Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Posizioni reciproche fra circonferenza e retta e fra due circonferenze

FIP03BBbluG5 - Posizioni reciproche fra circonferenza e retta e fra due circonferenze

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Sapendo che nell'ingranaggio in figura il raggio della ruota di centro

A

è il doppio del raggio della ruota di centro

B

, determina i raggi delle tre ruote, utilizzando i dati forniti.

Dalla figura sappiamo che

A C = r_{A}

________

r_{C}

e ________

= r_{B} + r_{C}

.
Inoltre,

r_{A} = 2 r_{B}

, quindi

A C = 2 r_{B}

________

r_{C}

.
Sostituiamo le informazioni fornite e otteniamo

10 =

2 r_{B}

________

r_{C}

7 = r_{B} + r_{C}

.
Quindi

r_{B} =

________ cm,

r_{A} =

________ cm e

r_{C} =

________ cm.

Completamento chiuso

Nella figura

D P

D B

sono tangenti alla circonferenza, l'angolo

C \hat{P} O = 30^{\circ}

e il raggio

\bar{C O} = 7

. Quanto misura

O D

?

Il quadrilatero

B O C D

è un ________ perché ________

≅ D C

in quanto segmenti di tangenza dal punto esterno

D

O C ≅ O B

perché raggi.

D \hat{C} O ≅ D \hat{B} O

e sono entrambi retti perché il raggio è perpendicolare alla ________.
Quindi

C \hat{D} O ≅ B \hat{D} O ≅

________.

B \hat{D} C =

________ quindi

O \hat{D} C =

________.
Inoltre,

D \hat{O} C = 60^{\circ}

.
Quindi il triangolo

D O C

è metà triangolo equilatero e cioè

\bar{O D} =

________.

Completamento chiuso

Due circonferenze,

C

C^{'}

, hanno diametri rispettivamente

A B = \frac{25}{2}

cm e

A D = \frac{9}{2}

cm
e sono tangenti internamente nel punto

A

. La retta

r

è tangente alla circonferenza

C^{'}

nel punto

D

e interseca la circonferenza

C

nei punti

P

Q

. Trova il perimetro del triangolo

A P B

.

Il triangolo

B P A

è rettangolo perché è inscritto in una semicirconferenza.
Applichiamo il ________ teorema di Euclide per determinare la lunghezza di

A P

\bar{A D} : \bar{A P} = \bar{A P} :

________

\to

A P =

________ cm.
Applichiamo ancora il primo teorema di Euclide per determinare la lunghezza di

B P

\bar{B D} : \bar{B P} = \bar{B P} : \bar{A B} \to B P = 10

cm.
Il perimetro del triangolo sarà quindi ________ cm.

Completamento chiuso

Sono dati due punti

A

B

. Disegna la circonferenza di centro

A

passante per

B

e la circonferenza di centro

B

passante per

A

. La retta

A B

interseca la prima circonferenza in

C

e la seconda circonferenza in

D

. Se le due circonferenze si intersecano in

E

F

, dimostra che:
a.

D E

è tangente alla prima circonferenza;
b. l'angolo

E \hat{D} A

misura

30^{\circ}

.

a. Consideriamo il triangolo

E D A

. Esso è un triangolo inscritto in una ________, e pertanto è rettangolo in ________.
Dunque il raggio

E A

è perpendicolare alla retta ________, che quindi risulta tangente alla prima circonferenza.

b. Consideriamo adesso il triangolo

B E A

, che è un triangolo ________ perché i tre lati sono raggi delle circonferenze.
Quindi

E \hat{A} B =

________.
Consideriamo il triangolo

E D A

E \hat{D} A = 180^{\circ} - (90^{\circ} +

________

) = 30^{\circ}

Completamento chiuso

Un trapezio

E F G H

, rettangolo in

E

, ha i lati tangenti a una circonferenza di centro

O

. Sai che

O G = 6, 5

cm e

O F = 15, 6

cm.
a. Dimostra che le rette

O G

O F

sono tra loro perpendicolari.
b. Trova il raggio della circonferenza di centro

O

.

