Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Potenze con esponente razionale

FIP04BBblu14 - Potenze con esponente razionale

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Associa a ciascuna espressione della prima riga la relativa potenza nella seconda riga.

1.

\frac{1}{\sqrt[3]{32}} \cdot \sqrt{2}

________

2.

4^{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} : 2

________

3.

\frac{\sqrt[3]{4^{2}} : \sqrt{\sqrt[3]{4}}}{2}

________

4.

\sqrt{\frac{4}{\sqrt[3]{2}}}

________

Posizionamento

Vero o falso?

{(\frac{125}{64})}^{- \frac{2}{3}} = \frac{16}{25}

7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 7

2^{\frac{7}{4}} : \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}

\sqrt[6]{\frac{1}{27}} = 3^{- \frac{1}{2}}

3^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}}

Vero o falso

Quale fra le seguenti espressioni equivale a

\sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt{\frac{1}{8}}}}

2^{\frac{7}{4}}

2^{\frac{21}{4}}

2^{\frac{7}{12}}

2^{- \frac{12}{7}}

Scelta multipla

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri:

{(\frac{1}{27})}^{- \frac{3}{5}}

;

(3)^{- \frac{3}{5}}

;

9^{\frac{3}{5}}

;

\frac{1}{27^{\frac{3}{5}}}

;

\sqrt[10]{4^{- 3}}

.

Scriviamo i numeri dati sotto forma di radicali con lo stesso indice:
•

{(\frac{1}{27})}^{- \frac{3}{5}} =

________

^{\frac{3}{5}} =

\sqrt[5]{27^{3}}

;
•

3^{- \frac{3}{5}} = \sqrt[5]{3^{- 3}} =

________;
•

9^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{9^{3}} = \sqrt[5]{3^{6}} =

________;
•

\frac{1}{27^{\frac{3}{5}}} =

27^{- \frac{3}{5}} = \sqrt[5]{27^{- 3}} = \sqrt[5]{\frac{1}{27^{3}}}

;
•

\sqrt[10]{4^{- 3}} =

________

=

\sqrt[5]{\sqrt{2^{- 6}}} =

\sqrt[5]{2^{- 3}} =

\sqrt[5]{\frac{1}{8}}

.
Ora confrontiamo i radicandi e disponiamo i radicali in ordine crescente:

\frac{1}{27^{3}} < \frac{1}{27} < \frac{1}{8} < 27^{2} < 27^{3}

.
Quindi:

\frac{1}{27^{\frac{3}{5}}} < 3^{- \frac{3}{5}} < \sqrt[10]{4^{- 3}} <

________.

Completamento chiuso

Qual è il valore della seguente espressione?

{[\frac{2}{3} \cdot {(\frac{9}{2})}^{- \frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}

\cdot {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{4}}

\cdot [\sqrt[3]{27} : 6]^{3}

- \frac{1}{2}

3^{\frac{1}{2}}

{(\frac{2}{3})}^{- \frac{1}{3}}

\frac{1}{12}

Scelta multipla

Semplifica la seguente espressione utilizzando le proprietà delle potenze.
$\frac{(x^{2^{3}})^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{5}} y^{\frac{2}{5}}}{(x y)^{\frac{5}{2}}}$ ,
con $x$ , $y > 0$ .

Utilizziamo la regola delle potenze di potenze per ridurre $(x^{2^{3}})^{\frac{1}{2}}$ a singola potenza:

$\frac{(x^{2^{3}})^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{5}} y^{\frac{2}{5}}}{(x y)^{\frac{5}{2}}} = \frac{x^{2^{3} \cdot \frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{5}} y^{\frac{2}{5}}}{(x y)^{\frac{5}{2}}} =$	________ $x^{- \frac{2}{5}} y^{\frac{2}{5}}$	.
	$(x y)^{\frac{5}{2}}$

Utilizziamo la regola del prodotto di potenze con la stessa base per moltiplicare le $x$ al numeratore:

$\frac{x^{4} x^{- \frac{2}{5}} y^{\frac{2}{5}}}{(x y)^{\frac{5}{2}}} =$	________ $y^{\frac{2}{5}}$	$= \frac{x^{\frac{18}{5}} y^{\frac{2}{5}}}{(x y)^{\frac{5}{2}}}$ .
	$(x y)^{\frac{5}{2}}$

Scriviamo la potenza del prodotto al denominatore come un prodotto di potenze e sfruttiamo la regola del rapporto di potenze con la stessa base per dividere le $x$ e le $y$ al numeratore con le $x$ e le $y$ al denominatore:

$\frac{x^{\frac{18}{5}} y^{\frac{2}{5}}}{(x y)^{\frac{5}{2}}} = \frac{x^{\frac{18}{5}} y^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{5}{2}}}$ ________ $y^{\frac{2}{5} - \frac{5}{2}} =$ $x^{\frac{11}{10}} y^{- \frac{21}{10}}$ .

Completamento chiuso

L'espressione

\sqrt[n]{x \sqrt{\sqrt[p]{y}}}

, con

x

y

\geq 0

, e con

n

p

\in N - {0}

, è equivalente a:

(x^{2 p} y)^{2 n p}

(x^{2 p} y)^{\frac{1}{2 n p}}

(x y)^{\frac{1}{n}}

(x^{2 p} y)^{- 2 n p}

Scelta multipla

Indica per quale valore di

x \in Q

si ottiene un'uguaglianza vera.

\sqrt[3]{\frac{3^{6} \cdot \sqrt[4]{81}}{3^{\frac{2}{5}}}} = 3^{x}

\frac{33}{5}

\frac{1}{3}

\frac{11}{5}

\frac{13}{5}

Scelta multipla

Un volume

V_{1}

di ossigeno, che si trova a pressione

p_{1}

, si espande senza scambiare calore con l'esterno e raggiunge un volume

V_{2}

e una pressione

p_{2}

. La legge che regola queste trasformazioni per un gas come l'ossigeno è:

p_{1} \cdot V_{1}^{\frac{7}{5}} = p_{2} \cdot V_{2}^{\frac{7}{5}}

.
Se

V_{2}

32

volte

V_{1}

, quanto vale il rapporto fra

p_{2}

p_{1}

?

Risolviamo la legge della trasformazione data per ottenere il rapporto

\frac{p_{2}}{p_{1}}

p_{1} \cdot V_{1}^{\frac{7}{5}} = p_{2} \cdot V_{2}^{\frac{7}{5}}

\to

\frac{p_{2}}{p_{1}} \cdot V_{2}^{\frac{7}{5}} = V_{1}^{\frac{7}{5}} \to

\frac{p_{2}}{p_{1}} = (

________

)^{\frac{7}{5}}

.
Sostituiamo

V_{2} =

________

V_{1}

nella formula del rapporto:

\frac{p_{2}}{p_{2}} = {(\frac{V_{1}}{32 V_{1}})}^{\frac{7}{5}} =

________

=

\frac{1}{2^{7}} = \frac{1}{128}

Completamento chiuso