Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Disequazioni di grado superiore al secondo e disequazioni fratte

FIP03BBblu18 - Disequazioni di grado superiore al secondo e disequazioni fratte

11 esercizi

SVOLGI

INFO

La somma tra il triplo di un numero $x$ e il doppio del suo reciproco è minore del numero stesso diminuito di $5$ . Quali numeri soddisfano questa condizione?

Scriviamo la condizione sotto forma di disequazione:

$3 x +$ ________ $< x - 5$

$3 x + \frac{2}{x} - x < - 5$

$\frac{3 x^{2} + 2 - x^{2} + 5 x}{x} < 0$

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{x} < 0$ .

Studiamo il segno di numeratore e denominatore.

________ $Δ = 25 - 16 = 9 \to$ $x_{1} = - \frac{1}{2}$ , $x_{2} = - 2$ .
Quindi il numeratore è positivo se
________.
$x > 0$
Costruiamo la tabella dei segni.

La disequazione iniziale avrà quindi come soluzione

________.

Completamento chiuso

Quale disequazione ha come insieme delle soluzioni l'intervallo in figura?

(x + 5)^{3} (x - 7) \geq 0

\frac{1}{x^{2} - 2 x - 35} \leq 0

(x - 5) (x + 7)^{5} \leq 0

\frac{x^{2} - 14 x + 49}{x + 5} \geq 0

Scelta multipla

Risolvi la seguente disequazione.

$(x^{4} - x^{2} - 6) (x^{3} - x^{2} - 3 x + 3) \geq 0$

Studiamo separatamente il segno dei due fattori.

$x^{4} - x^{2} - 6 \geq 0$
Possiamo procedere tramite la sostituzione ________.
$t^{2} - t - 6 \geq 0$
$Δ = 1 + 24 = 25 \to t_{1} = 3, t_{2} = - 2$ .
Quindi la disequazione ha come soluzione l'intervallo
$t \leq - 2 \lor t \geq 3$ .
Torniamo alla variabile $x$ :
$x^{2} \leq - 2 \lor x^{2} \geq 3$ .
La prima disequazione è impossibile, la seconda è verificata se
________.
$x^{3} - x^{2} - 3 x + 3 \geq 0$
Scomponiamo in fattori il polinomio
$P (x) = x^{3} - x^{2} - 3 x + 3$ ,
con la regola di Ruffini.
Cerchiamo uno zero di $P (x)$ tra i divisori del termine noto:
$\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ .
Se $x = 1$ , si ha $1 - 1 - 3 + 3 = 0$ .
Quindi $x = 1$ è uno zero del polinomio.

Quindi $x^{3} - x^{2} - 3 x + 3 =$ ________

Studiamo il segno dei fattori:

$x - 1 \geq 0 \to x \geq 1$ ;

$x^{2} - 3 \geq 0 \to x \leq - \sqrt{3} \lor x \geq \sqrt{3}$ .

Gli intervalli di valori che soddisfano la disequazione sono quindi

$- \sqrt{3} \leq x \leq 1 \lor x \geq \sqrt{3}$ .

Studiamo il segno della disequazione iniziale tramite una tabella di segni.

La disequazione iniziale avrà quindi come soluzione

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{(4 + x^{2}) (9 - x^{2})^{2}}{x^{3} (x - 1)^{3}} \leq 0

Tutti i fattori della frazione sono potenze di polinomi di grado minore o uguale a due;
studiamo il segno di ogni singolo fattore. Osserviamo che:
•

N_{1} = 4 + x^{2}

è sempre positivo;
•

N_{2} = (9 - x^{2})^{2}

è sempre positivo e si annulla per

x =

________, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto dei valori in cui si annulla nello scrivere le soluzioni.

