Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Relazioni tra soluzioni e coefficienti

FIP04BBblu16 - Relazioni tra soluzioni e coefficienti

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Verifica che l'equazione

2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

ha soluzioni reali

x_{1}

x_{2}

e, senza risolverla, calcola:
a.

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

;
b.

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}

;
c.

3 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{1} x_{2}

;
d.

(x_{1} - x_{2})^{2}

.

Verifichiamo che l'equazione ha soluzioni reali. Per farlo, calcoliamo il valore del discriminante e verifichiamo che sia ________.

\frac{Δ}{4} = 4 + 2 = 6

Dato che

\frac{Δ}{4} > 0

, l'equazione ha due soluzioni reali.

a.

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =

(x_{1} + x_{2})^{2} -

________

=

(-

________

)^{2} - 2 \cdot \frac{c}{a} =

4 + \frac{2}{2} = 5

.

b.

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =

________

=

________

=

- \frac{b}{c} = - 4

.

c.

3 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{1} x_{2} =

3 (x_{1} + x_{2}) - 2 x_{1} x_{2} =

- 3 \frac{b}{a} - 2

________

=

- 3 \cdot (- 2) - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 7

.

d.

(x_{1} - x_{2})^{2} =

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} -

________

=

(x_{1} + x_{2})^{2}

________

2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{2} =

{(- \frac{b}{a})}^{2} -

________

\cdot \frac{c}{a} =

4 - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = 6

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Matematica

Data l'equazione

x^{2} + x - 2 = 0

, verifica cha ha soluzioni reali

x_{1}

x_{2}

e, senza risolverla, scrivi un'equazione di secondo grado che ha le seguenti soluzioni.
a.

x_{1} + x_{2}

x_{1} x_{2}

;
b.

\frac{1}{x_{1}}

\frac{1}{x_{2}}

.

Calcoliamo il discriminante:

Δ = 1 + 8 = 9 > 0 \to

L'equazione ammette due soluzioni reali.

a.

x_{1} + x_{2} =

________

=

- 1

x_{1} x_{2} =

________

=

- 2

.
Scriviamo un'equazione di secondo grado che abbia queste soluzioni:

(x

________

1) (x

________

2) = 0

x^{2} + 3 x + 2 = 0

.

b.
Calcoliamo il valore della somma e del prodotto delle soluzioni

\frac{1}{x_{1}}

\frac{1}{x_{2}}

:
•

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} =

________

=

- \frac{b}{c} = \frac{1}{2}

;
•

\frac{1}{x_{1}} \cdot \frac{1}{x_{2}} = \frac{1}{x_{1} x_{2}} = \frac{1}{\frac{c}{a}} = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}

.

Due numeri la cui somma sia

\frac{1}{2}

e prodotto

- \frac{1}{2}

sono ________. Quindi possiamo scrivere:

(x - 1) (x + \frac{1}{2}) = 0

x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = 0

2 x^{2} - x - 1 = 0

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Matematica

Completa le seguenti equazioni in modo che le radici

x_{1}

x_{2}

soddisfino le condizioni indicate nella riga sottostante.

a.

x^{2} - 7 x +

________

= 0

x_{1} = x_{2}

3 x^{2} + 12 =

________

x

x_{1} + x_{2} = 6

c. ________

x^{2} + 51 x - 12 = 0

x_{1} x_{2} = - 2 \sqrt{3}

13 x^{2} + 12 x =

________

x_{1} x_{2} = \frac{4}{5} (x_{1} + x_{2})

2 x^{2} + 6 \sqrt{2} x +

________

= 0

x_{1} = - 3

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Matematica

Scomponi in fattori, se possibile, i seguenti trinomi.

a. $3 a b^{2} + (6 - a) b - 2$

b. $2 x^{2} - 3 \sqrt{3} x + 3$

c. $3 a^{2} + 4 \sqrt{2} a + 6$

a. $3 a b^{2} + (6 - a) b - 2$

$Δ =$ ________ $+ 24 a$

$Δ = a^{2} + 12 a + 36$

$Δ = (a + 6)^{2}$

$b_{1, 2} =$	________ $\pm (a + 6)$	$\to$
	$6 a$

$b_{1} = \frac{1}{3}$ , $b_{2} = - \frac{2}{a}$ ,

con $a \neq 0$ .

