Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Aree di poligoni e costruzione di poligoni equivalenti

FIP03BBbluG6 - Aree di poligoni e costruzione di poligoni equivalenti

10 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Trasforma i seguenti poligoni di

n

lati in poligoni equivalenti di

n - 1

lati.

a. Prolunghiamo due lati consecutivi a un lato dell'esagono come in figura ________.

Consideriamo il punto di intersezione dei due prolungamenti come nuovo vertice del poligono.
Tracciamo così i due nuovi lati come prolungamento dei due precedenti come in figura ________.

b. Prolunghiamo due lati consecutivi a un lato dell'esagono come in figura ________.

Consideriamo il punto di intersezione dei due prolungamenti come nuovo vertice del poligono.
Tracciamo i due nuovi lati come prolungamento dei due precedenti come in figura ________.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Un trapezio e un rombo hanno area, rispettivamente, di

34

cm² e

24

cm². La somma delle diagonali del rombo è

14

cm, la base minore del trapezio supera di

1

cm la metà della diagonale maggiore del rombo e la base maggiore del trapezio è lunga

12

cm. Calcola la misura dell'altezza del trapezio.

Siano

d

D

le diagonali minore e maggiore del rombo e

b

B

le basi minore e maggiore del trapezio.

A_{r o m b o} = \frac{d \cdot D}{2} \to

d \cdot D =

________ cm².

Inoltre

D = 14

________

d

, risolviamo quindi l'equazione

d (14

________

d) = 48

d^{2}

________

14 d

________

48 = 0

\to

(d - 6) (d - 8) = 0 \to

d = 6

cm e

D = 8

cm.

Troviamo quindi la base minore del trapezio:

b = \frac{8}{2}

________

1 =

________ cm.

E l'altezza del trapezio:

A_{t r a p e z i o} = \frac{(b + B) \cdot h}{2} \to 34 = \frac{17 \cdot h}{2} \to

h =

________ cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Considera un quadrato di lato

a

e un rettangolo di base

b

e altezza

2 a

.
a. Se

b - 3 a = 5

cm, spiega perché non esiste alcun valore di

a

tale che il quadrato e il rettangolo siano equivalenti.
b. Determina

b

in funzione di

a

affinché le due figure siano equivalenti.

a. L'area del quadrato è ________ mentre quella del rettangolo è ________, cioè

2 a (5 + 3 a) = 10 a + 6 a^{2}

.
Supponiamo che le due figure siano equivalenti.
Imponiamo quindi

a^{2} = 10 a + 6 a^{2}

e risolviamo:

5 a^{2}

________

10 a = 0 \to

5 a (a

________

2) = 0 \to

a =

________

\lor

a =

________.
Entrambi i valori ________ accettabili.

b. Imponiamo

a^{2} = 2 a b

quindi con

a \neq 0

abbiamo che

b =

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Sia

A B C D

un parallelogramma di base

A B = 32

cm e area

384

cm². Considera un punto

E

sul lato

C D

tale che

\bar{D E} = 3 \bar{C E}

. Qual è il valore, in cm², dell'area del triangolo

A D E

48

96

144

192

Scelta multipla

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Matematica

Il punto

O

è il centro del quadrato

A B C D

. Se la parte colorata ha area

36

cm², qual è la lunghezza di

A B

?
(SUGGERIMENTO Traccia le perpendicolari da

O

ai lati

B C

C D

.)

Tracciamo le perpendicolari da

O

ai lati

B C

C D

e siano

M

N

i punti di intersezione di queste con i lati

B C

C D

rispettivamente.

I due triangoli rettangoli ottenuti sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

Abbiamo quindi che il quadrato

O M C N

è equicomposto e quindi equivalente ________.

Abbiamo che il lato

O M

del quadrato

O M C N

è di ________ cm. La lunghezza di

A B

è quindi di ________ cm.

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Matematica

Con uno stesso tipo di mattonelle quadrate si devono pavimentare tre stanze aventi tutte la stessa larghezza ma diversa lunghezza. Per la prima stanza servono

120

mattonelle, la seconda stanza ha una lunghezza pari ai

\frac{3}{4}

della lunghezza della prima stanza e per la terza stanza servono

150

mattonelle. Se la lunghezza della seconda stanza è

6

m, quale sarà la lunghezza della terza stanza?

3, 6

6, 4

10

15

Scelta multipla

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Matematica

Considera il parallelogramma nella figura.
a. Se l'area del triangolo

A B E

216

cm², quanto vale l'area di

A B C D

?
b. Se

D E = 6

cm ed

E C = 18

cm, quanto misurano le aree di

A E D

B C E

?

a. Il parallelogramma e il triangolo in figura hanno stessa ________ e stessa altezza, quindi l'area di

A B C D

è ________ cm².

b. La base del parallelogramma è

A B =

________ cm. Abbiamo quindi che l'altezza del parallelogramma è ________ cm. L'area di

A E D

è quindi di ________ cm² e l'area di

B C E

è di ________ cm².

