Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Equazioni di secondo grado fratte e letterali

FIP03BBblu16 - Equazioni di secondo grado fratte e letterali

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{- x^{2}}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{- x^{2} + 2 x - 1}{9 - x^{2}}$

$- x^{2}$	$+$	$x - 3$	$=$	________
$(x + 3) (x - 3)$	$+$	$(x - 3)^{2}$	$=$	$(x + 3) (x - 3)$

C.E.: $x \neq$ ________.

$\frac{- x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

$\frac{- x^{2} + x + 3}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

$- x^{2} + x + 3 - x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$- 2 x^{2} + 3 x + 2 = 0$

$Δ = 9 +$ ________ $= 25 \to$

$x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{- 4} \to x_{1} = \frac{- 1}{2}$ , $x_{2} = 2$ .

Entrambe le soluzioni sono accettabili.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione con un'opportuna sostituzione.

{(\frac{x^{2} + 6}{x^{2} - 4 x})}^{2} + 4 \cdot \frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} = 5

Le C.E. sono ________.
Scegliamo

y = \frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)}

e risolviamo

y^{2} + 4 y = 5

y^{2} + 4 y

________

5 = 0 \to

(y

________

5) (y - 1) = 0 \to

y =

________

5 \lor y = 1

.
Quindi:

\frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} =

________

5

\to

x^{2} + 6 =

________

5 x (x - 4) \to

6 x^{2} - 20 x + 6 = 0 \to

3 x^{2} - 10 x + 3 = 0 \to

\frac{Δ}{4} =

________

- 9 = 16

x_{1, 2} = \frac{5 \pm 4}{3}

x_{1} =

________,

x_{2} =

________
oppure

\frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} = 1 \to x^{2} + 6 = x (x - 4) \to

________

= - 6 \to x =

________.
Le soluzioni dell'equazione sono quindi ________, ________ e ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{3}{x + 2} + \frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} + 2 x} = 1

Il minimo comune denominatore è

x (x + 2)

quindi le C.E. sono ________.
L'equazione diventa:

\frac{3 x + 2 x^{2} - 2}{x (x + 2)} = \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}

.
Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

3 x + 2 x^{2} - 2 = x (x + 2)

3 x + 2 x^{2} - 2 = x^{2} + 2 x

________

+

________

- 2 = 0

(x + 2) (x - 1) = 0

x =

________

2 \lor x =

________

1

.
Controlliamo le C.E. e otteniamo ________ come unica soluzione accettabile.

Completamento chiuso

Considera l'equazione

\frac{3 x}{x + 3} = \frac{a x}{x^{2} - a}

.
a. Per quali valori di

a

le C.E. sono

x \neq - 3 \land x \neq \pm \sqrt{2}

?
b. Per quali valori di

a

l'equazione ammette come soluzione

x = 1

?
c. Per quali valori di

a

il minimo comune denominatore è un polinomio di secondo grado?

a.

x^{2} - a = (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a})

.
Per le C.E.

x \neq

________ quindi

a =

________.

b. Sostituiamo

x = 1

\frac{3}{4} = \frac{a}{1 - a}

con C.E.

a \neq

________.

3 (1 - a) = 4 a \to

________

= 3 \to

a =

________.

c. Il minimo comune denominatore è

(x + 3) (x^{2} - a)

che è di ________ grado a meno che

x + 3

non sia un ________ di

x^{2} - a

x^{2} - a = (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a})

.
Imponiamo quindi

x + \sqrt{a} = x + 3

, cioè

a =

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione letterale nell'incognita

x

, discutendola al variare del parametro in

R

\frac{x}{x + 3} + \frac{2 a + 1}{x - a} = \frac{5 a + 4 + x}{x^{2} + 3 x - a x - 3 a}

\frac{x}{x + 3} + \frac{2 a + 1}{x - a} = \frac{5 a + 4 + x}{x^{2} + 3 x - a x - 3 a}

