Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Simmetrie centrali, simmetrie assiali, omotetie

FIP02BBbluG8 - Simmetrie centrali, simmetrie assiali, omotetie

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Considera le rette di equazioni

$r$ : $y = 0$ e $t$ : $y = - x$ .

Quale tipo di trasformazione si ottiene componendo le simmetrie assiali $s_{t} \circ s_{r}$ ? Disegna il triangolo $A (0; 0)$ , $B (2; 0)$ e $C (1; 3)$ e il suo corrispondente con la trasformazione $s_{t} \circ s_{r}$ .

$s_{t} : {\begin{cases} x^{'} = - y \\ y^{'} = - x \end{cases}$ e $s_{r} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	$\to$
	$y^{'} =$ ________

$s_{t} \circ s_{r} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

$s_{t} \circ s_{r}$ è una rotazione di $270^{o}$ .

Si ha che

$A^{'} (0; 0)$ , $B^{'} ($ ________; ________ $)$ e
$C^{'} ($ ________; $- 1)$ .

Disegniamo i due triangoli.

Completamento chiuso

Dati i due punti $A (0; 3)$ , $B (2; 1)$ e $C (4; 5)$ , scrivi l'equazione della retta $r$ rispetto alla quale $A$ è il simmetrico di $B$ .

Individua l'insieme dei punti del triangolo $A B C$ che sono uniti nella simmetria assiale rispetto a $r$ .

Consideriamo una generica simmetria assiale rispetto a una retta $y = m x + q$ :

$s : {\begin{cases} x^{'} = \frac{(1 - m^{2}) x + 2 m y - 2 m q}{1 + m^{2}} \\ y^{'} = \frac{2 m x + (m^{2} - 1) y + 2 q}{1 + m^{2}} \end{cases} .$

Imponendo che $s (B) = A$ si ottiene

${\begin{cases} \end{cases}$	$0 = \frac{2 (1 - m^{2}) + 2 m - 2 m q}{1 + m^{2}}$	$\to$
	________ $= \frac{4 m + (m^{2} - 1) + 2 q}{1 + m^{2}}$

$m =$ ________ $\lor$ $q = 1$ .

Quindi, $r : y = x + 1$ .

Per la ricerca di punti uniti imponiamo $(x^{'}; y^{'}) = (x; y)$ all'interno della simmetria
$s : {\begin{cases} x^{'} = y - 1 \\ y^{'} = x + 1 \end{cases} .$

${\begin{cases} x = y - 1 \\ y = x + 1 \end{cases} \to$ il sistema è ________ e ha come soluzioni i punti della retta $y = x + 1$ , ossia i punti di coordinate $(x; x + 1)$ .

Determiniamo l'intervallo a cui deve appartenere $x$ affinché il punto $(x; x + 1)$ . appartenga al triangolo $A B C$ .

La retta $y = x + 1$ interseca la retta passante per $A$ e $B$ nel punto ________ e passa per il punto $C$ .

Si ha quindi che $1 \leq x \leq 4$ .

Completamento chiuso

Vero o falso?

Una simmetria assiale ha una retta di punti uniti.

Una rotazione di

+ 180^{\circ}

è equivalente a una simmetria centrale con centro nel centro di rotazione.

Se una retta è unita, tutti i suoi punti sono uniti.

Una retta ha infiniti centri di simmetria e infiniti assi di simmetria.

Vero o falso

Dati $A (- 3; 3)$ e $B (- 3; - 1)$ , determina i loro simmetrici $A^{'}$ e $B^{'}$ rispetto all'origine, e verifica che il quadrilatero $A B A^{'} B^{'}$ è un parallelogramma.

Le equazioni della simmetria rispetto all'origine sono

$s : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

Si ha quindi che
$A^{'} (3; - 3)$ e $B^{'} ($ ________; ________ $)$ .

Per dimostrare che $A B A^{'} B^{'}$ è un parallelogramma, dobbiamo dimostrare che
$A B$ ________ $A^{'} B^{'}$ e $A B ≅ A^{'} B^{'}$ .

Le rette contenenti i lati $A B$ e $A^{'} B^{'}$ sono rette parallele all'asse ________, e pertanto sono parallele tra loro.

Inoltre, si ha che $A B = | y_{B} - y_{A} | = 4$ e $A^{'} B^{'} = | y_{B^{'}} - y_{A^{'}} | = 4$ .

Questo dimostra che il quadrilatero è un parallelogramma.

Completamento chiuso

Siano

r

una retta e

A

B

due punti appartenenti a uno dei due semipiani individuati da

r

. Siano

A^{'}

il simmetrico di

A

rispetto alla retta

r

Q

il punto in cui

A^{'} B

interseca

r

P

un punto generico di

r

. Dimostra che, fra tutte le spezzate

A P B

che congiungono

A

con

B

, quella che ha la lunghezza minima è

A Q B

.

