $24$ cm, quali valori in cm può assumere il parametro $a$ affinché l'area del triangolo sia maggiore di $10$ cm²?

La prima condizione da porre è

$\frac{1}{3} a + 2 + \frac{1}{2} (a - 1) < 24$ .

La seconda condizione invece è

________ $> 10$ .

Le due condizioni devono valere contemporaneamente, quindi:

${\begin{cases} \frac{1}{3} a + 2 + \frac{1}{2} (a - 1) < 24 \\ \frac{1}{2} (\frac{1}{3} a + 2) \cdot [\frac{1}{2} (a - 1)] > 10 \end{cases} .$

Risolviamo il sistema.

${\begin{cases} \frac{1}{3} a + 2 + \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} < 24 \\ (\frac{1}{6} a + 1) (\frac{1}{2} a - \frac{1}{2}) > 10 \end{cases} \to$ ${\begin{cases} \frac{2 a + 12 + 3 a - 3}{6} < 24 \\ \frac{1}{12} a^{2} - \frac{1}{12} a + \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} > 10 \end{cases} \to$

${\begin{cases} 5 a + 9 - 144 < 0 \\ \frac{a^{2} - a + 6 a - 6}{12} > 10 \end{cases} \to$ ${\begin{cases} 5 a < 135 \\ a^{2} + 5 a - 6 - 120 > 0 \end{cases} \to$ ${\begin{cases} a < 27 \\ a^{2} + 5 a - 126 > 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$a < 27$	.
	________

Quindi il sistema ha come soluzione $a < - 14 \lor 9 < a < 27$ .

Dato che i lati del triangolo non possono avere lunghezza negativa, dobbiamo mettere a sistema la soluzione appena trovata con

$\frac{1}{3} a + 2$ ________ $0$ e $\frac{1}{2} (a - 1)$ ________ $0$ :

${\begin{cases} a < - 14 \lor 9 < a < 27 \\ \frac{1}{3} a + 2 > 0 \\ \frac{1}{2} (a - 1) > 0 \end{cases}$

Risolviamo il sistema.

${\begin{cases} a < - 14 \lor 9 < a < 27 \\ a > - 6 \\ a > 1 \end{cases} \to$

________.

Completamento chiuso