FIP03BBblu20 - Probabilità del prodotto logico di eventi

Durante il mese di giugno la probabilità che un giorno non piova è ${\displaystyle \frac{1}{2}+p}$, con $0<p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
a.   Qual è la probabilità che piova?
b.   Scelti casualmente due giorni di giugno, quanto deve valere $p$ affinché la probabilità che in entrambi piova o in entrambi non piova sia il triplo della probabilità che ci sia tempo diverso?

a.   Sia $A=$ «piove in un giorno del mese di giugno».
Si ha
$P(\overline{A})={\displaystyle \frac{1}{2}+p}$.
Quindi
$P(A)=1$________$P(\overline{A})={\displaystyle \frac{1}{2}-p}$.

b.   La probabilità che scelti casualmente due giorni di giugno in entrambi piova è:
${\displaystyle (\frac{1}{2}-p)}$________${\displaystyle (\frac{1}{2}-p)}$.
La probabilità che scelti casualmente due giorni di giugno in entrambi non piova è:
${\displaystyle (\frac{1}{2}+p)}$________${\displaystyle (\frac{1}{2}+p)}$.
La probabilità che scelti casualmente due giorni di giugno ci sia tempo diverso è:
________.
Per determinare $p$ dobbiamo risolvere l'equazione
${\displaystyle (\frac{1}{2}-p)}$________${\displaystyle (\frac{1}{2}-p)}$$+$${\displaystyle (\frac{1}{2}+p)}$________${\displaystyle (\frac{1}{2}+p)=}$
$3\cdot 2{\displaystyle (\frac{1}{2}+p)\cdot (\frac{1}{2}-p)}$.
Otteniamo che ${\displaystyle p=\frac{1}{2\sqrt{2}}\simeq 0,35}$.

In una scatola ci sono $40$ perline colorate: $10$ gialle, $15$ bianche e $15$ verdi. Per decorare un braccialetto ne occorrono $4$. Associa le seguenti estrazioni alle rispettive probabilità.

a.   La prima estratta è verde.
________

b.   Le prime due estratte sono verdi.
________

c.   Le prime due estratte sono gialle.
________

d.   La prima estratta è bianca e la seconda verde.
________

Un cassetto contiene un paio di guanti bianchi e un paio di guanti neri, $8$ magliette bianche, $4$ magliette rosse e $4$ gonne rosse. Si estraggono due capi dal cassetto senza reimmissione. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Un sacchetto contiene $20$ palline, alcune verdi e altre rosse. Sai che, se estrai due palline reinserendo la prima, la probabilità che siano di colore diverso è ${\displaystyle \frac{91}{200}}$. Quante sono le palline verdi?

Indichiamo con $x$ il numero di palline verdi. Allora il numero di palline rosse è ________. Le prime due palline estratte sono di colore diverso quando la prima è verde e la seconda è rossa o viceversa. Quindi la probabilità che siano diverse è pari a:
________${\displaystyle =\frac{91}{200}}$.
Semplificando i denominatori ricaviamo che:
$x(20-x)=91$
$x^2-20x+91=0$
$x=10\pm \sqrt{100-91}$.
Il numero di palline versi può essere ________.

Un'urna contiene $10$ palline nere e $14$ gialle.
a.   Sapendo che Arina estrae una pallina gialla senza rimetterla nell'urna, qual è la probabilità che Bruno, che estrae successivamente, estragga una pallina gialla?
b.   Qual è la probabilità che sia Arina sia Bruno estraggano una pallina nera?

a.   Sia $A=$«Arina estrae una pallina gialla» e $B=$«Bruno estrae una pallina gialla».
Si ha che $P(B|A)=$________.

b.   $P(\overline{A}\cap$________$)={\displaystyle \frac{10}{24}}$________________${\displaystyle =\frac{15}{92}}$.

