Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Sistemi di secondo grado

FIP03BBblu17 - Sistemi di secondo grado

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Risolvi il seguente sistema.

${\begin{cases} 5 x - 2 y = - 3 \\ \frac{y + 1}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{x}{8 + 2 x} = \frac{- x}{1 - x} \end{cases}$

Risolviamo il sistema:

${\begin{cases} 5 x - 2 y = - 3 \\ \frac{y + 1}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{x}{8 + 2 x} = \frac{- x}{1 - x} \end{cases}$ $\to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$5 x - 2 y = - 3$
	________ $+$ $\frac{x}{2 (x + 4)} = \frac{x}{(x - 1)}$

Imponiamo le C.E.: $x \neq$ ________ $\land$ $x \neq - 4.$

Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione:

${\begin{cases} y = \frac{5 x + 3}{2} \\ x^{2} + 4 x - 5 = 0 \end{cases}$ $\to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$y =$ ________	.
	$x = - 5$

Il sistema ha come soluzione la coppia $(- 5; - 11)$ .

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema, discutendo al variare di $a$ .

${\begin{cases} y - a x^{2} - 2 x = - a x - 3 \\ a x - y + 1 = 0 \end{cases}$

${\begin{cases} y - a x^{2} - 2 x = - a x - 3 \\ a x - y + 1 = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} a x + 1 - a x^{2} - 2 x = - a x - 3 \\ y = a x + 1 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$a x^{2} + 2 x$ ________ $- 4 = 0$
	$y = a x + 1$

Se $a = 0$ : ${\begin{cases} \end{cases}$	$2$ ________ $- 4 = 0$	$\to$
	$y = a x + 1$

$(2;$ ________ $)$ .

Se $a \neq 0$ : ${\begin{cases} \end{cases}$	$x_{1} =$ ________; $x_{2} = - \frac{2}{a}$	$\to$
	$y = a x + 1$

$(2; 2 a + 1), (- \frac{2}{a};$ ________ $)$

Completamento chiuso

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è

${\begin{cases} \end{cases}$	$y = - x$ ________ $1$	$\to$ ${\begin{cases} x + y = - 1 \\ x y = - 6 \end{cases} .$
	$x y = - 6$

Utilizziamo l'incognita ausiliaria $t$ e risolviamo l'equazione

$t^{2}$ ________ $t - 6 = 0$ $\to$ $t_{1} = 2$ ; $t_{2} = - 3$ .

Il sistema ha quindi come soluzioni

$($ $- 3;$ ________ $)$ , $($ ________ $; - 3) .$

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema.

${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = \frac{x + y}{3} + \frac{14}{9} x y \\ x + y = 2 \end{cases}$

${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = \frac{x + y}{3} + \frac{14}{9} x y \\ x + y = 2 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} + (2 - x)^{2} =$ ________ $+ \frac{14}{9} x (2 - x)$	$\to$
	$y = 2 - x$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} + x^{2} -$ ________ $x + 4 = \frac{2}{3} + \frac{28}{9} x - \frac{14}{9} x^{2}$	$\to$
	$y = 2 - x$

${\begin{cases} \end{cases}$	________ $x^{2} - \frac{64}{9} x +$ ________ $= 0$	$\to$
	$y = 2 - x$

${\begin{cases} \end{cases}$	$16 x^{2} - 32 x +$ ________ $= 0$	$\to$
	$y = 2 - x$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x_{1} = \frac{3}{4}, x_{2} =$ ________	$\to$
	$y = 2 - x$

$(\frac{5}{4};$ ________ $); (\frac{3}{4}; \frac{5}{4}) .$

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema.