Il segmento

A B^{'}

è il cammino più breve da

A

fino a

B^{'}

.
Si ha che

A B^{'} ≅ A Q +

________

≅

A Q + Q B ≅ A Q B

.
Scegliendo un punto

Q^{'} ≅ Q

, si ha che

A Q^{'} B^{'} >

________ e quindi

A Q^{'} B^{'} > A Q B

.
Quindi, la spezzata di lunghezza minima è ________.

Completamento chiuso

Considera il triangolo

A B C

, rettangolo in

A

, e traccia la bisettrice

A Q

. Considera un punto

P

sul segmento

B Q

e costruisci

P^{'}

, simmetrico di

P

rispetto ad

A Q

, e

P^{″}

, simmetrico di

P^{'}

rispetto ad

A C

. Dimostra che il triangolo

A P P^{″}

è rettangolo.

I triangoli

A P O

A P^{'} O

sono simili perché hanno il lato

A O

in comune,

\bar{O P} ≅

________ per simmetria e

P \hat{O} A ≅ P^{'} \hat{O} A

perché retti.

I triangoli

A P^{″} H

A P^{'} H

sono simili perché hanno il lato

A H

in comune,

\bar{P^{'} H} ≅ \bar{P^{″} H}

per simmetria e

P^{'} \hat{H} A ≅

________ perché retti.

Inoltre si ha che

H \hat{A} P^{'} + P^{'} \hat{A} O ≅

________

= 45^{\circ}

B \hat{A} P + P \hat{A} O ≅ B \hat{A} Q = 45^{\circ} .

Poiché

P^{'} \hat{A} O ≅ P \hat{A} O

si ha che

H \hat{A} P^{'} ≅ B \hat{A} P

perché ________ di angoli congruenti.
Quindi per la congruenza dei triangoli

A P^{″} H

A P^{'} H

, si ha che

B \hat{A} P ≅ H \hat{A} P^{″}

.

Da questo segue che

P^{″} \hat{A} P ≅

________

+ H \hat{A} P^{'} + P^{'} \hat{A} O + P \hat{A} O ≅

B \hat{A} P + H \hat{A} P^{'} + P^{'} \hat{A} O + P \hat{A} O =

45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}

.

Il triangolo

A P P^{″}

è dunque rettangolo in

\hat{A}

Completamento chiuso

Data la retta di equazione

$r : y = 2 x - 1$ ,

determina l'equazione della retta $r^{'}$ simmetrica di $r$ rispetto alla retta $y = 1$ e calcola l'area della parte di piano delimitata da $r$ , $r^{'}$ e dall'asse $x$ .

Le equazioni della simmetria rispetto alla retta $y = 1$ sono

$s : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = x$	.
	$y^{'} =$ ________

Determiniamo la trasformazione inversa:

$s^{- 1} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x = x^{'}$	.
	$y =$ ________

e sostituiamo le coordinate nell'equazione di $r$ , per ottenere $r^{'}$ .

$r^{'}$ : ________ $= 2 x^{'} - 1 \to$

$r^{'}$ : $y = - 2 x + 3$ .

Determiniamo il punto di intersezione di $r$ e $r^{'}$ .

${\begin{cases} y = 2 x - 1 \\ y = - 2 x + 3 \end{cases} \to A (1; 1) .$

La retta $r$ interseca l'asse $x$ nel punto $B (\frac{1}{2}; 0)$ e la retta $r^{'}$ interseca l'asse $x$ nel punto $C (\frac{3}{2}; 0)$ .

L'area del triangolo $A B C$ è quindi ________.

Completamento chiuso

Dato il triangolo $A B C$ , con $A (4; 1)$ , $B (- 4; 2)$ e $C (2; 5)$ , scrivi le coordinate dei vertici del triangolo $A^{'} B^{'} C^{'}$ , ottenuto applicando in successione la traslazione $t$ di vettore $\vec{v} (2; - 3)$ e l'omotetia $o$ di centro $O$ e rapporto $k = \frac{3}{2}$ . Determina il rapporto tra le aree dei triangoli $A^{'} B^{'} C^{'}$ e $A B C$ .

$t : {\begin{cases} x^{'} = x + 2 \\ y^{'} = y - 3 \end{cases} e o : {\begin{cases} x^{'} = \frac{3}{2} x \\ y^{'} = \frac{3}{2} y \end{cases} \to$

________ $: {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = \frac{3}{2} x +$ ________	.
	$y^{'} = \frac{3}{2} y - \frac{9}{2}$

Si ha $A^{'} ($ ________ $; - 3)$ , $B^{'} (- 3; - \frac{3}{2})$ e $C^{'} (6; 3)$ .

