FIP03BBblu14 - Razionalizzazione dei den. . Eq, sistemi e diseq a coeff irr

Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni, supponendo verificate le condizioni di esistenza.
a.   ${\displaystyle \frac{8}{\sqrt{2}}}$
b.   ${\displaystyle \frac{17}{\sqrt[3]{17}}}$
c.   ${\displaystyle \frac{b-3}{\sqrt{b}-\sqrt{3}}}$
d.   ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}}$

a.   ${\displaystyle \frac{8}{\sqrt{2}}}$$=$
${\displaystyle \frac{8}{\sqrt{2}}\cdot }$________$=$${\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}}$

b.   ${\displaystyle \frac{17}{\sqrt[3]{17}}}$$=$
${\displaystyle \frac{17}{\sqrt[3]{17}}\cdot }$________$=$$\sqrt[3]{{17}^2}=\sqrt[3]{289}$

c.   ${\displaystyle \frac{b-3}{\sqrt{b}-\sqrt{3}}}$$=$
${\displaystyle \frac{b-3}{\sqrt{b}-\sqrt{3}}\cdot }$________$=$$\sqrt{b}+\sqrt{3}$

d.   Possiamo razionalizzare questo denominatore in due passaggi.
Prima ci occupiamo del termine $\sqrt{5}$:
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}}$$=$
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+(\sqrt{3}-1)}\cdot }$________$=$
${\displaystyle \frac{\sqrt{15}-3+\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}}$.
Poi ci occupiamo del termine $2\sqrt{3}$:
${\displaystyle \frac{\sqrt{15}-3+\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}=}$
${\displaystyle \frac{(\sqrt{15}-3+\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})}=...=}$
________.

Quale delle seguenti uguaglianze è falsa? Supponi verificate le condizioni di esistenza.

Semplifica la seguente espressione.
${\displaystyle \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2}{5-\sqrt{15}}-\frac{\sqrt{3}}{5}(9\sqrt{5}-\sqrt{3})+}$
${\displaystyle (\frac{4}{1-\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}-2}):(5+3\sqrt{5})}$

${\displaystyle \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2}{5-\sqrt{15}}-\frac{\sqrt{3}}{5}(9\sqrt{5}-\sqrt{3})+}$
${\displaystyle (\frac{4}{1-\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}-2}):(5+3\sqrt{5})=}$

${\displaystyle \frac{8+2\sqrt{15}}{5-\sqrt{15}}-}$________$+$
${\displaystyle \frac{4(\sqrt{5}-2)-2(1-\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(\sqrt{5}-2)}\cdot \frac{1}{5+3\sqrt{5}}=}$

Dopo semplici passaggi matematici si arriva alla seguente espressione.

${\displaystyle \frac{8+2\sqrt{15}}{5-\sqrt{15}}-\frac{9\sqrt{15}-3}{5}+}$________$=$

${\displaystyle \frac{8+2\sqrt{15}}{5-\sqrt{15}}-\frac{9\sqrt{15}-3}{5}-1=}$

Portiamo tutti i termini allo stesso denominatore.

${\displaystyle \frac{165-33\sqrt{15}}{5(5-\sqrt{15})}=\frac{33(5-\sqrt{15})}{5(5-\sqrt{15})}=\frac{33}{5}}$

Qual è la soluzione dell'equazione
$6\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)-3\sqrt{2}(\sqrt{6}+x)={\displaystyle 3(6-\frac{2}{\sqrt{2}})?}$

Per quali valori di $x$ è soddisfatta la disequazione ${\displaystyle \frac{x\sqrt{3}}{2}\le x+\sqrt{\frac{3}{2}}}$?

Un parallelogramma $ABCD$ ha area pari a $10$ cm². La sua base $AB$ misura $(4+\sqrt{6})$ cm. Quanto misura l'altezza relativa alla base? Razionalizza il risultato.

Dividiamo l'area del parallelogramma per la lunghezza della base per calcolare quanto misura l'altezza relativa alla base:
________$={\displaystyle \frac{10}{4+\sqrt{6}}}$.

Razionalizziamo il risultato sfruttando la differenza di quadrati:
${\displaystyle \frac{10}{4+\sqrt{6}}=\frac{10}{4+\sqrt{6}}\cdot \frac{4-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}=}$________.