Quindi il trinomio di partenza si può scomporre come segue.

________ $= 0$ $\to$ $(a b + 2) (3 b - 1) = 0$

b. $2 x^{2} - 3 \sqrt{3} x + 3$

$Δ =$ ________ $- 24 = 3$

$x_{1, 2} =$ ________ $\to$ $x_{1} = \sqrt{3}$ , $x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Quindi il trinomio di partenza si può scomporre come segue.

$(x - \sqrt{3}) (x - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 \to$ $(2 x - \sqrt{3}) (x - \sqrt{3}) = 0$ .

c. $3 a^{2} + 4 \sqrt{2} a + 6$

$Δ =$ ________ $- 72$ $\to$ $Δ = - 40$

Il trinomio di partenza è irriducibile in quanto $Δ < 0$ .

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Matematica

Semplifica, se possibile, la seguente frazione algebrica indicando le condizioni di esistenza.
$\frac{x^{2} - 3 x^{3}}{8 x - 20 x^{2} - 12 x^{3}}$

$\frac{x^{2} - 3 x^{3}}{8 x - 20 x^{2} - 12 x^{3}} =$

x^{2} (1 - 3

________

)

- 4 x (3 x^{2} + 5 x - 2)

Scomponiamo il fattore $3 x^{2} + 5 x - 2$ a denominatore.

$Δ = 25 + 24 = 49 \to$

$x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{6} \to x_{1} = \frac{1}{3}, x_{2} = - 2$ .

Quindi $3 x^{2} + 5 x - 2 =$

$3 (x$ ________ $\frac{1}{3})$ $(x$ ________ $2) =$

$(3 x - 1) (x + 2)$ .

Torniamo alla frazione algebrica.

$\frac{x^{2} (1 - 3 x)}{- 4 x \cdot (3 x - 1) (x + 2)}$

C.E.: $x \neq - 2, 0,$ ________.

$\frac{x^{2} (1 - 3 x)}{4 x (- 3 x + 1) (x + 2)} =$

________ $\frac{x}{4 (x + 2)}$

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Matematica

Trova per quali valori di $a$ la frazione $\frac{4 x^{2} + 7 x - 2}{a x^{2} - 4}$ :

a. ha come C.E.: $\forall x \in R$ ;

b. dopo la semplificazione risulta uguale a $\frac{4 x - 1}{x - 2}$ ;

c. non è semplificabile.

a. Poniamo la C.E.: $a x^{2} - 4 \neq 0$ .

Se $a$ è ________, la condizione è sempre verificata.

Pertanto se $a$ ________ $0$ la C.E. è $\forall x \in R$ .

b. $\frac{4 x^{2} + 7 x - 2}{a x^{2} - 4} =$

(4 x

________

1) (x

________

2)

(a x + 2 \sqrt{a}) (a x - 2 \sqrt{a})

È uguale a $\frac{4 x - 1}{x - 2}$ per $a =$ ________.

c. Per poter semplificare, ________ deve essere un multiplo di $4 x - 1$ . Ciò accade se $a = 64$ , infatti la frazione diventa

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{(64 x + 16) (64 x - 16)} =$

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{16 (4 x + 1) (4 x - 1)} =$

$\frac{x + 2}{16 (4 x + 1)}$ .

La frazione è anche semplificabile se $a = 1$ , come visto al punto b.

Quindi se $a$ ________ $1$ $\land$ $a$ ________ $64$ , la frazione non è semplificabile.

