Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Problemi con sistemi di secondo grado

FIP04BBblu17 - Problemi con sistemi di secondo grado

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Matematica

La dimensione degli schermi degli smartphone è espressa dalla misura, in pollici, della diagonale. La diagonale è quindi un elemento fondamentale e i produttori continuano a modificare il rapporto tra lato maggiore e lato minore per guadagnare qualche frazione di pollice. Si dice che uno schermo ha, per esempio, formato $16 : 9$ se il lato maggiore è i $\frac{16}{9}$ del lato minore. Calcola la lunghezza, in centimetri, del lato minore e del lato maggiore di uno smartphone con formato $19, 5 : 9$ e diagonale di $6, 2$ pollici, sapendo che un pollice vale $2, 54$ cm.

Indichiamo con $x$ il lato maggiore e con $y$ il lato minore. Traduciamo il testo del problema in un'equazione e lo risolviamo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$9 x =$ ________ $y$	$\to$
	$x^{2} + y^{2} = (6, 2 \cdot 2, 54)^{2}$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 2, 17 y$	$\to$
	________ $y^{2} + y^{2} = 248$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 14, 3$	$.$
	$y =$ ________

I lati sono di $14, 3$ cm e $6, 6$ cm.

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Matematica

Su un'asse di legno sono posizionati una palla e un cubo i cui baricentri distano $30$ cm. Il fulcro si trova a $9$ cm dal baricentro della palla e il sistema è in equilibrio. Determina i pesi $F_{1}$ e $F_{2}$ dei due oggetti, sapendo che la differenza dei loro quadrati è $10$ $N^{2}$ . Trascura il peso dell'asse.

La condizione di equilibrio: $F_{1} b_{1} = F_{2} b_{2}$ .

Indichiamo con $x$ e $y$ i pesi dei due oggetti. Il problema risolvente il sistema è il seguente:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x \cdot 9 = y \cdot$ ________	$\to$
	$x^{2} - y^{2} = 10$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$3 x =$ ________ $y$	$\to$
	$\frac{49}{9} y^{2} - y^{2} = 10$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 3, 5$	$.$
	$y =$ ________

Quindi i due pesi sono di $3, 5 N$ e $1, 5 N$ .

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Matematica

L'età della mamma di Elisabetta, un anno fa, era $17$ volte quella della figlia. Tra un anno l'età della mamma sarà i $\frac{9}{4}$ del quadrato dell'età di Elisabetta. Determina i numeri naturali che rappresentano le due età attuali.

Indichiamo con $x$ l'età della mamma e con $y$ l'età di Elisabetta.
Traduciamo il problema nel seguente sistema e lo risolviamo.

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x - 1 = 17$ ________	$\to$
	$x + 1 = \frac{9}{4}$ $($ ________ $)^{2}$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 17 y -$ ________	$\to$
	$17 y - 16 + 1 = \frac{9}{4} (y^{2} + 2 y + 1)$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 17 y - 16$	$\to$
	$\frac{9}{4} y^{2} - \frac{25}{2} y +$ ________ $= 0$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 35$	$.$
	$y =$ ________

Le due età sono quindi $35$ e ________.

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Matematica

Determina due numeri razionali tali che il loro prodotto valga $- 8$ e la somma dei loro reciproci valga $\frac{7}{12}$ .

Indichiamo con $x$ e $y$ due numeri razionali diversi da zero. Traduciamo il testo del problema in un sistema e lo risolviamo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x \cdot y = - 8$	$\to$
	$\frac{1}{x} +$ ________ $= \frac{7}{12}$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = -$ ________	$\to$
	$- \frac{y}{8} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12}$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = - \frac{8}{y}$	$\to$
	$3 y^{2} +$ ________ $y$ $- 24 = 0$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = - \frac{8}{y}$	.
	$y_{1} = -$ ________, $y_{2} = \frac{4}{3}$

I due numeri razionali sono $- 6$ e $\frac{4}{3}$ .

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Un parallelogramma ha gli angoli acuti di $60^{\circ}$ . Una retta $r$ passa per il suo centro e ne interseca i lati maggiori, dividendolo in due trapezi isosceli fra loro congruenti. Sai che l'area e il perimetro di ciascun trapezio valgono, rispettivamente, $3 \sqrt{3} a^{2}$ e $10 a$ . Trova le misure dei lati del parallelogramma.