a. I triangoli

A O G

G O H

sono congruenti perché sono triangoli rettangoli,

A O ≅

________ in quanto raggi e

G O

in comune.
Analogamente si ha che i triangoli

F O B

F O K

sono congruenti.
Quindi si ha che

G \hat{O} F = \frac{1}{2}

________

\to

G \hat{O} F = 90^{\circ}

.
Dunque le rette

O G

O F

risultano perpendicolari.

b. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo

G O F

si ha:

{\bar{G F}}^{2} =

________

= 16, 9

cm.
Applicando il primo teorema di Euclide al triangolo

G O F

si ha:

\bar{G K} : \bar{G O} = \bar{G O} :

________

\to

\bar{G K} = 2, 5

cm.
Applicando il primo teorema di Euclide al triangolo

G O F

si ha:

\bar{K F} : \bar{F O} = \bar{F O} : \bar{G F}

\to \bar{K F} = 14, 4

cm.
Applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo

G O F

si ha:

\bar{G K} : \bar{K O} = \bar{K O} : \bar{H F} \to \bar{K O} = 6

cm.

Completamento chiuso

Nella figura,

A B

è un diametro della circonferenza di centro

O

. Le rette

P A

Q B

P Q

sono tangenti alla circonferenza rispettivamente in

A

B

T

. Sapendo che

A B = 6

cm e

Q B = \frac{2}{3} A B

, determina la lunghezza di

P A

e il perimetro del trapezio

P A B Q

.

Dai dati del problema,

\bar{Q B} = \frac{2}{3} \bar{A B} \to

Q B = 4

cm.
Il triangolo

Q O B

è un triangolo rettangolo: applichiamo il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza di

O Q

O Q = \sqrt{O B^{2} + Q B^{2}} = 5

cm.
Tracciamo il raggio

O T

, che risulta perpendicolare al segmento ________.

\bar{T Q} ≅

________

=

________ cm.
Il triangolo

P O Q

è rettangolo: applichiamo ad esso il secondo teorema di Euclide per determinare la lunghezza di

P T

\bar{P T} : \bar{T O} = \bar{T O} :

________

\to

P T =

________

=

\frac{9}{4}

cm.

P A ≅ P T = \frac{9}{4}

cm.
Il perimetro del trapezio è

\frac{37}{2}

cm.

Completamento chiuso

Due circonferenze di centri

O

O^{'}

si intersecano nei punti

A

B

.
Se

O A = 17

cm,

A B = 16

cm e

O^{'} A = 10

cm, determina la lunghezza di

O O^{'}

.

Consideriamo il triangolo

O A M

.
Esso è un triangolo ________ e

A M =

________ cm.
Determiniamola lunghezza di

O M

con il teorema di Pitagora:

O M =

\sqrt{O A^{2} - A M^{2}} = 15

cm.
Consideriamo il triangolo

O^{'} A M

.
Determiniamo la lunghezza di

O^{'} M

, con il teorema di Pitagora:

O^{'} M =

________

= 6

cm.
Dunque,

O O^{'} =

________ cm.

Completamento chiuso

Due circonferenze sono tangenti esternamente in

R

. Traccia la tangente

r

comune passante per

R

e un'altra tangente comune,

s

, condotta da un punto esterno a entrambe, che incontra una circonferenza in

S

e l'altra in

T

. Se

R \hat{S} T = 24^{\circ}

, qual è l'ampiezza di

R \hat{T} S

?

Il triangolo

S H R

è ________, da cui segue che

S \hat{R} H =

________.
Poiché la somma interna degli angoli di un triangolo è

180^{\circ}

, si ha che

S \hat{H} R =

________.

R \hat{H} T =

________ perché supplementare di

S \hat{H} R

.
Il triangolo

R H T

è isoscele sulla base

R T

, per cui

H \hat{R} T ≅ R \hat{T} H = \frac{180^{\circ} - 48^{\circ}}{2} =

________.

Completamento chiuso

Da un punto

P

esterno a una circonferenza di centro

O

traccia le tangenti in

A

B

. Prolunga i segmenti

O A

O B

di due segmenti

A C

B D

congruenti al raggio. Dimostra che

C P ≅ D P

.

Consideriamo i triangoli

P C A

P B D

.

Essi sono congruenti perché

P \hat{A} C ≅

________

= 90^{\circ}

\bar{P A} ≅

________ perché segmenti tangenti alla circonferenza tracciati dal punto

P

\bar{C A} ≅ \bar{D B}

per costruzione.

