FIP04BBblu17 - Problemi con sistemi di secondo grado

L'età della mamma di Elisabetta, un anno fa, era $17$ volte quella della figlia. Tra un anno l'età della mamma sarà i ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ del quadrato dell'età di Elisabetta. Determina i numeri naturali che rappresentano le due età attuali.

Indichiamo con $x$ l'età della mamma e con $y$ l'età di Elisabetta.
Traduciamo il problema nel seguente sistema e lo risolviamo.

Le due età sono quindi $35$ e ________.

La dimensione degli schermi degli smartphone è espressa dalla misura, in pollici, della diagonale. La diagonale è quindi un elemento fondamentale e i produttori continuano a modificare il rapporto tra lato maggiore e lato minore per guadagnare qualche frazione di pollice. Si dice che uno schermo ha, per esempio, formato $16:9$ se il lato maggiore è i ${\displaystyle \frac{16}{9}}$ del lato minore. Calcola la lunghezza, in centimetri, del lato minore e del lato maggiore di uno smartphone con formato $19,5:9$ e diagonale di $6,2$ pollici, sapendo che un pollice vale $2,54$ cm.

Indichiamo con $x$ il lato maggiore e con $y$ il lato minore. Traduciamo il testo del problema in un'equazione e lo risolviamo:

I lati sono di $14,3$ cm e $6,6$ cm.

Determina due numeri razionali tali che il loro prodotto valga $-8$ e la somma dei loro reciproci valga ${\displaystyle \frac{7}{12}}$.

Indichiamo con $x$ e $y$ due numeri razionali diversi da zero. Traduciamo il testo del problema in un sistema e lo risolviamo:

I due numeri razionali sono $-6$ e ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Un trapezio isoscele in cui la misura dell'altezza è inferiore a quella della base minore, è equivalente a un quadrato di lato $2\sqrt{10}a$. La base maggiore del trapezio supera di $4a$ la base minore e la somma tra la base minore e l'altezza è $11a$. Determina il perimetro del trapezio.

Indichiamo con $x$ la base minore e con $y$ l'altezza del trapezio.

Utilizzando i dati del problema, possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:

$\{\begin{array}{c}x=6a\\ y=5a\end{array}.$

Il lato obliquo del trapezio è:

$\ell =$________$=\sqrt{29}a$.

Il perimetro del trapezio:

$2p=6a+$________$+2\sqrt{29}=$

$2a(8+\sqrt{29})$.

Un'impresa di pulizie acquista $60$ flaconi di detergente di due tipi $A$ e $B$. Il detergente $A$ costa $2$ € in più di $B$, ma la spesa per i flaconi $A$ è la stessa che per quelli di tipo $B$. La spesa totale è $288$ €. Quanti sono i flaconi $A$ e $B$ e qual è il loro costo?

Indichiamo con $x$ il numero di flaconi $A$ e con $y$ il loro prezzo.

Riconduciamo il problema al seguente sistema e risolviamolo:

$\{\begin{array}{c}xy=(60-x)(y-2)\\ xy=144\end{array}\to$

Il numero di flaconi $A$ è $24$ e di flaconi $B$ è $36$; il loro costo è rispettivamente di ________ euro e $4$ euro.

Su un'asse di legno sono posizionati una palla e un cubo i cui baricentri distano $30$ cm. Il fulcro si trova a $9$ cm dal baricentro della palla e il sistema è in equilibrio. Determina i pesi $F_1$ e $F_2$ dei due oggetti, sapendo che la differenza dei loro quadrati è $10$${\text{N}}^2$. Trascura il peso dell'asse.

La condizione di equilibrio: $F_1{b}_1=F_2{b}_2$.

Indichiamo con $x$ e $y$ i pesi dei due oggetti. Il problema risolvente il sistema è il seguente:

Quindi i due pesi sono di $3,5\text{N}$ e $1,5\text{N}$.

Il radiotelescopio Effelsberg, in Germania, è utilizzato per lo studio di sorgenti galattiche ed extragalattiche di onde radio. Il profilo del telescopio è ben descritto da una parabola con vertice nell'origine del sistema di riferimento e passante per il punto $P(20\sqrt{3};10)$.
a.   Determina l'equazione della parabola.
b.   Un'onda radio incide sul punto $R$ e viene riflessa nel punto $Q(0;30)$ lungo una retta con coefficiente angolare ${\displaystyle \frac{12}{5}}$. Determina le coordinate del punto $R$.

a.   L'equazione della parabola è

$y=$________$x^2$.

b.   Determiniamo le coordinate del punto $R$ risolvendo il seguente sistema.

$\{\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{12}{5}x+30}\\ {\displaystyle \frac{12}{5}x+30=\frac{1}{120}{x}^2}\end{array}\to$

${\displaystyle R(-12;\frac{6}{5}).}$

Un parallelogramma ha gli angoli acuti di ${60}^{\circ }$. Una retta $r$ passa per il suo centro e ne interseca i lati maggiori, dividendolo in due trapezi isosceli fra loro congruenti. Sai che l'area e il perimetro di ciascun trapezio valgono, rispettivamente, $3\sqrt{3}{a}^2$ e $10a$. Trova le misure dei lati del parallelogramma.

Rappresentiamo il problema in figura

Indichiamo con $b$ e $B$ la base minore e la base maggiore, con $l$ i lati obliqui e con $h$ l'altezza di ogni trapezio. Traduciamo il testo del problema nel seguente sistema e lo risolviamo:

$\{\begin{array}{c}10al-2l^2=12a^2\\ (b+B)=10a-2l\end{array}\to$

Abbiamo quindi che le misure dei lati del parallelogramma sono $3a$ e $4a$ oppure $2a$ e ________.