\frac{x}{x + 3} + \frac{2 a + 1}{x - a} = \frac{5 a + 4 + x}{(x + 3) (x - a)}

C.E.:

x \neq

________,

x \neq

________.

\frac{x (x - a) + (2 a + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - a)} = \frac{5 a + 4 + x}{(x + 3) (x - a)}

x^{2} - a x + 2 a x + 6 a + x + 3 = 5 a + 4 + x

x^{2} + a x + a - 1 = 0

Δ = a^{2} - 4 a + 4 \to Δ = (a - 2)^{2}

Al variare del valore del parametro

a

otterremo diverse soluzioni:
• se

a =

________:

x_{1} = x_{2} = - 1

.
• se

a \neq 2

x_{1, 2} = \frac{- a \pm (a - 2)}{2} \to x_{1} = - 1

x_{2} = - a + 1

.
Per le C.E. deve anche essere

a \neq - 1,

________,

4

.
Quindi discutiamo anche cosa accade se

a

assume questi valori.
• Se

a = - 1

Δ = 9 \to

x_{1, 2} = \frac{1 \pm 3}{2} \to x_{1} = 2

x_{2} = - 1.

La ________ soluzione non è accettabile per le C.E.
• Se

a = \frac{1}{2}

x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = 0 \to 2 x^{2} + x - 1 = 0 \to

Δ = 1 + 8 \to

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2} \to x_{1} = \frac{1}{2}

x_{2} = - 1

.
La prima soluzione non è accettabile per le C.E..
• Se

a = 4

x^{2} + 4 x + 3 = 0 \to

Δ = 4 - 3 = 1 \to

x_{1, 2} = - 2 \pm 1 \to x_{1} = - 1

x_{2} = - 3

.
La seconda soluzione non è accettabile per le C.E..
Riassumendo:
• se

a \neq - 1

\frac{1}{2}

2

4

x_{1} = - 1

x_{2} = - a + 1

.
• se

a = 2

x_{1} = x_{2} = - 1

.
• se

a = - 1

x = 2

.
• se

a = \frac{1}{2} \lor a = 4

x = - 1

Completamento chiuso

Vero o falso?
Un'equazione di secondo grado numerica fratta:

può avere una sola soluzione che non è una soluzione doppia.

non può avere come insieme delle soluzioni

R

può avere esattamente

3

soluzioni.

se è impossibile, allora l'equazione intera equivalente ha discriminante negativo.

Vero o falso

Risolvi la seguente equazione nell'incognita $x$ discutendo al variare di $k$ .
$\frac{4 x^{2}}{k^{2}} - x^{2} = \frac{x}{k}$

Le C.E. per il parametro $k$ sono $k \neq 0$ .
Troviamo il minimo comune denominatore, ________, e semplifichiamo:

$\frac{4 x^{2} - k^{2} x^{2}}{k^{2}} = \frac{k x}{k^{2}} \to$

$(4 - k^{2}) x^{2}$ ________ $k x = 0$ .

Se $k =$ ________ allora l'equazione è di ________ grado e la soluzione è
$x =$ ________.
Se $k \neq \pm 2$ allora l'equazione è binomia ________.
Quindi raccogliamo e risolviamo:
$x [(4 - k^{2}) x$ ________ $k] = 0 \to$ $x = 0 \lor x =$ ________.

In sintesi:

se $k = 0$ l'equazione ________;
se $k = \pm 2$ l'equazione ha una sola soluzione, $x =$ ________;
se ________ l'equazione ha due soluzioni, $x = 0$ e $x = \frac{k}{4 - k^{2}}$ .

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{2}{\sqrt{3} x^{2}} = \frac{1}{2 x} - \sqrt{3}

Il minimo comune denominatore è

2 \sqrt{3} x^{2}

quindi le C.E. sono ________.
L'equazione diventa:

\frac{4}{2 \sqrt{3} x^{2}} = \frac{\sqrt{3} x - 6 x^{2}}{2 \sqrt{3} x^{2}} .

Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

4 = \sqrt{3} x - 6 x^{2}

6 x^{2}

________

\sqrt{3} x

________

4 = 0

Δ = 3

________

96 =

________________

0

.
Quindi l'equazione è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione ________.

Completamento chiuso

Discuti la seguente equazione di secondo grado nell'incognita $x$ , al variare di $a$ e $b$ .
$\frac{3}{2} a^{2} x^{2} - (b - 1) = 0$

Se $a = 0$ il termine con l'incognita ________ e rimane solo
$- b$ ________ $1 = 0$ . Quindi se $b =$ ________ è indeterminata e se $b \neq$ ________ è ________.

Se $a \neq 0$ l'equazione è ________ quindi:
$x^{2} = \frac{2 (b - 1)}{3 a^{2}} \to x = \pm \sqrt{\frac{2 (b - 1)}{3 a^{2}}}$ .

