Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Equazioni con valori assoluti

FIP03BBblu19 - Equazioni con valori assoluti

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Risolvi la seguente equazione.

| 2 x^{2} - 8 | = | x + 2 |

| 2 x^{2} - 8 | = | x + 2 |

L'equazione è equivalente alle due equazioni:

2 x^{2} - 8 = x + 2 \lor

2 x^{2} - 8 = - x

________

2

.
Risolviamo la prima equazione:

2 x^{2} - 8 = x + 2 \to

2 x^{2} - x - 10 = 0 \to

Δ = 1 + 80 = 81 \to

x_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} \to

x = - 2 \lor x = \frac{5}{2}

.
Risolviamo la seconda equazione:

2 x^{2} - 8 = - x

________

2

\to

2 x^{2} + x

________

= 0

\to

Δ = 1 +

________

= 49

\to

x_{1, 2} =

________

\to

x = - 2 \lor x = \frac{3}{2}

.
Le soluzioni dell'equazione sono quindi

- 2

\frac{3}{2}

x = \frac{5}{2}

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

$x - | 7 x - 1 | = 5 - | \frac{x}{2} + 10 |$

Studiamo il segno delle espressioni all'interno del valore assoluto:

$7 x - 1 \geq 0 \to x \geq \frac{1}{7}$ ;

$\frac{x}{2} + 10 \geq 0 \lor x \geq - 20$ .

Compiliamo uno schema grafico per riassumere i valori dei due valori assoluti.

L'equazione è quindi equivalente ai tre sistemi:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x \leq - 20$	$\lor$
	$x -$ ________ $= 5 - (- \frac{x}{2} - 10)$

${\begin{cases} \end{cases}$	$- 20 < x \leq \frac{1}{7}$	$\lor$
	$x - (- 7 x + 1) = 5 -$ ________

${\begin{cases} \end{cases}$	$x$ ________ $\frac{1}{7}$	.
	$x - (7 x - 1) = 5 - (\frac{x}{2} + 10)$

Risolvendo i tre sistemi, otteniamo

${\begin{cases} x \leq - 20 \\ x = \frac{32}{15} \end{cases} \lor {\begin{cases} - 20 < x \leq \frac{1}{7} \\ x = - \frac{8}{17} \end{cases} \lor {\begin{cases} \end{cases}$	$x$ ________ $\frac{1}{7}$	.
	$x = \frac{12}{11}$

Tra le soluzioni trovate risultano accettabili

$x = - \frac{8}{17}$ e ________.

Completamento chiuso

Per quali valori del parametro

k

, l'equazione

| x^{2} + x - \frac{k}{2} | = 1

ammette quattro soluzioni reali?

k > - \frac{5}{2}

k > \frac{3}{2}

x < - \frac{5}{2} \lor k > \frac{3}{2}

- \frac{5}{2} < k < \frac{3}{2}

Scelta multipla

Risolvi la seguente equazione.

$x + | 2 x - 5 | = x^{2} - 1$

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

$2 x - 5 \geq 0 \to x \geq \frac{5}{2}$ .

Lo schema grafico che riassume il valore di $| 2 x - 5 |$ è quello in figura ________.

L'equazione è quindi equivalente a

${\begin{cases} x \geq \frac{5}{2} \\ x + 2 x - 5 = x^{2} - 1 \end{cases} \lor$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x < \frac{5}{2}$	.
${\begin{cases} \end{cases}$	$x - 2 x$ ________ $5 = x^{2} - 1$

${\begin{cases} x \geq \frac{5}{2} \\ ∄ x \in R \end{cases} \lor {\begin{cases} x < \frac{5}{2} \\ x = - 3 \lor x = 2 \end{cases} .$

L'equazione iniziale ha quindi come soluzioni

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

| 3 x + 1 - | x + 3 | | = | 1 - x |

| 3 x + 1 - | x + 3 | | = | 1 - x |

Studiamo il segno dell'espressione all'interno di

| x + 3 |

x + 3 \geq 0 \to x \geq - 3

.
L'equazione è quindi equivalente a:

| 3 x + 1 + x

________

3 | = | 1 - x |

,
se

x < - 3

;

| 3 x + 1 - x - 3 | = | 1 - x |

,
se

x \geq - 3

.