Rappresentiamo il problema in figura

Indichiamo con $b$ e $B$ la base minore e la base maggiore, con $l$ i lati obliqui e con $h$ l'altezza di ogni trapezio. Traduciamo il testo del problema nel seguente sistema e lo risolviamo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$\frac{(b + B) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} l}{2} = 3 \sqrt{3} a^{2}$	$\to$
	$(b + B) +$ ________ $= 10 a$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$(b + B) \cdot l =$ ________ $a^{2}$	$\to$
	$(b + B) = 10 a - 2 l$

${\begin{matrix} 10 a l - 2 l^{2} = 12 a^{2} \\ (b + B) = 10 a - 2 l \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$l^{2} -$ ________ $a l + 6 a^{2} = 0$	$\to$
	$(b + B) = 10 a - 2 l$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$l_{1} =$ ________, $l_{2} = 2 a$	$.$
	$(b + B) = 10 a - 2 l$

Abbiamo quindi che le misure dei lati del parallelogramma sono $3 a$ e $4 a$ oppure $2 a$ e ________.

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Il radiotelescopio Effelsberg, in Germania, è utilizzato per lo studio di sorgenti galattiche ed extragalattiche di onde radio. Il profilo del telescopio è ben descritto da una parabola con vertice nell'origine del sistema di riferimento e passante per il punto $P (20 \sqrt{3}; 10)$ .
a. Determina l'equazione della parabola.
b. Un'onda radio incide sul punto $R$ e viene riflessa nel punto $Q (0; 30)$ lungo una retta con coefficiente angolare $\frac{12}{5}$ . Determina le coordinate del punto $R$ .

a. L'equazione della parabola è

$y =$ ________ $x^{2}$ .

b. Determiniamo le coordinate del punto $R$ risolvendo il seguente sistema.

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$y =$ ________	$\to$
	$y = \frac{1}{120} x^{2}$

${\begin{matrix} y = \frac{12}{5} x + 30 \\ \frac{12}{5} x + 30 = \frac{1}{120} x^{2} \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$y =$ ________	$\to$
	$x =$ ________

$R (- 12; \frac{6}{5}) .$

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Matematica

Un'impresa di pulizie acquista $60$ flaconi di detergente di due tipi $A$ e $B$ . Il detergente $A$ costa $2$ € in più di $B$ , ma la spesa per i flaconi $A$ è la stessa che per quelli di tipo $B$ . La spesa totale è $288$ €. Quanti sono i flaconi $A$ e $B$ e qual è il loro costo?

Indichiamo con $x$ il numero di flaconi $A$ e con $y$ il loro prezzo.

Riconduciamo il problema al seguente sistema e risolviamolo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x y = (60 - x)$ ________	$\to$
	$x y + (60 - x) (y - 2) = 288$

${\begin{matrix} x y = (60 - x) (y - 2) \\ x y = 144 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x = 24$	.
	$y =$ ________

Il numero di flaconi $A$ è $24$ e di flaconi $B$ è $36$ ; il loro costo è rispettivamente di ________ euro e $4$ euro.

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Matematica

Un trapezio isoscele in cui la misura dell'altezza è inferiore a quella della base minore, è equivalente a un quadrato di lato $2 \sqrt{10} a$ . La base maggiore del trapezio supera di $4 a$ la base minore e la somma tra la base minore e l'altezza è $11 a$ . Determina il perimetro del trapezio.

Indichiamo con $x$ la base minore e con $y$ l'altezza del trapezio.

Utilizzando i dati del problema, possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$\frac{(x + x + 4 a) y}{2} =$ ________	$\to$
	$x + y = 11 a$

${\begin{matrix} x = 6 a \\ y = 5 a \end{matrix} .$

Il lato obliquo del trapezio è:

$ℓ =$ ________ $= \sqrt{29} a$ .

Il perimetro del trapezio:

$2 p = 6 a +$ ________ $+ 2 \sqrt{29} =$

$2 a (8 + \sqrt{29})$ .

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