Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Similitudine di triangoli e poligoni

FIP03BBbluG7 - Similitudine di triangoli e poligoni

10 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Sono simili:

A: due pentagoni equivalenti.

B: due ottagoni con gli angoli congruenti e

7

lati in proporzione.

C: due quadrilateri inscrivibili in una stessa circonferenza.

D: due trapezi isosceli con un angolo congruente, circoscrivibili a una circonferenza e con le basi in proporzione.

Vero o falso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nella figura,

D E

è parallelo a

B C

A E

è lungo

3

cm, l'area del triangolo

D E A

2

cm² e l'area del trapezio

D B C E

16

cm². Determina

E C

.

I triangoli

A D E

A B C

sono simili per il ________ criterio di similitudine: si ha infatti

A \hat{E} D ≅ A \hat{C} B

perché angoli ________ considerando i segmenti paralleli

D E

B C

tagliati dalla trasversale

A C

e inoltre

A \hat{D} E ≅ A \hat{B} C

perché angoli corrispondenti considerando i segmenti paralleli

D E

B C

tagliati dalla trasversale

A B

.

Si ha che l'area del triangolo

A B C

è ________ cm².

Sia

k

il rapporto di similitudine tra i triangoli

A B C

A D E

, si ha che

k^{2} =

________

=

________

\to

k = 3

A C ≅ 3 A E = 9

\to

E C ≅ A C

________

A E =

9

________

3

=

________ cm.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nella figura, il segmento

A C

è parallelo a

D E

M

N

sono i punti medi dei segmenti

A B

B E

. Dimostra che

C M

N D

sono parallele.

I triangoli

A B C

B D E

sono simili, per il ________ criterio di similitudine:

A \hat{B} C ≅ D \hat{B} E

perché angoli ________ e

B \hat{C} A ≅ B \hat{D} E

perché angoli ________.

Di conseguenza i triangoli

C M B

e ________ sono simili e quindi

B \hat{M} C ≅ B \hat{N} D

C M

N D

sono parallele perché formano angoli ________ congruenti.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nicola deve organizzare una gara di trial in montagna. Inizialmente sceglie un circuito che può essere schematizzato con il triangolo

A B C

in figura con partenza da

A

: il tratto

A B

è di

12

km in piano,

B C

è di

14

km in salita e

C A

è di

10

km in discesa. Quando presenta il progetto, gli viene chiesto di modificarlo creando il nuovo percorso

A B E D

, dove

E D

è un tratto che taglia il bosco parallelamente ad

A B

ed è lungo come

B E + D A

. Di quanti kilometri è stato accorciato il percorso?

Sia

\bar{E C} = x

\bar{D C} = y

. Quindi

D E = 14 - x + 10 - y = 24 - (x + y)

.

I triangoli

C D E

A B C

sono simili per il ________ criterio di similitudine: hanno infatti, l'angolo in

C

in comune e

C \hat{D} E ≅ C \hat{A} B

perché angoli corrispondenti.

B C : E C = C A :

________

\to

14 : x = 10 : y \to y : x = 10 : 14 \to

y =

________

x

;

A B : D E = B C : E C \to

12 : [24 - (x + y)] = 14 : x

.

Sostituiamo l'espressione di

y

all'interno della seconda proporzione.

12 : [24 - (x + \frac{5}{7} x)] = 14 : x \to

12 : (24 - \frac{12}{7} x) = 14 : x \to

12 x = 336 - 24 x \to

x = \frac{84}{9}

km e

y = \frac{20}{3}

km.

D E = 24 - (\frac{84}{9}

________

\frac{20}{3}) = 8

km;

C E + D C = \frac{84}{9} + \frac{20}{3} = 16

km.

Il percorso è stato quindi accorciato di ________ km.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Una semicirconferenza di raggio

6

m è inscritta nel rettangolo

A B C D

in modo che

A B

coincida con il diametro. Chiama

T

il punto di intersezione della diagonale

D B

con la semicirconferenza. Calcola la distanza di

T

dal vertice

D

D B = \sqrt{D A^{2} + A B^{2}} =

\sqrt{6^{2} + 12^{2}} = 6 \sqrt{5}

m.

Il segmento

A T

è perpendicolare al segmento

D B

, in quanto il triangolo

A T B

è rettangolo in ________ poiché inscritto in una semicirconferenza.

Applichiamo il ________ teorema di Euclide al triangolo rettangolo

A D B

\bar{D T} : \bar{A D} = \bar{A D} : \bar{B D} \to

\bar{D T} =

________

=

________

=

________ m.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Considera due circonferenze di centro $O$ e $O^{'}$ tangenti esternamente nel punto $A$ e la tangente comune $t$ in $A$ . La retta $r$ è un'altra retta tangente comune, diversa da $t$ . $T$ e $T^{'}$ sono i punti di contatto. Detto $S$ il punto di intersezione tra $r$ e $t$ , dimostra che $O A : A S = A S : A O^{'}$ .

Ipotesi

$r$ e $t$ tangenti a $C$ e $C^{'}$ ;

$S \in r \cap t$ .

Tesi

$O A : A S = A S : A O^{'}$ .

Osserviamo che ________ $≅ S T ≅ S T^{'}$ perché segmenti di tangenza da un punto esterno.