Di conseguenza si ha che

\bar{C P} ≅

________.

Completamento chiuso

Nella figura è rappresentata un'eclissi solare parziale:

O^{'}

è il centro della circonferenza del Sole, mentre

O

è il centro di quella sulla Luna, che appare più grande perché è più vicina.
a. Dimostra che

O \hat{A} O^{'} ≅ O \hat{B} O^{'}

.
b. Sulla base di quale ipotesi il quadrilatero

O^{'} A O B

è un parallelogramma?
c. Di che tipo di parallelogramma si tratta?

a. Consideriamo i triangoli

A O^{'} H

B H O^{'}

: essi sono triangoli rettangoli in ________, con il lato

O^{'} H

in comune e

\bar{A O^{'}} ≅ \bar{B O^{'}}

perché raggi.
Quindi sono triangoli congruenti.
Analogamente i triangoli

A O H

e ________ sono congruenti.
Di conseguenza i triangoli

A O O^{'}

B O O^{'}

sono congruenti perché somma di triangoli congruenti e quindi

O \hat{A} O^{'} = O \hat{B} O^{'}

.
b. Risulta un parallelogramma se le due circonferenze sono ________.
c. È un ________.

Completamento chiuso

Due circonferenze di raggi congruenti sono tangenti esternamente nel punto $T$ . Una circonferenza di centro $T$ interseca le due circonferenze nei punti $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Dimostra che il quadrilatero $A B C D$ è un rettangolo.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

$O_{1} T ≅ O_{2} T$ .

Tesi

$A C$ e $B D$ si incontrano nel loro punto medio;

$A C ≅ B D$ .

Dimostrazione

Sia $t$ la tangente a entrambe le circonferenze.

Tracciamo anche i raggi $O_{1} A$ , $O_{1} B$ , $O_{2} C$ e $O_{2} D$ e i raggi $A T$ , $B T$ , $C T$ e $D T$ .

$O_{1}$ , $T$ e $O_{2}$ sono allineati perché $O_{1} T$ ________ $t$ e $O_{2} T$ ________ $t$ .

Consideriamo i triangoli $O_{1} A T$ e $O_{2} C T$ . Essi hanno:

$O_{1} A ≅ O_{1} T ≅ O_{2} C ≅ O_{2} T$ per ipotesi e perché raggi;
$A T ≅ B T ≅ C T ≅ D T$ ________;

quindi $O_{1} A T$ e $O_{2} C T$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza tra triangoli. In particolare, $A \hat{T} O_{1} ≅ C \hat{T} O_{2}$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Quindi $A$ , $T$ e $C$ ________ allineati e, analogamente, anche $B$ , $T$ e $D$ .

Inoltre, $A C ≅$ ________ e $B D ≅$ ________, quindi $A C ≅ B D$ per la transitività della congruenza.

In conclusione, abbiamo che $A B C D$ è un ________ perché $A C$ e $B D$ sono diagonali che si tagliano reciprocamente a metà; ma sono anche congruenti quindi $A B C D$ è un ________.

Completamento chiuso

Una circonferenza di centro

O

è tangente nei punti

P

Q

ai lati di un angolo convesso di vertice

A

. Traccia la tangente in un punto

T

dell'arco minore

\overset{⏜}{P Q}

fino a intersecare

A P

A Q

rispettivamente in

B

C

. Dimostra che, al variare di

T

B \hat{O} C ≅ \frac{1}{2} P \hat{O} Q

.

I triangoli

B P O

B T O

sono congruenti perché sono triangoli rettangoli,

P O ≅

________ in quanto raggi e

B O

in comune.

Dunque,

B \hat{O} P ≅

________. Chiamiamo tali angoli

x

.
Analogamente si ha che i triangoli

T O C

e ________ sono congruenti.
Dunque,

T \hat{O} C ≅ C \hat{O} Q

. Chiamiamo tali angoli

y

.
Quindi si ha che

2 x + 2 y =

________

\to

x + y = \frac{1}{2}

________.
Poiché

x + y = \frac{1}{2} B \hat{O} C

, segue la tesi.

Completamento chiuso