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Matematica

Nel rettangolo

A B C D

in figura,

A B = \frac{69}{4}

cm. Inoltre

\bar{C Q} = \frac{3}{2} \bar{B Q} + 1

. Determina il valore di

x

per cui il trapezio

A P R D

è equivalente al triangolo

P Q R

.

Dai dati del problema, possiamo scrivere che:

R C = \frac{69}{4} - 9 = \frac{33}{4}

cm e

P B = \frac{69}{4} - x

.

Inoltre, sappiamo che

\bar{B Q} + \bar{C Q} =

________

\to

\bar{B Q} + \frac{3}{2} \bar{B Q} + 1 =

________

\to

B Q = 6

\to

C Q = 10

cm.

Abbiamo che l'area del rettangolo è:

A (A B C D) = 16 \cdot \frac{69}{4} = 276

cm² e
le aree dei triangoli

P B Q

R C Q

sono:

A (P B Q) =

________

(\frac{69}{4} - x)

A (R C Q) = \frac{165}{4}

cm².

L'area del trapezio

A P R D

è:

A (A P R D) =

________.

L'area del triangolo colorato

P Q R

è quindi:

A (P Q R) =

276 - \frac{165}{4}

________

3 (\frac{69}{4} - x) - \frac{(9 + x) 16}{2}

.

Determiniamo il valore di

x

per cui il trapezio

A P R D

è equivalente al triangolo

P Q R

276 - \frac{165}{4} - 3 (\frac{69}{4} - x) - \frac{(9 + x) 16}{2} = \frac{(9 + x) 16}{2}

.

Risolvendo otteniamo

x =

________ cm.

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Matematica

Nel rettangolo

A B C D

, di area

432

cm², il rapporto tra la base

A B

e l'altezza

B C

\frac{3}{4}

. Considera i punti

E

F

G

rispettivamente sui lati

A D

A B

B C

del rettangolo. Il rapporto tra

A F

B F

\frac{3}{5}

C G = 15

cm. Determina quale lunghezza, in cm, deve avere

D E

affinché

C D E G ≐ 2 E F G

.

Disegniamo la figura.

Troviamo i due lati del rettangolo.

A_{A B C D} =

\bar{B C}

________

\bar{A B}

= 432 \to

\bar{B C}

________

\frac{3}{4} \bar{B C} = 432 \to

\bar{B C} = 24

cm e

\bar{A B} = 18

cm.

Sia

\bar{D E} = x

, quindi

A D = 24

________

x

.

Sappiamo anche che

\bar{B G} = 24 - 15 = 9

cm,

\bar{A F} =

________

\bar{A B} =

\frac{27}{4}

cm e

\bar{B F} = \frac{45}{4}

cm.

Scriviamo quindi:

A_{C D E G} =

________

=

9 (15

________

x) = 135

________

9 x

;

A_{A E F} =

________

=

________;

A_{B F G} = \frac{45 \cdot 9}{8} = \frac{405}{8}

.

Imponiamo:

135

________

9 x =

2 (432

________

\frac{648 - 27 x}{8}

________

\frac{405}{8}) \to

135

________

9 x =

864

________

\frac{648 - 27 x}{4}

________

\frac{405}{4}

\to

540

________

36 x =

3456 - 648

________

27 x

________

405

\to

81 x = 783 \to x = \frac{29}{3}

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Matematica

Le diagonali di un quadrilatero

A B C D

sono perpendicolari e si incontrano in un punto

O

tale che

A O ≃ D O

B O ≅ 3 D O

C O ≅ \frac{3}{2} B O

. Sapendo che l'area del quadrilatero è

44

cm², calcola l'area di un trapezio che ha basi congruenti alle diagonali del quadrilatero e altezza congruente a

C O

.

Sia

\bar{A O} = x

allora

\bar{D O} =

________,

\bar{B O} =

________ e

\bar{C O} = \frac{9}{2} x

.
Quindi

\bar{A C} = \frac{11}{2} x

\bar{B D} =

________.

A_{A B C D} = \frac{\bar{A C} \cdot \bar{B D}}{2} \to

________

= \frac{11}{2} x \cdot

________

\to

88 = 22 x \to x = 4

cm.

Quindi

\bar{A C} =

________ cm,

\bar{B D} =

________ cm e

\bar{C O} = 18

cm.

Troviamo così l'area del trapezio:

A_{t r a p e z i o} = \frac{(16 + 22) \cdot 18}{2} = 342

cm².

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