Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Matrici, determinanti e metodo di Cramer

FIP04BBblu12 - Matrici, determinanti e metodo di Cramer

11 esercizi

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Matematica

Calcola i seguenti determinanti.

a. $| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} | =$ ________

b. $| \begin{matrix} - 1 & 4 \\ 3 & - 12 \end{matrix} | =$ ________

c. $| \begin{matrix} x + 1 & - 2 x \\ \frac{x + 1}{2} & 1 - x \end{matrix} | =$ ________

d. $| \begin{matrix} - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix} | =$ ________

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Matematica

Risolvi l'equazione
$| \begin{matrix} 3 & - x \\ - 5 x & - 2 x \end{matrix} | + | \begin{matrix} x + 2 & 0 & 1 \\ 1 - x & 3 & 4 x \\ 0 & - 2 & - x \end{matrix} | = 10.$
Calcoliamo il primo determinante:

$| \begin{matrix} 3 & - x \\ - 5 x & - 2 x \end{matrix} | =$ ________

Calcoliamo il secondo determinante:
$| \begin{matrix} x + 2 & 0 & 1 \\ 1 - x & 3 & 4 x \\ 0 & - 2 & - x \end{matrix} | =$ $(x + 2) (- 3 x + 8 x) +$ ________.

Possiamo ora risolvere l'equazione di partenza:
$- 6 x - 5 x^{2} + 5 x (x + 2) + 2 x - 2 = 10 \to$ ________ $= 12$

$x =$ ________.

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Matematica

Vero o falso?
Considera la matrice

A = [\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

A

è una matrice rettangolare

4 \times 2

a_{21} = 1

C: Ha determinante uguale a

0

a_{13} = a_{22}

Vero o falso

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Matematica

Vero o falso?

A: Se un sistema ha

D = - 1

D_{x} = 0

D_{y} = 0

, allora è impossibile.

B: Il sistema

{\begin{matrix} 3 x - 1 = 0 \\ x - y = 1 \end{matrix}

D =

| \begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} |

C: Se in un sistema è

D_{x} = 0

, allora

x = 0

D: Se in un sistema si ha

D = 8

D_{x} = 0

D_{y} = 4

, la soluzione è

(0; 2)

Vero o falso

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Matematica

Dato il sistema

{\begin{matrix} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{matrix},

dimostra che, se i determinanti

D

D_{x}

sono nulli, allora è nullo anche

D_{y}

.

Calcoliamo i determinanti

D

D_{x}

D_{y}

del sistema:
•

D = | \begin{matrix} a & b \\ a^{'} & b^{'} \end{matrix} |

=

________;
•

D_{x} =

________

= c b^{'} - c^{'} b

;
•

D_{y} =

| \begin{matrix} a & c \\ a^{'} & c^{'} \end{matrix} |

=

a c^{'} - a^{'} c

.

Se

D = 0

, allora

a b^{'} - a^{'} b = 0

\to

\frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}}

.
Se

D_{x} = 0

, allora

c b^{'} - c^{'} b = 0

\to

\frac{c}{c^{'}} = \frac{b}{b^{'}}

.
Quindi se

D = 0 \land D_{x} = 0

allora

\frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} \land \frac{c}{c^{'}} = \frac{b}{b^{'}}

.
In particolare,

\frac{a}{a^{'}} =

________

\to

a c^{'} - a^{'} c = 0

.
L'ultima equazione coincide con

D_{y} = 0

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Matematica

Risolvi il seguente sistema con il metodo di Cramer.

{\begin{matrix} (x - 1)^{2} + 3 (y - 1) = 5 + x^{2} \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y - \frac{1}{6} = 0 \end{matrix} .

Eliminiamo le parentesi.
________
Il sistema in forma normale è:
________.
Applichiamo il metodo di Cramer: calcoliamo

D

D_{x}

D_{y}

D =

| \begin{matrix} 2 & - 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} |

=

________

D_{x} =

________

=

________

D_{y} = | \begin{matrix} 2 & - 7 \\ 3 & 1 \end{matrix} | =

________
Calcoliamo

x

y

x = \frac{D_{x}}{D} = - \frac{11}{13}

y = \frac{D_{y}}{D} =

________.
La soluzione del sistema è

(- \frac{11}{13};

________

)

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Matematica

Risolvi il seguente sistema con il metodo di Cramer.

{\begin{matrix} 2 (\frac{y}{12} - 1) = \frac{x}{6} + \frac{y - x}{3} \\ (x - 2)^{2} = (x - 3)^{2} + 2 y \end{matrix}

Svolgiamo i calcoli e portiamo il sistema in forma normale. Otteniamo:

{\begin{matrix} x - y = 12 \\ 2 x - 2 y = 5 \end{matrix} .

