FIP03BBblu15 - Rette parallele e perpendicolari

Quale fra le seguenti è l'equazione della retta parallela a $2x+3y-1=0$ e passante per il punto di intersezione tra le rette $y-3x=5$ e $2x-y+5=0$?

Completa le equazioni delle rette in modo che rispettino le condizioni indicate.

a.   parallele e distinte
$y=$________$x+7$,
$y=-2x+19$;

b.   coincidenti
${\displaystyle y=-\frac{1}{5}x-\frac{3}{10}}$,  
________$y=$________$x+3$;

c.   incidenti in ${\displaystyle (2;\frac{4}{3})}$
$3y-6x$________$=0$,
$y=$________$x+2$;

d. perpendicolari
$y=$________$x+1$,
$3y+2x+6=0$.

Scrivi l'equazione delle rette rappresentate nelle figure e, se sono incidenti, determina le coordinate del loro punto di intersezione.

a.   La retta passante per l'origine e per $(1;-2)$ ha coefficiente angolare ________ e la sua equazione è
$y=$________.
Quindi la seconda retta ha coefficiente ________, passa per il punto $(0;1)$ e la sua equazione è:
$y$________$1=$________$x$$\to$
$y=$________$x$________$1$.
Impostiamo l'equazione per trovare il punto di intersezione:
________$={\displaystyle \frac{1}{2}x}$________$1$$\to$
${\displaystyle \frac{5}{2}x=-1\to x=-\frac{2}{5}}$;
quindi ${\displaystyle y=-2\cdot (-\frac{2}{5})=\frac{4}{5}}$.
Il punto di intersezione ha coordinate ${\displaystyle (-\frac{2}{5};\frac{4}{5})}$.

b.   La retta passante per l'origine e per $(-1;-3)$ ha coefficiente angolare ________ e la sua equazione è $y=3x$.
Le due rette sono ________ quindi la seconda retta ha coefficiente $3$ e passa per il punto $(0;-3)$.
Quindi la sua equazione è $y=3x$________$3$.
Non sono incidenti.

c.   La retta orizzontale ha equazione
________$=1$.
La retta verticale ha equazione ________$=1$.
Il punto di intersezione ha coordinate $(1;1)$.

d.   Entrambe le rette sono ________ quindi quella passante per $(-1;2)$ ha equazione $x=$________ mentre quella passante per $(3;-3)$ ha equazione
$x=$________.

Vero o falso?
Indica se le seguenti affermazioni, relative alla retta $r$ di equazione $x-3y+6=0$, sono vere o false.

Considera i punti $A(5;2)$, $B(0;-4)$ e $C(3;1-k)$. Per quale valore di $k$ i segmenti $AB$ e $BC$ sono perpendicolari tra loro?

Calcoliamo i coefficienti angolari delle rette passanti per i segmenti $AB$ e $BC$.
$m_{AB}=$${\displaystyle \frac{2+4}{5-0}=}$________
$m_{BC}=$________$=$${\displaystyle \frac{-5+k}{-3}}$

Imponiamo la condizione di perpendicolarità.
________$\cdot$${\displaystyle \frac{-5+k}{-3}=1\to }$
________$=-1$$\to$
${\displaystyle k=\frac{15}{2}}$.

Indica se il quadrilatero formato dalle rette di equazioni $2x-y+1=0$, $2y+x-6=0$, $3x-y+5=0$ e $y-2x+1=0$ è un parallelogramma o un trapezio e calcola il suo perimetro.

Scriviamo tutte le equazioni in forma esplicita:
retta $a$: $2x-y+1=0$$\to$$y=2x$________$1$;
retta $b$: $2y+x-6=0$$\to$$y=$________$x+3$;
retta $c$: $3x-y+5=0$$\to$$y=3x$________$5$
retta $d$: $y-2x+1=0$$\to$$y=2x-1$.

Le rette $a$ e $d$ sono ________. La retta $b$ è perpendicolare ad $a$ e $d$ mentre la retta $c$ è incidente alle altre.

Quindi il quadrilatero formato dalle rette è un ________.

Troviamo i punti di intersezione:
$a$ e $b$$\to$$2x+1=3x+5$$\to$$x=-4$$\to$
$y=2\cdot (-4)+1\to$$A($________;$-7)$;

$a$ e $c$$\to$$2x+1={\displaystyle -\frac{1}{2}x+3\to x=\frac{4}{5}\to }$
$y=2\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}+1}$$\to$$B($________; ${\displaystyle \frac{13}{5})}$;

$d$ e $b$$\to$$2x-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}x+3\to x=\frac{8}{5}\to }$
${\displaystyle y=2\cdot \frac{8}{5}-1\to C(\frac{8}{5};\frac{11}{5})}$;

$d$ e $c$$\to$$2x-1=3x+5\to x=-6\to$
$y=2\cdot (-6)-1\to D(-6;$________$)$.

Troviamo la lunghezza dei quattro lati:
$\overline{AB}=$________$={\displaystyle \frac{24}{5}\sqrt{5}}$;
$\overline{BC}=$________$={\displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{5}}$;
$\overline{CD}=$${\displaystyle \sqrt{{\left(\frac{38}{5}\right)}^2+{\left(\frac{76}{5}\right)}^2}}$$={\displaystyle \frac{38}{5}\sqrt{5}}$;
$\overline{AD}=\sqrt{2^2+6^2}$$=2\sqrt{10}$.