Risolviamo prima il caso

x < - 3

| 3 x + 1 + x

________

3 = | 1 - x | \to

| 4 x + 4 | = | 1 - x | \to

4 x + 4 = 1 - x \lor 4 x + 4 =

________

\to

x = - \frac{3}{5} \lor x = - \frac{5}{3}

.
Le soluzioni trovate non sono compatibili con la condizione

x < - 3

.

Risolviamo adesso il caso

x \geq - 3

| 3 x + 1 - x - 3 | = | 1 - x | \to

| 2 x - 2 | = | 1 - x | \to

2 x - 2 = 1 - x \lor 2 x - 2 = - 1 + x \to

x = 1 \lor x = 1

.
La soluzione trovata ________ compatibile con la condizione

x \geq - 3

.
________

Completamento chiuso

Disegna il grafico della funzione

$y = | x^{2} - 2 x | + | 2 - x |$ .

Studiamo il segno delle espressioni all'interno del valore assoluto:

$x^{2} - 2 x \geq 0 \to x \leq 0 \lor x \geq 2$ ;

$2 - x \geq 0 \to x \leq 2$ .

Lo schema grafico che riassume i valori dei due valori assoluti è quello in figura ________.

Otteniamo dunque la seguente funzione definita a tratti:

$y = {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} - 2 x + 2 - x$	se $x < 0$	$\to$
	$- x^{2} + 2 x$ ________	se $0 \leq x < 2$
	$x^{2} - 2 x - 2 + x$	se $x \geq 2$

$y = {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} - 3 x + 2$	se $x < 0$	$.$
	$- x^{2}$ ________	se $0 \leq x < 2$
	$x^{2} - x - 2$	se $x \geq 2$

Determiniamo il vertice e alcuni punti della parabola $y = x^{2} - 3 x + 2$ per rappresentarla nel piano cartesiano:

$V_{1} = ($ ________ $;$ ________ $)$ e passa per $A_{1} = (- 1; 6)$ e $B_{1} = (0; 2)$ .

Determiniamo il vertice e alcuni punti della parabola $y = - x^{2} + x + 2$ per rappresentarla nel piano cartesiano:

$V_{1} = (\frac{1}{2}; \frac{9}{4})$ e passa per $A_{2} = (0; 2)$ e $B_{2} = ($ ________ $; 2)$ .

Determiniamo il vertice e alcuni punti della parabola $y = x^{2} - x - 2$ per rappresentarla nel piano cartesiano:

$V_{1} = (\frac{1}{2}; - \frac{9}{4})$ e passa per

$A_{2} = (2;$ ________ $)$ e $B_{2} = (3; 4)$ .

Il grafico della funzione definita a tratti è il seguente.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema.

${\begin{cases} | 2 x - y | - 1 = 0 \\ | x + 1 | + y = 0 \end{cases}$

${\begin{cases} | 2 x - y | - 1 = 0 \\ | x + 1 | + y = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} | 2 x - y | = 1 \\ | x + 1 | + y = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$2 x - y =$ ________	$\to$
	$\| x + 1 \| + y = 0$

${\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ | x + 1 | + y = 0 \end{cases} \lor {\begin{cases} 2 x - y = - 1 \\ | x + 1 | + y = 0 \end{cases}$

Risolvendo il primo sistema, otteniamo

${\begin{cases} x \geq - 1 \\ x = 0 \end{cases} \lor {\begin{cases} x < - 1 \\ x = 2 \end{cases} .$

È accettabile ________.

Determiniamo il valore di $y$ corrispondente: $x = 0 \to y = - 1$

Risolvendo il secondo sistema, otteniamo:

${\begin{cases} x \geq - 1 \\ x = - \frac{2}{3} \end{cases} \lor {\begin{cases} x < - 1 \\ x = 0 \end{cases} .$

Risulta accettabile solo la soluzione

________.

Determiniamo il valore di $y$ corrispondente:

$x = - \frac{2}{3} \to y = - \frac{1}{3}$ .

Le soluzioni dell'equazione iniziale sono quindi

$(0; - 1)$ e $(- \frac{2}{3}; - \frac{1}{3})$ .