Semplificando si ottiene ________.

In un'azienda di calzature il costo di produzione per $x$ paia di scarpe  è ben approssimato dalla funzione $C(x)=10000+8\sqrt{10}x$.
Se l'azienda vende le sue calzature a $40$ € al paio, quante paia di scarpe deve produrre e vendere per raggiungere un guadagno di almeno $100000$ €? Ricava un risultato esatto senza usare la calcolatrice e, dopo aver razionalizzato, calcola il valore approssimato per eccesso all'unità.

Impostiamo la disequazione che descrive il problema sottraendo la spesa dal ricavo e imponendo la condizione che il guadagno sia almeno $100000$ €:
$40x-10000$________$8\sqrt{10}x\ge 100000$.
Risolviamo la disequazione:
$(40-8\sqrt{10})x\ge 100000$________
$x\ge {\displaystyle \frac{110000}{8(5-\sqrt{10})}}$
${\displaystyle x\ge \frac{13750}{5-\sqrt{10}}}$
$x\ge$________
$x\ge {\displaystyle \frac{2750}{3}(5+\sqrt{10})}$.
Calcoliamo il valore approssimato con la calcolatrice:
${\displaystyle \frac{2750}{3}(5+\sqrt{10})=}$________
Ricordando che non è possibile vendere una frazione di scarpa, ricaviamo che il risultato approssimato per eccesso all'unità è ________.

Per un esperimento in laboratorio, si riempiono completamente due contenitori cilindrici con la stessa massa $m$ di liquidi diversi, acqua e olio di paraffina. I due contenitori hanno la stessa altezza $h$ e raggi diversi. La densità dell'olio è $900$ kg/m³ e quella dell'acqua $1000$ kg/m³.
a.   Determina il valore esatto del rapporto tra i raggi di base $r_1$, del contenitore dell'acqua, e $r_2$, del contenitore dell'olio.
b.   Determina i valori esatti di $r_1$ e $r_2$, in dm, nel caso in cui $m=5$ kg e $h=\pi$ dm.

In fisica, la densità $\rho$ di una sostanza è data dal rapporto tra la massa e il volume.
Il volume di un cilindro di altezza $h$ e raggio $r$ è dato da ________, quindi la densità ${\rho }_1$ del cilindro d'acqua è ${\rho }_1={\displaystyle \frac{m}{\pi r_1^{2}h}}$.
Invertiamo la formula della densità ${\rho }_1$ e ricaviamo la lunghezza del raggio $r_1$ in funzione delle altre variabili:
$r_1=$________.
Analogamente si ricava che la lunghezza del raggio del cilindro d'olio, di densità ${\rho }_2$, è $r_2={\displaystyle \sqrt{\frac{m}{\pi h{\rho }_2}}}$.
Sostituiamo a ${\rho }_1$ e ${\rho }_2$ i valori dati delle densità di acqua a olio, rispettivamente, e calcoliamo il rapporto tra i raggi:
${\displaystyle \frac{r_1}{r_2}=\frac{\sqrt{\frac{m}{1000\pi h}}}{\sqrt{\frac{m}{900\pi h}}}}$$=$________$=$
${\displaystyle \sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}}$.
Calcoliamo il raggio del cilindro d'acqua per $m=5$kg e $h=\pi$dm. Poiché la densità è espressa in kg/m³, esprimiamo l'altezza in metri:
$h=$________m. Poi sostituiamo i valori dati nell'espressione del raggio e svolgiamo i calcoli:
${\displaystyle r_1=\sqrt{\frac{m}{\pi h{\rho }_1}}=\sqrt{\frac{5}{100{\pi }^2}}=}$
${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{20{\pi }^2}}=}$________$={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10\pi }}$.
Convertiamo il risultato in dm:
${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10\pi }}$m $=$${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\pi }}$ dm.
Analogamente, per il cilindro di olio di paraffina troviamo:
$r_2={\displaystyle \sqrt{\frac{m}{\pi h{\rho }_2}}=\sqrt{\frac{1}{18{\pi }^2}}=\frac{1}{3\pi }\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=}$
${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6\pi }}$ m $=$________ dm.