Il rapporto tra le aree dei triangoli $A^{'} B^{'} C^{'}$ e $A B C$ è ________.

Completamento chiuso

Siano $o_{1}$ l'omotetia di equazioni ${\begin{cases} x^{'} = 2 x \\ y^{'} = 2 y \end{cases}$ e $o_{2}$ l'omotetia con centro nell'origine e rapporto $k = - \frac{1}{3}$ .
Determina l'equazione della retta $r^{'}$ , corrispondente della retta $r$ di equazione $x + 2 y - 1 = 0$ nella trasformazione $o = o_{1} \circ o_{2}$ .

$o_{2} : {\begin{cases} x^{'} = - \frac{1}{3} x \\ y^{'} = - \frac{1}{3} y \end{cases}$ e $o : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = - \frac{2}{3} x$	.
	$y^{'} =$ ________ $y$

Le equazioni della trasformazione inversa sono:

$o^{- 1} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x = - \frac{3}{2} x$	.
	$y =$ ________ $y$

La retta $r^{'}$ ha equazione

$- \frac{3}{2} x + 2 ($ ________ $) - 1 = 0 \to$

$r^{'} : 3 x + 6 y + 2 = 0$ .

Completamento chiuso

Dato il triangolo di vertici $A (- 2; - 3)$ , $B (4; - 3)$ e $C (2; 1)$ , verifica che il suo trasformato mediante l'omotetia di centro $O$ e rapporto $k = \frac{3}{2}$ ha i lati paralleli ai lati di $A B C$ .

$o : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________ $x$	$\to$
	$y^{'} = \frac{3}{2} y$

$A^{'} (- 3;$ ________ $)$ , $B^{'} (6;$ ________ $)$ , $C^{'} (3; \frac{3}{2})$ .

Le rette contenenti i lati $A B$ e $A^{'} B^{'}$ sono entrambe rette ________ all'asse $x$ , e pertanto risultano parallele.

$m_{A C} = 1$ e $m_{A^{'} C^{'}} = 1$ $\to$

le rette contenenti i lati $A C$ e $A^{'} C^{'}$ sono parallele.

$m_{B C} = 1$ e $m_{B^{'} C^{'}} = - 2$ $\to$

le rette contenenti i lati $B C$ e $B^{'} C^{'}$ sono parallele.

Completamento chiuso

Dimostra che, se un poligono ha perimetro

l

, il suo trasformato mediante un'omotetia di rapporto

4

ha perimetro

4 l

.

Consideriamo un poligono con

n

lati di lunghezza

l_{1}, l_{2}, \dots, l_{n} .

Per le proprietà dell'omotetia, si ha che il poligono trasformato avrà i lati di lunghezza
________

l_{1}

, ________

l_{2}

\dots

, ________

l_{n}

.
Di conseguenza il perimetro del poligono trasformato sarà

l^{'} = 4 l_{1} + 4 l_{2} + \dots + 4 l_{n} =

________

(l_{1} + l_{2} + \dots + l_{n}) =

________.

Completamento chiuso

Disegna il triangolo di vertici $A (1; 0)$ , $B (- 3; 0)$ e $C (- 2; 3)$ . Determina le coordinate del punto medio $E$ del lato $A C$ e del punto medio $F$ del lato $B C$ e verifica, utilizzando le proprietà dell'omotetia, che $E F$ è parallelo ad $A B$ e che $E F$ è la metà di $A B$ .

Si ha che $E (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ e $F (- \frac{5}{2}; \frac{3}{2})$ .

Consideriamo una generica omotetia di centro $C (x_{C}; y_{C})$ e rapporto $\frac{1}{2}$ :

$o : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = \frac{1}{2} (x$ ________ $x_{C}) + x_{C}$	.
	$y^{'} = \frac{1}{2} (y$ ________ $y_{C}) + y_{C}$

Imponiamo che $o (B) = E$ e $o (A) = F$ :

${\begin{cases} \end{cases}$	$- \frac{1}{2} = k (- 3 - x_{C}) + x_{C}$	.
	________ $= k (0 - y_{C}) + y_{C}$
	$- \frac{5}{2} = k ($ ________ $- x_{C}) + x_{C}$
	$\frac{3}{2} = k (0 - y_{C}) + y_{C}$

Ne segue che $k =$ ________ e $C (- \frac{4}{2}; 1)$ .

Quindi per le proprietà delle omotetie si ha che $E F$ è parallelo ad $A B$ e che $E F$ è la metà di $A B$ .

Completamento chiuso