Il denominatore del radicando è sempre ________; il numeratore invece è positivo se $b$ ________ $1$ .

In conclusione:

se $a = 0$ e $b = 1$ l'equazione è ________;
se $a = 0$ e $b \neq 1$ l'equazione è ________;
se $a \neq 0$ e $b < 1$ l'equazione è ________;
se $a \neq 0$ e $b$ ________ $1$ l'equazione ha come soluzioni $x = \pm \sqrt{\frac{2 (b - 1)}{3 a^{2}}}$ .

Completamento chiuso

In una merceria sono disponibili due diverse confezioni di nastro di raso. La prima costa

40

€, la seconda costa

5

€ in più ma contiene

5

metri in più di nastro. La commessa del negozio suggerisce di comprare la seconda confezione perché assicura un risparmio di

10

centesimi al metro. Quanti metri di nastro contiene la confezione più conveniente?

Chiamiamo

x

i metri di nastro della confezione meno conveniente. Allora possiamo scrivere:
________

= \frac{40}{x} - \frac{10}{100}

.

Risolviamo l'equazione.

\frac{450 x}{10 x (x + 5)} = \frac{400 (x + 5) - x (x + 5)}{10 x (x + 5)}

C.E.:

x \neq 0

x \neq - 5

450 x = 400 x + 2000 - x^{2} - 5 x

x^{2} + 55 x - 2000 = 0

x_{1, 2} =

________

\to

x_{1} = 25, x_{2} = - 80.

La seconda soluzione non è accettabile, in quanto negativa. Quindi la confezione più conveniente conterrà ________ m.

Completamento chiuso

In seguito a una crisi petrolifera, in un mese, il prezzo della benzina è aumentato di

40

centesimi al litro: pagando

50

€ al distributore si ottengono

6, 25

litri di benzina in meno rispetto a un mese fa. Quanto costa oggi

1

L di benzina?

Chiamiamo

x

il prezzo al litro della benzina oggi.
Possiamo scrivere:
________

= \frac{50}{x - \frac{40}{100}}

________

6, 25

.
Risolviamo l'equazione.

\frac{50}{x} = \frac{50}{x - \frac{2}{5}} - \frac{625}{100}

\frac{2}{x} = \frac{10}{5 x - 2} - \frac{1}{4}

C. E.:

x \neq 0

; ________.

\frac{8 (5 x - 2)}{4 x (5 x - 2)} = \frac{40 x - x (5 x - 2)}{4 x (5 x - 2)}

40 x - 16 = 40 x - 5 x^{2} + 2 x

5 x^{2} - 2 x - 16 = 0

x_{1, 2} = \frac{2 \pm 18}{10} \to

x_{1} = 2

x_{2} = - \frac{16}{10}

.
Scartiamo la seconda soluzione in quanto negativa.
Quindi

1

L di benzina oggi costa

2

€.

Completamento chiuso

Laura si sta allenando per una gara: esce di casa e inizia a correre, ma, dopo aver percorso

720

m, si accorge di aver dimenticato il cellulare, quindi torna indietro percorrendo la stessa strada, ma con velocità media maggiore di

0, 5

m/s rispetto a quella dell'andata. Quando arriva a casa, sono trascorsi in totale

6

minuti. Qual era la velocità media di Laura nella prima parte della corsa?

Chiamiamo

x

la velocità media di Laura nella prima parte della corsa. Allora possiamo scrivere:

360 =

________

+

________.

Risolviamo l'equazione.

360 = \frac{720}{x} + \frac{720}{x + \frac{1}{2}}

360 = \frac{720}{x} + \frac{1440}{2 x + 1}

C.E.:

x \neq

________,

x \neq 0

\frac{360 x (2 x + 1)}{x (2 x + 1)} = \frac{720 (2 x + 1) + 1440 x}{x (2 x + 1)}

720 x^{2} + 360 x = 1440 x + 720 + 1440 x

720 x^{2} - 2520 x - 720 = 0

2 x^{2} - 7 x - 2 = 0

x_{1, 2} = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{4} \to

x_{1} ≃ 3, 77

m/s,

x_{2} ≃ - 0, 27

m/s.
Scartiamo la seconda soluzione in quanto negativa. La velocità media nella prima parte della corsa è quindi

3, 77

m/s.

Completamento chiuso