Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Rette passanti per un punto e per due punti. Distanza di un punto da una retta

FIP04BBblu15 - Rette passanti per un punto e per due punti. Distanza di un punto da una retta

10 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Determina l'equazione dell'asse del segmento di estremi

A (- 2; - 7)

B (0; 2)

. Su di esso determina poi un punto avente ascissa uguale a

6

volte l'ordinata.

Il coefficiente angolare della retta contenente il segmento

A B

è
________

= \frac{9}{2}

.
Il punto medio è

(

________;

\frac{- 7 + 2}{2})

cioè

(- 1;

________

)

.
Quindi l'equazione dell'asse del segmento

A B

è:

y

________

\frac{5}{2} =

________

(x + 1)

\to

4 x

________

18 y

________

49 = 0

.
Sia il punto cercato di coordinate

(6 k; k)

.
Sostituiamo le sue coordinate nell'equazione trovata:

4 \cdot 6 k

________

18 k

________

49 = 0 \to

42 k = - 49 \to k = - \frac{7}{6}

.
Quindi il punto cercato è

(

________; ________

)

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
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Matematica

Considera il triangolo di vertici

A (2; 3)

B (4; - 1)

C (0; 3)

. Determina le equazioni delle mediane e il loro punto di incontro.

Rappresentiamo il triangolo nel piano cartesiano.

Indichiamo

T

N

M

rispettivamente i punti medi dei segmenti

A B

B C

A C

.

Determiniamo le coordinate dei punti medi:

T = (

________;________

)

=

(3; 1)

;

N = (\frac{4}{2}; \frac{- 1 + 3}{2})

=

(2;

________

)

;

M = (\frac{2}{2}; \frac{3 + 3}{2}) =

(1;

________

)

.

Determiniamo le equazioni delle rette.
Equazione della retta

A N

x = 2

Equazione della retta

B M

\frac{y + 1}{4} = \frac{x - 4}{- 3} \to y =

________

x + \frac{13}{3}

.
Equazione della retta

C T

:
________

= \frac{x}{3} \to

y = - \frac{2}{3} x + 3

.

Dalla geometria euclidea sappiamo che le tre mediane si incontrano tutte in uno stesso punto.
Per trovare le sue coordinate intersechiamo, per esempio, le rette

A N

C T

{\begin{matrix} x = 2 \\ y = - \frac{2}{3} x + 3 \end{matrix} \to

y =

________.
Il punto cercato è

(2; \frac{5}{3})

Completamento chiuso

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Matematica

Scrivi le equazioni contenenti i lati del quadrilatero

A B C D

con

A (- 4; - 3)

B (6; 1)

C (3; 4)

A (- 2; 2)

. Verifica che tale quadrilatero è un trapezio.

Le equazioni delle rette cercate sono:

A B

y =

\frac{2}{5} x -

________;

B C

y = - x + 7

;

C D

y =

________

x + \frac{14}{5}

;

D A

y =

________

x

+ 7

;

Il quadrilatero è un trapezio perché i lati

A B

C D

sono ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Nella figura,

S_{1}

S_{2}

sono due specchi piani che formano un angolo di

90^{\circ}

e le rette gialle rappresentano dei raggi luminosi. Il raggio

r_{1}

incide sullo specchio

S_{1}

A

e il raggio

r_{2}

viene riflesso dallo specchio

S_{2}

B

.
a. Trova le coordinate di

B

.
b. Calcola la distanza

A B

percorsa dal raggio luminoso.
c. Scrivi l'equazione di

r_{2}

.

a. Le coordinate di

A

sono

(

________; ________

)

.
La retta contenente il segmento

A B

ha coefficiente angolare ________ ed equazione

y =

________

+ 2

.
Quindi le coordinate di

B

sono

(0;

________

)

.

b.

\bar{A B} =

________

=

________.

c.

y =

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Tra le rette perpendicolari a quellia di equazione

3 x - 2 y + 6 = 0

, trova la retta:
a. passante per l'origine;
b. passante per il punto medio del segmento di estremi

A (1; 5)

B (2; - 3)

;
c. che ha ordinata all'origine

- 3

;

Sia

r

la retta di equazione

3 x - 2 y + 6 = 0

.
Scriviamo l'equazione della retta

r

in forma esplicita.