Per la sua festa di compleanno, Giulia ha acquistato piccoli gadget come omaggio per gli invitati: $10$ evidenziatori, $12$ pennarelli, $12$ pastelli e $6$ penne. I gadget sono in una cesta e vengono estratti a caso. Calcola la probabilità che:
a.   i primi due gadget estratti siano entrambi pennarelli;
b.   uno solo tra i primi due gadget estratti sia una penna;
c.   i primi due gadget estratti non siano pastelli.

a.   La probabilità che i primi due gadget estratti siano entrambi pennarelli è
${\displaystyle \frac{12}{40}\cdot }$________$=$________.

b.   La probabilità che uno solo tra i primi due gadget estratti sia una penna è
${\displaystyle \frac{6}{40}}$________${\displaystyle \frac{34}{39}}$________${\displaystyle \frac{34}{40}}$________${\displaystyle \frac{6}{39}=\frac{17}{65}}$.

c.   La probabilità che i primi due gadget estratti non siano pastelli è
${\displaystyle \frac{28}{40}}$________${\displaystyle \frac{27}{39}=\frac{63}{130}}$.

Sergio si trova alla cassa del supermercato per pagare un giornale che costa $1,20$ €. Ha in tasca $2$ monete da $1$ €, $3$ monete da $0,50$ € e $6$ monete da $0,20$ €. Decide di estrarre casualmente le monete fino a quando il totale estratto non sia pari o superiore alla cifra da pagare. Qual è la probabilità che Sergio non debba ricevere resto?

Possiamo ottenere la somma di $1,20$ € con le monete di Sergio in questi modi:
(a) $(0,50+0,50+0,20)$ € e permutazioni
(b) $(1+0,20)$ €  e permutazione
(c) ________

Calcoliamo separatamente le probabilità dei casi (a)(b) e (c) e poi ________ i risultati trovati.

Caso (a):  calcoliamo la probabilità che Sergio estragga nell'ordine monete da $0,50$€ $0,50$€ e $0,20$€ e
moltiplichiamo per tutte le possibili permutazioni, che sono ________.
${\displaystyle 3\cdot \frac{3}{11}\cdot }$________${\displaystyle \cdot \frac{6}{9}=\frac{18}{165}}$

Caso (b):  calcoliamo la probabilità che Sergio estragga nell'ordine monete da $1$€ e $0,20$€ e moltiplichiamo per tutte le possibili permutazioni, che sono $2$.
$2\cdot$________${\displaystyle \cdot \frac{6}{10}=\frac{12}{55}}$

Caso (c):  calcoliamo la probabilità che Sergio estragga consecutivamente $6$ monete da $0,20$€.
${\displaystyle \frac{6}{11}\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{1}{6}=}$________
La probabilità cercata è data dalla somma dei tre risultati:
${\displaystyle \frac{18}{165}+\frac{12}{55}+\frac{1}{462}=\frac{761}{2310}}$.

Un'azienda produce auricolari wireless. Il $4\mathrm{\%}$ degli auricolari prodotti è difettoso. Un macchinario riesce a individuare gli auricolari difettosi nel $95\mathrm{\%}$ dei casi prima che vengano messi sul mercato. Inoltre, nel $3\mathrm{\%}$ dei casi, diagnostica come difettosi auricolari che in realtà non lo sono. Gli auricolari risultano difettosi al test vengono temporaneamente collocati in un magazzino. Scelto casualmente uno di questi auricolari, qual è la probabilità che sia difettoso?

Estratto casualmente un auricolare, indichiamo con $D$ l'evento «L'auricolare è difettoso» e con $T$ l'evento «Il macchinario rileva un difetto». Gli eventi contrari sono $\overline{D}$ e $\overline{T}$. Vogliamo calcolare la probabilità di $D|T$. Sappiamo che:
${\displaystyle p(D)=\frac{4}{100}}$
$p(T|D)=$________
$p(T|\overline{D})=$________
Possiamo calcolare la probabilità di $T$ utilizzando il teorema delle probabilità totali:
$p(T)=p(T|D)p(D)+p(T|\overline{D})p(\overline{D})=$
${\displaystyle \frac{95}{100}\cdot \frac{4}{100}+\frac{3}{100}\cdot }$________$={\displaystyle \frac{167}{2500}}$.
Sappiamo che $p(T\cap D)=p(T|D)p(D)=p(D|T)p(T)$. Allora dall'ultima uguaglianza possiamo ricavare:
${\displaystyle p(D|T)=\frac{p(T|D)p(D)}{p(T)}}$
${\displaystyle \frac{\frac{95}{100}\cdot \frac{4}{100}}{\frac{167}{2500}}=}$________.