D_{1} > 0 \to x^{3} > 0 \to

________;

D_{2} > 0 \to (x - 1)^{3} > 0 \to

________.
Il quadro dei segni che rappresenta le soluzioni della disequazione è quello in figura ________.

Le soluzioni della disequazione sono date da tutti gli

x

per cui la frazione è minore o uguale a zero, cioè:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{x^{2} + x - 1}{(3 x + 6) (4 - x^{2})} \leq \frac{1}{3 x^{2} + 12 x + 12}

Scriviamo la disequazione nella forma

\frac{N (x)}{D (x)} \geq 0

\frac{N (x)}{D (x)} \leq 0

\frac{x^{2} + x - 1}{3 (x + 2)^{2} (2 - x)}

________

\frac{1}{3 (x + 2)^{2}} \leq 0

\frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 (x + 2)^{2} (2 - x)} \leq 0

.
Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Osserviamo che:
•

D_{1} = 3

è sempre positivo;
•

D_{2} = (x + 2)^{2}

è sempre ________ e si annulla per

x = - 2

, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto del valore

- 2

nello scrivere le soluzioni.

N \geq 0 \to x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 \to

________

D_{3} > 0 \to 2 - x > 0 \to x

________

2

Il quadro dei segni che rappresenta le soluzioni della disequazione è quello in figura ________.

Le soluzioni della disequazione sono date da tutti gli

x

per cui la frazione è minore o uguale a zero, cioè:
________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

La disequazione

\frac{- x^{5}}{1 - x^{3}} \geq 0

è verificata solo se

x

1 - x^{3}

hanno segni concordi.

La disequazione

- \frac{8}{4 x^{2} + 4 x + 1} < 0

è verificata per ogni

x \in R

La disequazione

\frac{(3 x - 1)^{6} (2 x - 3)^{5}}{(x - 6)^{4} (x + 5)^{3}} > 0

è equivalente a

\frac{(3 x - 1)^{4} (2 x - 3)}{(x - 6)^{6} (x + 5)} > 0

La disequazione

\frac{x^{2} + 2 x + 1}{{(x - \frac{3}{2})}^{3}} \leq 0

è verificata da un numero finito di numeri naturali.

Vero o falso

Vero o falso?
Siano

a

b

c

tre numeri reali tali che

a \neq 0

e il trinomio

a x^{2} + b x + c

è negativo o nullo per

- \frac{1}{2} \leq x \leq 2

. Allora puoi affermare che:

\frac{a x^{2} + b x + c}{x^{2} - 4 x + 4} < 0

per

- \frac{1}{2} \leq x \leq 2

\frac{a x^{2} + b x + c}{1 - x} < 0

per

x < - \frac{1}{2} \leq x \lor 1 < x < 2

a x^{3} + b x^{2} + c x \geq 0

per

- \frac{1}{2} \leq x \leq 0 \lor x \geq 2

(a x^{2} + b x + c) (- x^{2} + 6 x - 14) < 0

per

x < - \frac{1}{2} \lor x > 2

Vero o falso

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{1}{2}}{\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5}} < 0

Riduciamo il primo membro a unica frazione:

(\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{x^{2} + 5}{x^{2} - 9} < 0 \to

________

\cdot

\frac{x^{2} + 5}{x^{2} - 9} < 0

.
Studiamo i segni di ogni fattore:

N_{1} > 0

x >

________;

D_{1} > 0

x > - 2

;

N_{2} > 0

x^{2} + 5 > 0 \to x^{2} > - 5 \to \forall x \in R

;

D_{2} > 0

x^{2} - 9 > 0 \to x < - 3 \lor x > 3

.
Per risolvere la disequazione ci serve il quadro dei segni in figura ________

Le soluzioni della disequazione di partenza sono quindi:

- 3 < x < - 2 \lor

________

< x <

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione, nell'incognita

x

, discutendo al variare del parametro

b

R

- \frac{b x}{x^{2} - 4 x + 3} \geq 0

Riscriviamo la disequazione come

\frac{b x}{x^{2} - 4 x + 3} \leq 0

.
Distinguiamo tre casi:

b < 0

b = 0

b > 0

.

Caso

b < 0

.
Studiamo il segno del numeratore e denominatore:
•

b x \geq 0

x

________

0

;
•

x^{2} - 4 x + 3 > 0

\frac{Δ}{4} = 4 - 3 = 1 \to x_{1} = 3

x_{2} = 1

.
Quindi il denominatore è positivo se

x < 1 \lor x > 3

.
La soluzione della disequazione è

0 \leq x < 1 \lor x > 3

.