3 x - 2 y + 6 = 0 \to y = \frac{3}{2} x + 3

Una retta perpendicolare a

r

ha equazione:

s : y = -

________

x + q

, con

q \in R

.

a. Determiniamo il valore di

q

in modo che

s

passi per l'origine:

q =

________.
La retta cercata ha equazione

y = -

\frac{2}{3} x .

b. Determiniamo il punto medio di

A B

M = (\frac{1 + 2}{2};

________

)

\to

M = (\frac{3}{2}; 1)

Sostituiamo le coordinate di

M

nell'equazione di

s

e determiniamo

q

1 = - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} + q \to

q =

________.
La retta cercata ha equazione

y = - \frac{2}{3} x +

________.

c. La retta cercata ha equazione

y = - \frac{2}{3} x

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Vero o falso?
La retta passante per

A (4; - 1)

B (2; 3)

A: passa per

C (3; 1)

B: è perpendicolare alla retta di equazione

2 y - x - 2 = 0

C: interseca l'asse

y

(0; 5)

D: forma con gli assi cartesiani un triangolo di area

49

Vero o falso

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Matematica

Verifica che la retta

r

3 x + y + 1 = 0

appartiene al fascio improprio

(k + \frac{1}{3}) y + (3 k + 1) x + k = 0

,
ma non appartiene al fascio proprio

(k - 3) x + (k + 3) y + k = 0

, con

k \in R

.

Riscriviamo il fascio di rette in forma esplicita:

\frac{3 k + 1}{k} y + (3 k + 1) x + k = 0 \to

k \neq

________ allora

y =

________

- \frac{3 k}{3 k + 1}

.
La retta di equazione

y = - 3 x + 1

________ al fascio improprio per

- \frac{3 k}{3 k + 1} = 1

, cioè

k = - \frac{1}{6}

.

Riscriviamo il secondo fascio di rette in forma esplicita:

(k + 3) y = (3 - k) x - k \to

k \neq

________ allora

y = \frac{3 - k}{k + 3} x - \frac{k}{k + 3}

.
Imponiamo

\frac{3 - k}{k + 3} =

________ quindi

2 k = - 12

, cioè

k =

________.
Allora il termine noto sarebbe

\frac{- k}{k + 3} = \frac{6}{6 + 3} = \frac{2}{3}

e non

1

come in

r

.
Quindi la retta

r

________ al fascio proprio.

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Matematica

Considera i punti

A (- 1; 0)

B (2; 1)

C (k + 3; k)

. Trova per quali valori di

k \in R

.
a.

A

B

C

sono allineati;
b. la retta passante per

A

C

forma un angolo ottuso con l'asse

x

;
c. il triangolo

A B C

è retto in

A

;
d. la retta passante per

B

C

è parallela all'asse

x

.

a. Troviamo l'equazione della retta passante per

A

B

y = \frac{1 - 0}{2 - (- 1)} (x + 1)

\to

y =

________

x + \frac{1}{3}

.
Sostituiamo le coordinate di

C

nell'equazione e troviamo

k

k = \frac{1}{3} (k

________

3) + \frac{1}{3}

\to

\frac{2}{3} k = \frac{4}{3} \to

k =

________.

b. Troviamo il coefficiente della retta passante per

A

C

\frac{k - 0}{k + 3 - (- 1)} = \frac{k}{k + 4}

.
Imponiamo

\frac{k}{k + 4}

________

0

quindi
________.

c. Il coefficiente della retta passante

A

B

\frac{1}{3}

.
Imponiamo quindi il coefficiente della retta passante per

A

C

\frac{k}{k + 4} =

________.

\frac{k + 3 k + 12}{k + 4} = 0 \to

________

+ 12 = 0 \to k = - 3

.

d. Il coefficiente della retta passante per

B

C

\frac{k - 1}{k + 3 - 2} =

________.
Imponiamo

\frac{k - 1}{k + 1} = 0

e otteniamo ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Il triangolo

A B C

in figura ha area

45

. Allora

A B C

A: è rettangolo.

B: è isoscele

C: ha area uguale ai

\frac{15}{8}

di quella di

A C O

Vero o falso

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Matematica

Nel fascio di rette passanti per il punto

C (- 2; - 5)

, trova quella che:
a. interseca l'asse

y

nel punto di ordinata

- 2

;
b. è perpendicolare alla bisettrice del secondo e quarto quadrante;
c. è parallela alla retta di equazione

110 x - 17 = 0

;
d. è perpendicolare all'asse del segmento di estremi

A (5; - 10)

B (1; 4)

.

Scriviamo l'equazione del fascio proprio:

y

________

5

=

m (x

________

2) \to

y = m x

________

2 m

________

5

.

a. Sostituiamo le coordinate

(0; - 2)

- 2 = 2 m - 5 \to

2 m =

________

\to

m =

________.
Quindi la retta cercata ha equazione

y =

________

x -

________.

b. Imponiamo

m =

________ e troviamo l'equazione della retta

y =

________

-

________.

c. La retta data è una retta ________,

x = \frac{17}{110}

; quindi la retta cercata ha equazione

x =

________.

d. La retta cercata deve avere lo stesso coefficiente angolare della retta ________ segmento

A B

.
Il coefficiente angolare della retta ________ segmento

A B

è
________

=

- \frac{7}{2}

.
Imponiamo quindi

m = - \frac{7}{2}

e troviamo l'equazione della retta

y = - \frac{7}{2} x - 12

Completamento chiuso

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