Quindi il perimetro del trapezio è ${\displaystyle \frac{64}{5}\sqrt{5}+2\sqrt{10}}$.

Determina per quale valore di $a$ la retta di equazione
${\displaystyle (3a+1)x+(a-4)y+3+\frac{1}{2}a=0}$
a.   è parallela all'asse $x$;
b.   passa per il punto $P(-2;-1)$;
c.   è perpendicolare alla retta di equazione ${\displaystyle x=\frac{-y+1}{2}}$;
d.   interseca l'asse $x$ nel punto di ascissa $4$.

Chiamiamo $r$ la retta data e scriviamo la sua equazione parametrica in forma esplicita per evidenziare il coefficiente angolare.
${\displaystyle (3a+1)x+(a-4)y+3+\frac{1}{2}a=0}$
${\displaystyle y=-\frac{(3a+1)x}{(a-4)}-\frac{3}{a-4}-\frac{a}{2(a-4)}}$,
$\text{ con }a\ne 4$$\to$
$m_r=$________

a.   La retta $r$ è parallela all'asse $x$ se il coefficiente di ________ vale $0$, cioè se ${\displaystyle a=-\frac{1}{3}}$.

b.   La retta $r$ passa per il punto $P$ se, sostituendo le sue coordinate nell'equazione, quest'ultima è verificata.
$(3a+1)(-2)+(a-4)(-1)+3+{\displaystyle \frac{1}{2}a=0\to }$
${\displaystyle -6a-2-a+4+3+\frac{1}{2}a=0\to }$
________$a=-5\to$${\displaystyle a=\frac{10}{13}}$

c.   Scriviamo l'equazione della retta ${\displaystyle x=\frac{-y+1}{2}}$ in forma esplicita per evidenziare il coefficiente angolare.
${\displaystyle x=-\frac{y+1}{2}\to 2x=-y+1\to }$
$y=-2x+1\to m=-2$
La retta $r$ è perpendicolare a $s$ se il suo coefficiente angolare vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}$:
${\displaystyle \frac{-3a-1}{a-4}=}$________
$-6a-2=a-4\to -7a=-2$
$a={\displaystyle \frac{2}{7}}$.

d.   La retta $r$ interseca l'asse $x$ nel punto di ascissa $4$ se passa per il punto $P$________. Utilizziamo il procedimento del punto b:
${\displaystyle (3a+1)\cdot 4+3+\frac{1}{2}a=0}$
${\displaystyle 12a+4+3+\frac{1}{2}a=0}$
${\displaystyle \frac{25}{2}a=-7}$$\to$
$a=$________.

Isabella corre lungo una pista ciclopedonale rettilinea: all'istante $t=0$ si trova presso il chiosco ai bordi della pista e correndo percorre $20$ m ogni $5$ s. Anna è in bici e percorre la stessa pista a velocità costante, muovendosi nello stesso verso di Isabella: all'istante $t=0$ si trova a $8$ m di distanza dal chiosco, più indietro rispetto a Isabella, e pedalando percorre $12$ m ogni $2$ s.
a.   Rappresenta i dati in un riferimento cartesiano in cui il tempo $t$, in $s$, è sull'asse orizzontale e la posizione $s$, in m, è sull'asse verticale ($s=0$ in corrispondenza del chiosco).
b.   Scrivi le equazioni delle rette che contengono i segmenti rappresentati.
c.   Dopo quanto tempo Anna raggiunge Isabella?

a.   Il grafico che rappresenta il viaggio di Isabella è un segmento con origine in $(0;0)$ e passante per $($________; ________$)$.

Mentre il grafico che rappresenta il viaggio di Anna è un segmento con origine in
$(0;$________$)$ e passante per $(2;4)$.

Il piano cartesiano con entrambi i segmenti è ________.




b.  
Per Isabella:
il coefficiente angolare è
________$=$________
quindi la retta ha equazione
$s=$________$t$.
Per Anna:
il coefficiente angolare è
________$=$________
quindi la retta ha equazione
$s=$________$t$________$8$.

c. Troviamo il punto di intersezione tra le due rette:
$4t=$________$-8\to t=$________.
Anna raggiunge Isabella dopo $4$ s.

Considera le rette
$r$: $kx-y+k-2=0$ e
$s$: $x-(k-2)y=0$.
Trova per quali valori di $k\in \mathbb{R}$:
a.   $r$ e $s$ si intersecano in un punto appartenente all'asse $x$;
b.   $r$ e $s$ si intersecano in un punto appartenente alla retta di equazione $x+1=0$;
c.   $r$ e $s$ sono perpendicolari;
d.   $r$ è parallela all'asse $y$.

a.   La retta $r$ interseca l'asse $x$ nel punto
$($________; $0$$)$.
La retta $s$ invece passa per l'origine degli assi.
Imponiamo ${\displaystyle \frac{2-k}{k}=0}$ quindi $k=2$.

b.   Sostituiamo $x=-1$ in $r$ e otteniamo $y=$________.
Sostituiamo $x=-1$ in $s$ e otteniamo ${\displaystyle y=\frac{1}{2-k}}$.
Imponiamo ${\displaystyle \frac{1}{2-k}=}$________quindi
$k=$________.

c.   Il coefficiente angolare di $r$ è $k$ e quello di $s$ è ________.
Imponiamo $k=2-k$ quindi $k=1$.

d.   Il termine ________ dovrebbe annullarsi ma per $r$________ possibile quindi ________$\in \mathbb{R}$.