FIP04BBblu08 - Scomposizioni con il metodo di Ruffini

Determina $k$ in modo che il polinomio

$x^3+(k+1)x^2-5x-2(k+2)$

sia divisibile per $x+1$ e poi scomponilo in fattori.

Affinché il polinomio

$P(x)=$$x^3+(k+1)x^2-5x-2(k+2)$

sia divisibile per $x+1$ è necessario che

$P($________$)=0$.

Dunque, $-1+k+1+5-2k-4=0\to$

$k=$________.

Sostituiamo il valore di $k$ trovato e scomponiamo il polinomio così ottenuto:

$P(x)=x^3+2x^2-5x-6$.

Troviamone uno zero: ________.

Dunque, $P(x)=(x+3)(x^2-x-2)$.

Scomponiamo il secondo lettore con la tecnica di scomposizione per i trinomi speciali:

$P(x)=(x+3)(x$________$1)(x$________$2)$.

Scomponi in fattori il seguente polinomio usando il metodo di Ruffini.

$2x^3-7x^2+9x-3$

Cerchiamo uno zero del polinomio

$P(x)=2x^3-7x^2+9x-3$:

$P($________$)=0$.

Allora

$P(x)=(x$________${\displaystyle \frac{1}{2})}$$(2x^2-6x+6)=$

$(x$________${\displaystyle \frac{1}{2})(x^2-3x+3)}$.

Scomponi in fattori il seguente polinomio usando il metodo di Ruffini.

$(x-3{)}^3+27$

Chiamiamo $x-3=t$.

$(x-3{)}^3+27=t^3+27$.

Sia $P(t)=t^3+27$.

Ricerchiamo uno zero del polinomio $P(t)$:

$P($________$)=0$.

$P(t)=$________$(t^2-3t-3)$.

Sostituendo $x-3$ a $t$ otteniamo il polinomio scomposto $x$________.

Scomponi in fattori il seguente polinomio usando il metodo di Ruffini.

$2x^4+x^3-4x^2+3x-2$

Sia $P(x)=2x^4+x^3-4x^2+3x-2$.

Troviamo uno zero del polinomio $P(x)$:

$P($________$)$:

Quindi

$P(x)=(x-1)$$(2$________$+3$________$-x+2)$.

Sia $Q(x)=2$________$+3$________$-x+2$.

Troviamo uno zero del polinomio $Q(x)$:

$Q(-2)=0$.

Quindi

$P(x)=(x$________$1)$$(x+2)(2x^2-x+1)$.

Scomponi in fattori il seguente polinomio usando il metodo di Ruffini.

$x^3-7x{y}^2+6y^3$

Consideriamo il polinomio

$P(x)=x^3-7x{y}^2+6y^3$

rispetto alla variabile $x$.

Troviamo uno zero: $P($________$)=0$.

Dunque,

$P(x)=(x-y)$________.

Sia $Q(x)=$________.

Troviamo uno zero di $Q(x)$: $Q(2y)=0$.

Quindi

$P(x)=(x-y)(x-2y)$________.

Dato un numero naturale $n>1$, considera la somma tra la sua quarta potenza e il suo quadrato diminuito di $2$. Scrivi il polinomio che esprime tale somma e, senza eseguire la divisione, verifica che è divisibile sia per il precedente che per il successivo di $n$. Scomponi in fattori il polinomio.

Sia $P(n)$ il polinomio del problema:

$P(n)=n^4+$________.

Affinché sia divisibile per il precedente di $n$, ossia $n$________$1$, è necessario che

$P($________$)=0$.

$P(1)=1+1-2=0\to$ quindi la tesi è verificata.

Affinché sia divisibile per il successivo di $n$, ossia $n$________$1$, è necessario che $P(-1)=0$.

$P(-1)=1+1-2=0\to$ quindi la tesi è verificata;

Scomponiamo in fattori $P(n)$, utilizzando come zero $1$.

Quindi

$P(n)=(n$________$1)$$(n^3+n^2+2n+2)=$

$(n-1)[n^2(n+1)+2(n+1)]=$

$(n-1)(n+1)$$(n^2+$________$)$.

Un cubo con lo spigolo di lunghezza $x$ è sormontato da una piramide a base quadrata, il cui spigolo di base misura $2a$, con $0<a<{\displaystyle \frac{x}{2}}$, e la cui altezza è il triplo dello spigolo di base. Esprimi con un polinomio scomposto in fattori il volume totale del solido.

Il volume totale del solido è espresso dal polinomio

$x^3+$________.

Scomponiamo il polinomio con il metodo di Ruffini, rispetto alla variabile $x$:

$P(x)=x^3+$________.

$P($________$)=0$.

Il polinomio scomposto è quindi

$(x+2a)$________.

Osserviamo che il polinomio poteva essere scomposto anche usando la formula della somma di due cubi.