Calcoliamo i determinanti

D

D_{x}

D_{y}

del sistema:
•

D =

________

= - 2 + 2 = 0

;
•

D_{x} =

________

=

- 24 + 5 = - 19

;
•

D_{y} =

| \begin{matrix} 1 & 12 \\ 2 & 5 \end{matrix} |

=

________

=

- 19

.
Dato che

D = 0

D_{x} \neq 0

D_{y} \neq 0

, il sistema è ________.

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Matematica

Risolvi il seguente problema con il metodo di Cramer.

Un parco di divertimenti ha due tariffe, una per gli adulti e una per i bambini. Alcuni amici programmano una gita e prevedono di spendere

138, 50

€ per l'ingresso di

5

bambini e

4

adulti. All'ultimo momento, però, due bambini e un adulto rimangono a casa, così la spesa totale ammonta a

94, 50

€. Qual è la tariffa per gli adulti? E quella per i bambini?

Chiamiamo

x

la tariffa per gli adulti,

y

la tariffa per i bambini. Allora:
• ________

= 138, 50

;
•

3 x + 3 y = 94, 50

.
Poniamo le equazioni a sistema e risolviamo:

{\begin{matrix} 4 x + 5 y = \frac{13850}{100} \\ 3 x + 3 y = \frac{9450}{100} \end{matrix} \to

{\begin{matrix} 8 x + 10 y = 277 \\ 6 x + 6 y = 189 \end{matrix} .

Calcoliamo i determinanti

D

D_{x}

D_{y}

del sistema:
•

D = | \begin{matrix} 8 & 10 \\ 6 & 6 \end{matrix} |

= 48 - 60 = - 12

;
•

D_{x} =

________

=

1662 - 1890 = - 228

;
•

D_{y} =

| \begin{matrix} 8 & 277 \\ 6 & 189 \end{matrix} |

=

________

=

- 150

.
Calcoliamo

x

y

x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{- 228}{- 12} = 19

;

y = \frac{D_{y}}{D} =

________

= 12, 5

.
Quindi la tariffa per gli adulti è di

19, 00

€, quella per i bambini è di

12, 50

€.

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Matematica

Risolvi il seguente problema con il metodo di Cramer.

Un'auto della polizia insegue una moto lungo una strada rettilinea. L'automobile viaggia alla velocità di

100

km/h, mentre la moto, che è partita con un vantaggio di

3

km, procede alla velocità di

85

km/h. Determina quanto tempo impiega la polizia per raggiungere la moto.

Chiamiamo

x

il tempo che impiega la polizia per raggiungere la moto e

y

la loro posizione al momento dell'incontro. Allora
•

y =

________;
•

y = 3 + 85 x

.
Poniamo le equazioni a sistema e scriviamo il sistema in forma normale. Otteniamo:

{\begin{matrix} 100 x - y = 0 \\ 85 x - y = - 3 \end{matrix} .

Calcoliamo i determinanti

D

D_{x}

D_{y}

del sistema:
•

D =

________

= - 100 + 85 = - 15

;
•

D_{x} =

| \begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 3 & - 1 \end{matrix} | =

________;
•

D_{y} =

| \begin{matrix} 100 & 0 \\ 85 & - 3 \end{matrix} |

= - 300

.
Calcoliamo il tempo

x

x = \frac{D_{x}}{D} =

________

= 0, 2

.
Quindi la polizia raggiunge la moto in

0, 2

ore, ossia

12

minuti.

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Matematica

Vero o falso?
Il sistema

{\begin{matrix} a x - 6 y = 8 \\ 4 x + b y = 2 \end{matrix}

è:

A: indeterminato se

a = 16

b = - \frac{3}{2}

B: impossibile se

a = \frac{8}{3}

b = - 9

C: determinato se

a b \neq - 24

D: impossibile se

a b = - 24

b \neq - \frac{3}{2}

Vero o falso

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Matematica

Determina per quale valore di

k

il sistema

{\begin{matrix} (k - 1) x - (2 k - 1) y = 1 \\ 2 x + y = 4 \end{matrix}

è impossibile, senza risolverlo.

Il sistema è già in forma normale.
Calcoliamo quindi i determinanti

D

D_{x}

D_{y}

del sistema in funzione di

k

:

•

D =

| \begin{matrix} k - 1 & - (2 k - 1) \\ 2 & 1 \end{matrix} |

=

k - 1 + 4 k - 2 = 5 k - 3

;

•

D_{x} =

________

=

1 + 8 k - 4 = 8 k - 3

;

•

D_{y} =

________

=

4 (k - 1) - 2 = 4 k - 6

.

Affinchè il sistema sia impossibile, deve accadere che
________.
Poniamo

D = 0

5 k - 3 = 0

\to

k = \frac{3}{5}

.
Se

k = \frac{3}{5}

sia

D_{x}

che

D_{y}

sono diversi da zero, e il sistema risulta impossibile.

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