${\begin{cases} x^{2} = 4 - x y + 2 y^{2} \\ 7 x - \frac{7}{2} y - 9 z = \frac{57}{2} \\ 2 x - y + 2 z = - 1 \end{cases}$

${\begin{cases} x^{2} = 4 - x y + 2 y^{2} \\ 7 x - \frac{7}{2} y - 9 z = \frac{57}{2} \\ 2 x - y + 2 z = - 1 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} = 4 - x y + 2 y^{2}$	$\to$
	$7 x - \frac{7}{2} (2 x + 2 z + 1) - 9 z = \frac{57}{2}$
	$y = 2 x + 2 z$ ________ $1$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} = 4 - x y + 2 y^{2}$	$\to$
	$z =$ ________
	$y = 2 x + 2 z + 1$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} = 4 - x y + 2 y^{2}$	$\to$
	$z = - 2$
	$y = 2 x -$ ________

${\begin{cases} x^{2} = 4 - x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)^{2} \\ z = - 2 \\ y = 2 x - 3 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} = 4 - 2 x^{2} + 3 x +$ ________ $x^{2} - 24 x + 18$	$\to$
	$z = - 2$
	$y = 2 x - 3$

${\begin{cases} \end{cases}$	________ $x^{2} - 21 x + 22 = 0$	$\to$
	$z = - 2$
	$y = 2 x - 3$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x_{1} = \frac{11}{5}; x_{2} =$ ________	$\to$
	$z = - 2$
	$y = 2 x - 3$

$(\frac{11}{5}; \frac{7}{5}; - 2)$ ; $(2;$ ________; $- 2)$ .

Completamento chiuso

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è:

${\begin{cases} \end{cases}$	$y =$ ________	.
	$x^{2} + y^{2} =$ ________

Le soluzioni del sistema sono le coppie

$($ ________ $; - 2 \sqrt{5}$ $)$ , $($ $\sqrt{5};$ ________ $)$

Completamento chiuso

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è:

${\begin{cases} \end{cases}$	$y =$ ________ $+ 2$	$\to$
	$y = \frac{3}{4} x^{2}$

${\begin{cases} \end{cases}$	$y = - \frac{1}{2} x + 2$	$\to$
	________ $+ 2 =$ $\frac{3}{4} x^{2}$

${\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x + 2 \\ x_{1} = - 2, x_{2} = \frac{4}{3} \end{cases} .$

Il sistema ha quindi come soluzioni

$($ ________ $; 3)$ e $(\frac{4}{3}; \frac{4}{3})$ .

Completamento chiuso

Indica se le seguenti affermazioni, relative al sistema

{\begin{cases} x + y = b \\ 5 x^{2} + a y^{2} = 4 \end{cases}

, sono vere o false.

Il sistema è simmetrico per

a = - 5

Il sistema ammette come soluzione

(1; - 2)

a = \frac{1}{4} \land b = - 1

Per

a = 5

e per

b \in R

il sistema rappresenta il metodo algebrico per determinare i punti di intersezione tra una retta e una circonferenza.

a = - 5 \land b \neq 0

, il sistema ammette un'unica soluzione.

Vero o falso

Determina per quale valore di $a$ il sistema

${\begin{cases} y = (a^{2} + 3) x^{2} - x + 4 \\ y = (2 a + 1) x + 3 \end{cases}$

ammette due soluzioni coincidenti. Per il valore trovato, interpreta graficamente il sistema e risolvilo.

${\begin{cases} y = (a^{2} + 3) x^{2} - x + 4 \\ y = (2 a + 1) x + 3 \end{cases} \to$

${\begin{cases} (2 a + 1) x + 3 = (a^{2} + 3) x^{2} - x + 4 \\ y = (2 a + 1) x + 3 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$(a^{2} + 3) x^{2} - 2 (a +$ ________ $) x +$ ________ $= 0$
	$y = (2 a + 1) x + 3$

Il sistema ammette due soluzioni coincidenti se:

$\frac{Δ}{4} = 0 \to$

$(a + 1)^{2} -$ ________ $= 0 \to$

$a^{2} + 2 a + 1 - a^{2}$ ________ $3 = 0 \to$

$a =$ ________.

Con $a = 1$ :

${\begin{cases} \end{cases}$	$y =$ ________ $x^{2} - x + 4$	$\to$
	$y = 3 x + 3$

${\begin{cases} 3 x + 3 = 4 x^{2} - x + 4 \\ y = 3 x + 3 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$4 x^{2} -$ ________ $x + 1 = 0$	$\to$
	$y = 3 x + 3$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________	$\to$
	$y = 3 x + 3$

$(\frac{1}{2};$ ________ $) .$

Rappresentiamo graficamente le due equazioni del sistema.

La soluzione trovata corrisponde al punto $A$ in figura.

Completamento chiuso