FIP04BBblu18 - Sistemi di disequazioni

Risolvi il seguente sistema utilizzando la figura.

$\{\begin{array}{c}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ h(x)\le 0\end{array}$

Il sistema

$\{\begin{array}{c}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ h(x)\le 0\end{array}$ osservando la figura è

Riportiamo i vari intervalli di valori in uno schema.

La soluzione del sistema quindi è

________.

Determina quali numeri reali soddisfano contemporaneamente le seguenti condizioni.

•   Il doppio del quadrato del numero sommato al triplo del numero stesso è maggiore di $5$.

•   La differenza tra il cubo del numero e tre volte il suo quadrato è negativa o nulla.

Chiamiamo $x$ un generico numero reale. Allora per la prima condizione si deve avere

________$+3x>5$.

Per la seconda condizione invece

$x^3-3x^2$________$0$.

Dato che devono essere soddisfatte contemporaneamente, dobbiamo risolvere il sistema

$\{\begin{array}{c}2x^2+3x>5\\ x^3-3x^2\le 0\end{array}.$

Risolviamolo:

$\{\begin{array}{c}2x^2+3x>5\\ x^3-3x^2\end{array}\to \{\begin{array}{c}2x^2+3x-5>0\\ x^2(x-3)\le 0\end{array}\to$

Quindi la soluzione è

$x<{\displaystyle -\frac{5}{2}\vee 1<x\le 3}$.

Le lunghezze della base e dell'altezza di un triangolo, in cm, sono date, rispettivamente, dalle seguenti espressioni: ${\displaystyle \frac{1}{3}a+2}$ e ${\displaystyle \frac{1}{2}(a-1)}$. Se la somma delle due lunghezze è meno di $24$ cm, quali valori in cm può assumere il parametro $a$ affinché l'area del triangolo sia maggiore di $10$ cm²?

La prima condizione da porre è

${\displaystyle \frac{1}{3}a+2+\frac{1}{2}(a-1)<24}$.

La seconda condizione invece è

________$>10$.

Le due condizioni devono valere contemporaneamente, quindi:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}a+2+\frac{1}{2}(a-1)<24}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{3}a+2)\cdot [\frac{1}{2}(a-1)]>10}\end{array}.$

Risolviamo il sistema.

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}a+2+\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}<24}\\ {\displaystyle (\frac{1}{6}a+1)(\frac{1}{2}a-\frac{1}{2})>10}\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2a+12+3a-3}{6}<24}\\ {\displaystyle \frac{1}{12}{a}^2-\frac{1}{12}a+\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}>10}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}5a+9-144<0\\ {\displaystyle \frac{a^2-a+6a-6}{12}>10}\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}5a<135\\ a^2+5a-6-120>0\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}a<27\\ a^2+5a-126>0\end{array}\to$

Quindi il sistema ha come soluzione $a<-14\vee 9<a<27$.

Dato che i lati del triangolo non possono avere lunghezza negativa, dobbiamo mettere a sistema la soluzione appena trovata con

${\displaystyle \frac{1}{3}a+2}$________$0$ e ${\displaystyle \frac{1}{2}(a-1)}$________$0$:

$\{\begin{array}{c}a<-14\vee 9<a<27\\ {\displaystyle \frac{1}{3}a+2>0}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}(a-1)>0}\end{array}$

Risolviamo il sistema.

$\{\begin{array}{c}a<-14\vee 9<a<27\\ a>-6\\ a>1\end{array}\to$

________.

Marco si allena regolarmente per il triathlon. Nei $5$ minuti successivi all'allenamento di oggi, la sua frequenza cardiaca (in bpm, cioé battiti al minuto) varia con buona approssimazione secondo la funzione $f(t)$ rappresentata in figura, dove $t$ è il tempo, in minuti. Il grafico della funzione $y=f(t)$ è un arco di parabola, con vertice di coordinate $(5;60)$. In quale intervallo di tempo, nei $5$ minuti successivi al termine dell'allenamento, la frequenza cardiaca di Marco risulta compresa tra $60$ bpm e $100$ bpm?

L'equazione della parabola associata all'arco di parabola visibile in figura sarà del tipo $y=a{x}^2+bx+c$. Determiniamo $a$, $b$, $c$ usando le informazioni date:

•   l'intersezione con l'asse $y$ è in $(0;160)$, quindi, imponendo il passaggio della parabola per questo punto, si ha
$160=a\cdot 0+b\cdot 0+c\to c=160$;

•   il vertice è in $(5;60)$, quindi impostiamo il sistema

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{b}{2a}=9}\\ {\displaystyle -\frac{(b^2-4ac)}{4a}=60}\end{array}.$

Risolviamo il sistema.

$\{\begin{array}{c}b=-10a\\ -b^2+4a\cdot 160=240a\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}b=-10a\\ -b^2+640a-240a=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}b=-10a\\ -100a^2+400a=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}b=-10a\\ a(a-4)=0\end{array}\to$

Quindi la parabola avrà equazione $y=4x^2-40x+160$.

Imponiamo ora che la frequenza cardiaca di Marco sia compresa tra $60$ bpm e $100$ bpm, cioè

$60<4x^2-40x+160<100$.

Quest'ultimo intervallo si traduce nel sistema

Risolviamo il sistema.

$\{\begin{array}{c}4x^2-40x+100>0\\ 4x^2-40x+60<0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}{x}^2-10x+25>0\\ x^2-10x+15<0\end{array}\to$

Il sistema ha quindi come soluzione

$5-\sqrt{10}<x<5\vee 5<x<5+\sqrt{10}$.

Dato che ci interessano i $5$ minuti successivi all'allenamento, l'intervallo da considerare è il primo: la frequenza cardiaca di Marco è tra i $60$ bpm e i $100$ bpm da circa $1,8$ minuti a $5$ minuti dopo l'allenamento.