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Matematica

Risolvi l'equazione fratta

\frac{x + 1}{3 x - 5} - \frac{- 6 + 3 x}{3 x^{2} - 11 x + 10} = 4.

Scomponiamo in fattori i denominatori:

3 x - 5

è già di ________ grado;

3 x^{2} - 11 x + 10 =

3 x^{2}

________

6 x

________

5 x + 10 =

3 x (x

________

2)

________

5 (x

________

2) =

(x

________

2) (3 x

________

5)

.
Le C.E. sono quindi

x \in R

tale che

x \neq

________

\land x \neq

________.
Mettiamo tutto a comun denominatore:

\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (3 x - 5)} - \frac{- 6 + 3 x}{(x - 2) (3 x - 5)} =

\frac{4 (x - 2) (3 x - 5)}{(x - 2) (3 x - 5)}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} - x - 2

________

6 - 3 x =

12 x^{2} -

________

x +

________

11 x^{2} - 40 x + 36 = 0

\frac{Δ}{4} = 400 - 396 = 4, x_{1, 2} = \frac{20 \pm 2}{11}

x_{1} = 2, x_{2} = \frac{18}{11} .

x =

________ non è accettabile quindi l'unica soluzione è

x =

________.

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Matematica

Le misure dei lati di un rettangolo sono le soluzioni dell'equazione

7 x^{2} - (k^{2} + 3) x - (k - 5) = 0

.
Per quali valori di

k

il perimetro del rettangolo vale

12

k = - 9 \lor k = 9

k = - \sqrt{39}

k = \sqrt{39}

k = - \sqrt{39} \lor k = \sqrt{39}

Scelta multipla

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Matematica

Le misure delle diagonali di un rombo sono le soluzioni dell'equazione

3 x^{2} + (7 k - 2) x - (5 - 2 k - k^{2}) = 0

.
Per quali valori di

k

l'area del rombo è

2

?

L'area del rombo è

A = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

.
Quindi cerchiamo i valori di

k

per cui

d_{1} \cdot d_{2} =

________.
Imponiamo

- \frac{5 - 2 k - k^{2}}{3} =

________ e risolviamo:

k^{2}

________

2 k -

________

= 0

\frac{Δ}{4} = 1 + 17 = 18

k_{1, 2} = - 1 \pm \sqrt{18} = - 1 \pm

________.

Sostituiamo

k = - 1 +

________ nell'equazione e otteniamo

3 x^{2} + (21 \sqrt{2} - 9) x + 12 = 0 :

x_{1} + x_{2} =

________

< 0

x_{1} x_{2} = \frac{12}{3} = 4 > 0

quindi

x_{1}

x_{2}

sono entrambi ________.

Sostituiamo

k = - 1 - 3 \sqrt{2}

nell'equazione e otteniamo

3 x^{2} + (21 \sqrt{2} + 9) x + 12 = 0 :

x_{1} + x_{2} =

________

> 0

x_{1} x_{2} = \frac{12}{3} = 4 > 0

quindi

x_{1}

x_{2}

sono entrambi ________.

Concludiamo quindi che l'unico valore accettabile di

k

- 1

________

3 \sqrt{2}

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Matematica

Per le immagini formate da uno specchio sferico vale la legge dei punti coniugati

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}

,
dove

p

è la distanza dell'oggetto dal vertice dello specchio,

q

è la distanza dell'immagine e

f

è la distanza focale. Sara osserva il suo viso in uno specchio sferisco concavo da trucco: le distanze

p

q

(espresse in cm e con

q < 0

in quanto l'immagine è virtuale) sono le soluzioni dell'equazione

x^{2} + 54 x - 3240 = 0

. Trova

f

senza risolvere l'equazione.

Possiamo riscrivere la legge dei punti coniugati come

f =

________.
Calcoliamo

p q

p + q

:
•

p q =

________

= - 3240

•

p + q =

________

= - 54

Quindi

f = \frac{- 3240}{- 54} \to f = 60

cm.

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