FIP02BBbluG8 - Simmetrie centrali, simmetrie assiali, omotetie

Dati $A(-3;3)$ e $B(-3;-1)$, determina i loro simmetrici $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ rispetto all'origine, e verifica che il quadrilatero $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ è un parallelogramma.

Le equazioni della simmetria rispetto all'origine sono

Si ha quindi che
$A^{\prime }(3;-3)$ e $B^{\prime }($________; ________$)$.

Per dimostrare che $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ è un parallelogramma, dobbiamo dimostrare che
$AB$________$A^{\prime }{B}^{\prime }$ e $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Le rette contenenti i lati $AB$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sono rette parallele all'asse ________, e pertanto sono parallele tra loro.

Inoltre, si ha che $AB=|y_B-y_A|=4$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }=|y_{B^{\prime }}-y_{A^{\prime }}|=4$.

Questo dimostra che il quadrilatero è un parallelogramma.

Dati i due punti $A(0;3)$, $B(2;1)$ e $C(4;5)$, scrivi l'equazione della retta $r$ rispetto alla quale $A$ è il simmetrico di $B$.

Individua l'insieme dei punti del triangolo $ABC$ che sono uniti nella simmetria assiale rispetto a $r$.

Consideriamo una generica simmetria assiale rispetto a una retta $y=mx+q$:

$s:\{\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\prime }=\frac{(1-m^2)x+2my-2mq}{1+m^2}}\\ {\displaystyle y^{\prime }=\frac{2mx+(m^2-1)y+2q}{1+m^2}}\end{array}.$

Imponendo che $s(B)=A$ si ottiene

$m=$________$\vee$$q=1$.

Quindi, $r:y=x+1$.

Per la ricerca di punti uniti imponiamo $(x^{\prime };y^{\prime })=(x;y)$ all'interno della simmetria
$s:\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=y-1\\ y^{\prime }=x+1\end{array}.$

$\{\begin{array}{c}x=y-1\\ y=x+1\end{array}\to$ il sistema è ________ e ha come soluzioni i punti della retta $y=x+1$, ossia i punti di coordinate $(x;x+1)$.

Determiniamo l'intervallo a cui deve appartenere $x$ affinché il punto $(x;x+1)$. appartenga al triangolo $ABC$.

La retta $y=x+1$ interseca la retta passante per $A$ e $B$ nel punto ________ e passa per il punto $C$.

Si ha quindi che $1\le x\le 4$.

Data la retta di equazione

$r:y=2x-1$,

determina l'equazione della retta $r^{\prime }$ simmetrica di $r$ rispetto alla retta $y=1$ e calcola l'area della parte di piano delimitata da $r$, $r^{\prime }$ e dall'asse $x$.

Le equazioni della simmetria rispetto alla retta $y=1$ sono

Determiniamo la trasformazione inversa:

e sostituiamo le coordinate nell'equazione di $r$, per ottenere $r^{\prime }$.

$r^{\prime }$: ________$=2x^{\prime }-1\to$

$r^{\prime }$: $y=-2x+3$.

Determiniamo il punto di intersezione di $r$ e $r^{\prime }$.

$\{\begin{array}{c}y=2x-1\\ y=-2x+3\end{array}\to A(1;1).$

La retta $r$ interseca l'asse $x$ nel punto ${\displaystyle B(\frac{1}{2};0)}$ e la retta $r^{\prime }$ interseca l'asse $x$ nel punto ${\displaystyle C(\frac{3}{2};0)}$.

L'area del triangolo $ABC$ è quindi ________.

Considera le rette di equazioni

$r$:  $y=0$ e $t$: $y=-x$.

Quale tipo di trasformazione si ottiene componendo le simmetrie assiali $s_t\circ s_r$? Disegna il triangolo $A(0;0)$, $B(2;0)$ e $C(1;3)$ e il suo corrispondente con la trasformazione $s_t\circ s_r$.

$s_t\circ s_r$ è una rotazione di ${270}^o$.

Si ha che

$A^{\prime }(0;0)$, $B^{\prime }($________; ________$)$ e
$C^{\prime }($________; $-1)$.

Disegniamo i due triangoli.

Dato il triangolo $ABC$, con $A(4;1)$, $B(-4;2)$ e $C(2;5)$, scrivi le coordinate dei vertici del triangolo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ottenuto applicando in successione la traslazione $t$ di vettore $\overrightarrow{v}(2;-3)$ e l'omotetia $o$ di centro $O$ e rapporto $k={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Determina il rapporto tra le aree dei triangoli $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ e $ABC$.

$t:\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+2\\ y^{\prime }=y-3\end{array}\text{e}o:\{\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\prime }=\frac{3}{2}x}\\ {\displaystyle y^{\prime }=\frac{3}{2}y}\end{array}\to$

Si ha $A^{\prime }($________$;-3)$, ${\displaystyle B^{\prime }(-3;-\frac{3}{2})}$ e $C^{\prime }(6;3)$.

Il rapporto tra le aree dei triangoli $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ e $ABC$ è ________.

Dato il triangolo di vertici $A(-2;-3)$, $B(4;-3)$ e $C(2;1)$, verifica che il suo trasformato mediante l'omotetia di centro $O$ e rapporto $k={\displaystyle \frac{3}{2}}$ ha i lati paralleli ai lati di $ABC$.

$A^{\prime }(-3;$________$)$, $B^{\prime }(6;$________$)$, ${\displaystyle C^{\prime }(3;\frac{3}{2})}$.

Le rette contenenti i lati $AB$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sono entrambe rette ________ all'asse $x$, e pertanto risultano parallele.

$m_{AC}=1$ e $m_{A^{\prime }{C}^{\prime }}=1$$\to$

le rette contenenti i lati $AC$ e $A^{\prime }{C}^{\prime }$ sono parallele.

$m_{BC}=1$ e $m_{B^{\prime }{C}^{\prime }}=-2$$\to$

le rette contenenti i lati $BC$ e $B^{\prime }{C}^{\prime }$ sono parallele.

Siano $o_1$ l'omotetia di equazioni $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=2x\\ y^{\prime }=2y\end{array}$ e $o_2$ l'omotetia con centro nell'origine e rapporto $k={\displaystyle -\frac{1}{3}}$.
Determina l'equazione della retta $r^{\prime }$, corrispondente della retta $r$ di equazione $x+2y-1=0$ nella trasformazione $o=o_1\circ o_2$.

Le equazioni della trasformazione inversa sono:

La retta $r^{\prime }$ ha equazione

${\displaystyle -\frac{3}{2}x+2(}$________$)-1=0\to$

$r^{\prime }:3x+6y+2=0$.

Disegna il triangolo di vertici $A(1;0)$, $B(-3;0)$ e $C(-2;3)$. Determina le coordinate del punto medio $E$ del lato $AC$ e del punto medio $F$ del lato $BC$ e verifica, utilizzando le proprietà dell'omotetia, che $EF$ è parallelo ad $AB$ e che $EF$ è la metà di $AB$.

Si ha che ${\displaystyle E(-\frac{1}{2};\frac{3}{2})}$ e ${\displaystyle F(-\frac{5}{2};\frac{3}{2})}$.

Consideriamo una generica omotetia di centro $C(x_C;y_C)$ e rapporto ${\displaystyle \frac{1}{2}}$:

Imponiamo che $o(B)=E$ e $o(A)=F$:

Ne segue che $k=$________ e ${\displaystyle C(-\frac{4}{2};1)}$.

Quindi per le proprietà delle omotetie si ha che $EF$ è parallelo ad $AB$ e che $EF$ è la metà di $AB$.