Completamento chiuso

Vero o falso?

| {(\frac{x}{2} + 2 x)}^{2} | = \frac{25}{4} x^{2}

\forall x \in R

| x^{2} + 4 x + 4 | = 3 \to x^{2} + 4 x + 4 = 3

| \frac{- 2}{x^{2}} | = \frac{2}{x^{2}}

\forall x \in R

| x^{5} - 1 | = | x^{5} | + 1

\forall x \in R

Vero o falso

Determina i punti di intersezione dei grafici delle funzioni

$y = - 4 x^{2} + 2$ e $y = 2 | x |$ .

Per determinare i punti d'intersezione dei grafici $y = - 4 x^{2} + 2$ e $y = | 2 x |$ dobbiamo risolvere il sistema.

${\begin{cases} y = - 4 x^{2} + 2 \\ y = 2 | x | \end{cases} .$

${\begin{cases} y = - 4 x^{2} + 2 \\ y = 2 | x | \end{cases} \to$

${\begin{cases} y = - 4 x^{2} + 2 \\ - 4 x^{2} + 2 = 2 | x | \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$y = - 4 x^{2} + 2$	.
	________ $= \| x \|$

Risolviamo la seconda equazione del sistema:

$- 2 x^{2} + 1 = | x | \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq 0$	$\lor$
	________ $= x$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x < 0$	$\to$
	________ $= - x$

${\begin{cases} x \geq 0 \\ x = - 1 \lor x = \frac{1}{2} \end{cases} \lor {\begin{cases} x < 0 \\ x = - \frac{1}{2} \lor x = 1 \end{cases} .$

Le soluzioni accettabili sono

$x =$ ________ e $x =$ ________,

che corrispondono ai punti

$A (- \frac{1}{2};$ ________ $)$ e $B (\frac{1}{2}; 1)$ .

Completamento chiuso

La somma tra il valore assoluto di un numero intero diminuito di $10$ con il doppio del valore assoluto del numero stesso è $14$ .

Determina il numero.

Traduciamo il testo del problema in un'equazione:

________.

L'equazione è equivalente ai sistemi:

1. ${\begin{cases} \end{cases}$	$x < 0$	$\to$
	$- x + 10$ ________ $2 x = 14$

${\begin{cases} x < 0 \\ - 3 x = 4 \end{cases} \to$ $x = - \frac{4}{3}$ ;

2. ${\begin{cases} \end{cases}$	$0 \leq x < 10$	$\to$
	$- x + 10 + 2 x = 14$

${\begin{cases} \end{cases}$	$0 \leq x < 10$	$\to$ $x = 4$ ;
	$x =$ ________

3. ${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq 10$	$\to$
	$x$ ________ $10 + 2 x = 14$

${\begin{cases} x \geq 10 \\ x = 8 \end{cases} \to$ ________

Il numero intero è ________.

Completamento chiuso

Associa a ciascuno dei seguenti grafici la relativa equazione.

a. ________

b. ________

c. ________

d. ________

Posizionamento

Sia $r$ la retta passante per i punti $A (0; 1)$ e $B (2; 3)$ . Individua i punti $P$ su $r$ , tali che, dette $M$ e $N$ le proiezioni di $P$ rispettivamente sull'asse $x$ e sull'asse $y$ , si abbia $3 \bar{P N} - \bar{P M} = 2$ .

La retta $r$ ha equazione $y =$ ________.

Traduciamo le richieste del problema in un'equazione:

$3 | x | - | x + 1 | = 2$

L'equazione ottenuta è equivalente ai sistemi:

1. ${\begin{cases} \end{cases}$	$x < - 1$	$\to$
	________ $+ x + 1 = 2$

${\begin{cases} x < - 1 \\ - 2 x = 1 \end{cases} \to$ ________;

2. ${\begin{cases} \end{cases}$	$- 1 \leq x < 0$	$\to$
	$- 3 x - x$ ________ $= 2$

${\begin{cases} - 1 \leq x < 0 \\ - 4 x = 3 \end{cases} \to$ $x = - \frac{3}{4}$ ;

3. ${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq 0$	$\to$
	$3 x - x - 1 = 2$

${\begin{cases} x \geq 0 \\ 2 x = 3 \end{cases} \to$ $x = \frac{3}{2}$ .

Abbiamo quindi i punti

$P_{1} (- \frac{3}{4};$ ________ $);$ $P_{2} (\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$ .

Completamento chiuso