Caso

b = 0

.
Se

b = 0

il numeratore si annulla: la disequazione risulterà sempre verificata a parte i valori di

x

che annullano il denominatore. Questi
sono

x = 1

x = 3

.

Caso

b > 0

.
Studiamo il segno del numeratore e denominatore:
•

b x \geq 0

x

________

0

;
• come nel caso precedente, il denominatore è positivo se

x < 1 \lor x > 3

.
La soluzione della disequazione è
________.

In conclusione:
• se

b < 0 \to 0 \leq x < 1 \lor x > 3

;
• se

b = 0 \to \forall \in R - {1; 3}

;
• se

b > 0 \to x \leq 0 \lor 1 < x < 3

Completamento chiuso

Kamila è una podcaster. Dal momento in cui ha pubblicato il primo episodio del suo nuovo podcast, che tratta storie di attualità dal mondo, ha monitorato l'andamento del numero

n

cumulativo di ascolti in funzione del tempo

t

, in ore, e ha ottenuto la funzione

n (t) = t^{3} + 5 t

. Dopo quante ore di podcast il numero cumulativo di ascolti era almeno

150

?

Il numero cumulativo di ascolti è almeno

150

t^{3} + 5 t

________

150

.
Risolviamo la disequazione.

t^{3} + 5 t - 150 \geq 0

Scomponiamo in fattori il polinomio

P (t) = t^{3} + 5 t - 150

,
con la regola di Ruffini.
Poiché

P (5) = 0

5

è uno zero del polinomio.

P (t) = (t - 5) (

________

)

La disequazione diventa quindi:

(t - 5) (t^{2} + 5 t + 30) \geq 0

.
Studiamo il segno dei fattori:
•

t - 5 \geq 0 \to t \geq 5

;
•

t^{2} + 5 t + 30 \geq 0

Δ = 25 - 30 < 0 \to

________.
La soluzione della disequazione è

t \geq 5

, quindi il numero cumulativo di ascolti era almeno

150

dopo

5

ore.

Completamento chiuso

Un team di ricercatori testa due robot di assemblaggio,

A

B

, entrambi progettati per montare dei rubinetti. Per montare un rubinetto,

A

impiega

1

secondo meno di

B

. Quanti rubinetti sono stati montati, come minimo, da ciascuno dei due in un minuto se

A

ne ha montati almeno

10

in più di

B

?

Chiamiamo

x

il numero di secondi che

B

impiega a montare

1

rubinetto. Il robot

A

impiegherà invece

x - 1

secondi.
Quindi in

1

minuto

B

riuscirà a montare ________ rubinetti, mentre

A

ne monterà

\frac{60}{x - 1}

.
Dato che

A

monta in un minuto almeno

10

rubinetti più di

B

, possiamo scrivere:
________.
Risolviamo la disequazione.

\frac{60 x - 60 (x - 1) - 10 x (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 0

\frac{60 x - 60 x + 60 - 10 x^{2} + 10 x}{x (x - 1)} \geq 0

\frac{- 10 x^{2} + 10 x + 60}{x (x - 1)} \geq 0

Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
•

- 10 x^{2} + 10 x + 60 \geq 0

10 x^{2} - 10 x - 60 \leq 0

x^{2} - x - 6 \leq 0

Δ = 1 + 24 = 25 \to x_{1} = 3, x_{2} = - 2

.
Il numeratore risulta quindi positivo se
________.
•

x (x - 1) > 0

\to

x < 0 \lor x > 1

La disequazione iniziale è soddisfatta se

- 2 \leq x < 0 \lor 1 < x \leq 3

.
Dato che

x

rappresenta i secondi che

B

impiega per montare un rubinetto, consideriamo solo l'intervallo ________.
Scegliamo

x = 3

come risultato, in modo da trovare il minimo numero di rubinetti montati in un minuto:
•

A

ne monterà

\frac{60}{x - 1} = \frac{60}{3 - 1} = 30

.
•

B

ne monterà

\frac{60}{x} = \frac{60}{3} = 20

Completamento chiuso