Consideriamo i quadrilateri $O A S T$ e $O^{'} T^{'} S A$ . In essi:

$O \hat{T} S ≅ O^{'} \hat{T^{'}} C ≅ \frac{π}{2}$ perché tangente e ________ sono perpendicolari tra loro;
analogamente $O \hat{A} S ≅ O^{'} \hat{A} S ≅ \frac{π}{2}$ ;
$A \hat{O} T ≅ T^{'} \hat{S} A$ perché entrambi ________ dell'angolo $A \hat{S} T$ ;
$O A : O T = A S : S T^{'}$ per l'osservazione precedente e perché $O A ≅ O T$ in quanto raggi;

quindi $O A S T \sim O^{'} T^{'} S A$ per il criterio di similitudine tra poligoni con lo stesso numero di lati.

In particolare

$O A :$ ________ $=$ ________ $: A O^{'}$ .

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

In un triangolo

A B C

si ha

A C ≅ \frac{3}{5} A B

B C ≅ \frac{4}{3} A C

. Il punto

H

è il piede dell'altezza relativa ad

A B

B H ≅ \frac{16}{25} A B

.
a. Che tipo di triangolo è

A B C

?
b. Se l'area di

A H C

\frac{486}{25}

cm², qual è il perimetro di

A B C

?
c. Trova la lunghezza della proiezione di

C H

B C

.
Disegniamo la figura.

a. Dimostriamo che il primo teorema di ________ è valido per il triangolo

A B C

.
Per verificare che

B H : B C = B C : A B

sostituiamo

\frac{16}{25} A B : \frac{4}{3} (\frac{3}{5}

________

) = \frac{4}{3} (\frac{3}{5} A B) : A B

\frac{16}{25} A B : \frac{4}{5} A B = \frac{4}{5} A B : A B

;
il prodotto dei medi

\frac{4}{5} A B \cdot \frac{4}{5} A B

è uguale al prodotto degli estremi

\frac{16}{25} A B \cdot A B

, quindi la proporzione ________ verificata.
Concludiamo quindi che il triangolo

A B C

è un triangolo ________.

b.

A H : C H = C H : B H

per il secondo teorema di Euclide, cioè

\frac{9}{25} A B : C H = C H : \frac{16}{25} A B

.
Quindi

C H ≅ \frac{12}{25} A B .

A_{A H C} = \frac{A H \cdot C H}{2} = \frac{486}{25}

cm²

\to

\frac{9}{25} A B \cdot \frac{12}{25} A B =

________ cm²

\to

A B = 15

cm.
Quindi

A C = 9

cm,

B C = 12

cm e il perimetro

2 p_{A B C} = 36

cm.

c.

C H = \frac{12}{25} \cdot 15

= \frac{36}{5}

cm.

C K : C H =

________

: B C

per il primo toerema di Euclide sul triangolo

B C H

, cioè

C K : \frac{36}{5} = \frac{36}{5} : 12

.
Quindi

C K = \frac{108}{25}

=

4, 32

cm.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Un triangolo possiede una bisettrice e una mediana tra loro perpendicolari, di lunghezze, rispettivamente

7

8

. Qual è l'area del triangolo?

36

35

42

48

28

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nella figura puoi osservare la vista aerea di Palazzo Farnese, a base pentagonale regolare, realizzato dall'architetto Jacopo Barozzi a Caprarola, in provincia di Viterbo. I pentagoni

A B C D E

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}

sono regolari e

A B = 40

m.
a. Dimostra che i trapezi

A B C E

A^{'} B^{'} C^{'} E^{'}

sono simili.
b. Dimostra che il rapporto tra i raggi delle circonferenze circoscritte ad

A B C D E

e ad

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}

è uguale al rapporto tra i perimetri dei due pentagoni.
c. Anche il Pentagono, l'edificio che ospita la sede del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti, in Virginia, ha come base un pentagono regolare. Il suo lato misura

280

m. Qual è il rapporto fra la sua area di base e l'area di base di Palazzo Farnese?

a.

\hat{A} ≅ \hat{A^{'}} = 108^{\circ}

\hat{B} ≅ \hat{B^{'}} = 108^{\circ}

;

A \hat{E} C ≅ A^{'} \hat{E^{'}} C^{'} =

________

= 72^{\circ}

B \hat{C} E ≅ B^{'} \hat{C^{'}} E^{'} =

________

= 72^{\circ}

.
I trapezi

A B C E

A^{'} B^{'} C^{'} E^{'}

sono dunque simili perché hanno lo stesso numero di lati e gli angoli ordinatamente congruenti.

b. Sia

r

il raggio della circonferenza circoscritta al pentagono maggiore e

O

il suo centro, e

r^{'}

il raggio della circonferenza circoscritta al pentagono minore e

O^{'}

il suo centro.
I triangoli

A O B

e ________ sono simili:

\frac{r}{r^{'}} = \frac{\bar{A O}}{\bar{A^{'} O^{'}}} = k

\frac{\bar{A B}}{\bar{A^{'} B^{'}}} = k

.
Il rapporto tra i due perimetri è

\frac{8 \bar{A B}}{8 \bar{A^{'} B^{'}}} = k

, come volevasi dimostrare.

c. Il rapporto tra le aree dei due pentagoni è ________ rapporto di similitudine, ossia ________.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Il quadrato in figura è diviso in

9

quadratini congruenti. Sapendo che il lato del quadrato grande misura

L

, calcolare l'area evidenziata in grigio.

\frac{11}{108} L^{2}

\frac{1}{9} L^{2}

\frac{5}{54} L^{2}

\frac{1}{12} L^{2}

\frac{13}{81} L^{2}

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza