Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Teorema di Talete e teorema della bisettrice

FIP02BBbluG7 - Teorema di Talete e teorema della bisettrice

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Nel trapezio

A B C D

in figura, il segmento

H K

è parallelo alle basi

A B

D C

e passa per il punto

O

, intersezione delle diagonali del trapezio. Se il triangolo

A O D

è isoscele,

A H = D O = 4

cm e

H D = 2

cm, qual è la misura dei segmenti

O B

O C

\bar{O B} = 10, \bar{O C} = 5

\bar{O B} = 8, \bar{O C} = 3

\bar{O B} = 6, \bar{O C} = 4

\bar{O B} = 8, \bar{O C} = 4

Scelta multipla

Dato un triangolo

A B C

, si tracci la bisettrice dal vertice

A

, che incontra il lato

B C

nel punto

D

.
Se

C D + C A = 12

, e

C D ≅ \frac{1}{3} B C

, quanto misura il perimetro del triangolo?

A: Meno di

32

32

36

D: Più di

36

E: Non si può determinare dai dati forniti.

Scelta multipla

Osserva la figura. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: Il perimetro di

A B C

3 A B

Q M ≅ A R

2 \bar{P M} \cdot \bar{A C} = \bar{A R} \cdot \bar{B C}

D: Se

A B = 8

cm e

B C = 6

cm,

A \hat{B} C

è retto.

Vero o falso

Nel trapezio isoscele $A B C D$ , il lato obliquo è i $\frac{2}{5}$ della base maggiore $A B$ e le diagonali si intersecano nel punto $O$ tale che $O C ≅ \frac{2}{7} A C$ . Dimostra che la base minore è congruente al lato obliquo.

Sia $A B = x \to A D ≅ B C = \frac{2}{5} x$ .

$O B ≅$ ________ $≅$ $A C -$ ________ $=$

$A C - \frac{2}{7} A C = \frac{5}{7} A C$ .

I triangoli $O D C$ e $A O B$ sono simili:

$O C : O B =$ ________ $: A B \to$

________ $= D C : x \to$

$D C =$	________ $A C \cdot x$	$= \frac{2}{5} x$ .
	$\frac{5}{7} A C$

Dunque, $D C ≅ A D$ .

Completamento chiuso

In figura è schematizzato il progetto di un pilastro strallato, ovvero ancorato al terreno in punti equidistanti tramite cavi detti stralli. I prolungamenti degli stralli

A E

B D

si incontrano nel punto

C

tale che la bisettrice di

A \hat{C} B

, nel triangolo

A B C

, interseca

A B

nel punto

H

di ancoraggio di uno strallo. Inoltre

B D ≅ 3 E C

A E ≅ 2 B D

D C = 20

m. Qual è la lunghezza degli stralli

A E

B D

?

Per il teorema della bisettrice si ha che

A H : H B =

________

: B C

.
Inoltre, si ha che

A H : H B =

________

: 2

\to

A C : B C = 3 : 2 \to

(

________

) : (B D + D C) = 3 : 2 \to

(2 \cdot 3 E C + E C) : (

________

)

= 3 : 2 \to

7 E C : (

________

) = 3 : 2 \to

3 E C : (3 E C + 20) = \frac{9}{7} : 2 \to

3 E C : 20 =

________

: (2 - \frac{9}{7}) \to

E C : 20 = \frac{3}{7} : \frac{5}{7} \to

E C = \frac{20 \cdot \frac{3}{7}}{\frac{5}{7}} = 12

B D = 3 \cdot 12 = 36

A E = 2 \cdot 36 = 72

Completamento chiuso

Aldo, Bruno, Carlo e Dario stanno giocando al parco. In un primo momento, si riuniscono tutti su una piccola pedana. Da lì, Aldo va verso nord per

1

m, Bruno va verso est per

2

m, Carlo va verso sud per

3

m. Di quanti metri deve andare Dario verso ovest, affinché le posizioni

A B C D

dei quattro amici formino un trapezio con base maggiore

C D

4

5

6

7

Scelta multipla

In un quadrilatero

A B C D

valgono le relazioni

\hat{A} + \hat{C} ≅ π

B C ≅ C D

A B ≅ 3 A D

.
Dimostra che la diagonale

B D

è divisa dalla diagonale

A C

in due parti, di cui una è tripla dell'altra.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

\hat{A} + \hat{C} ≅ π

;

B C ≅ C D

;

A B ≅ 3 A D

.
Tesi

D E : E B = 1 : 3

Dimostrazione
Possiamo inscrivere il quadrilatero in una ________ in cui i lati del quadrilatero sono ________.

C \hat{A} D ≅

________ perché angoli alla circonferenza che insistono su corde congruenti e dunque

A C

è ________ dell'angolo

\hat{A}

.
Quindi

D E :

________

= A D : A B

per il teorema della bisettrice.
Sostituiamo:

D E :

________

= A D : 3 A D

;
e semplifichiamo:

D E : E B = 1 :

________.

Completamento chiuso

In un triangolo

A B C

, i segmenti

C H

C K

, con

H

K

sul lato

A B

, suddividono

A \hat{C} B

in tre angoli cogruenti. Il perimetro di

C H K

è di

27

cm,

A H : H K : K B = 16 : 8 : 6

A B = 15

cm e

C H = 12

cm. Trova il perimetro di

A B C

A H : H K : K B = 16 : 8 : 6 \to

(A H + H K + K B) : A H = 30 :

________

\to

15 : A H = 30 :

________

\to

A H =

________

=

________ cm.

A H : H K : K B = 16 : 8 : 6 \to

(A H + H K + K B) : H K = 30 : 8 \to

15 : H K = 30 : 8 \to

H K = \frac{15 \cdot 8}{30} = 4

cm.

A H : H K : K B = 16 : 8 : 6 \to

(A H + H K + K B) :

________

= 30 : 6 \to

15 :

________

= 30 : 6 \to

A H = \frac{15 \cdot 6}{30} = 3

cm.

Poiché il perimetro del triangolo

C H K

27

cm, si ha che

C K = 27 - (12 + 4) = 11

cm.
Consideriamo il triangolo

H C B

: per il teorema della bisettrice si ha che

H K : K B =

________.

H K : K B = H C : C B \to

16 : 8 = 12 : C B \to

C B = \frac{8 \cdot 12}{16} = 9

cm.

Per il teorema della bisettrice, applicato al triangolo

A C K

, si ha che

A H : H K = A C : C K \to

8 : 4 = A C : 11 \to

A C = \frac{11 \cdot 8}{4} = 22

cm.

Il perimetro del triangolo

A B C

è dunque

22 + 15 + 9 = 46

cm.

Completamento chiuso

Nel parallelogramma

A B C D

in figura,

D F

è l'altezza relativa ad

A B

A F ≅ C E

e l'area di

D E F

è i

\frac{2}{5}

dell'area di

A B C D

. Qual è il rapporto fra l'area della parte colorata e quella di

A B C D

?

Indichiamo con

A_{D E F}

l'area del triangolo

D E F

, e con la stessa notazione indichiamo le aree degli altri poligoni.
Si ha che

A_{F B E D} = 2 \cdot A_{D E F} =

2 \cdot \frac{2}{5} A_{A B C D} = \frac{4}{5} A_{A B C D}

.

Quindi

A_{A D F} ≅ A_{E B C} =

________

= \frac{1}{10} A_{A B C D}

.

Sia

A F = x

D F = h

.

Si ha che

A_{A D F} = \frac{x h}{2}

A_{A B C D} = A B \cdot h \to

\frac{x h}{2} = \frac{1}{10} (A B \cdot h) \to

A B = 5 x \to F B =

________.

Chiamiamo

G F = y

.

I triangoli

A F G

e ________ sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente congruenti:

D G : G F = D E :

________

\to

D G : y = 4 x : x \to D G = 4 y

A_{D E G} = \frac{4 x \cdot 4 y}{2} = 8 x y

;

A_{A B C D} = 5 x \cdot 5 y = 25 x y

;

A_{bianca} =

________

+ 8 x y = \frac{17}{2} x y

A_{colorata} = 25 x y - \frac{17}{2} x y = \frac{33}{2} x y .

Dunque, il rapporto tra l'area colorata e quella di

A B C D

\frac{\frac{33}{2} x y}{25 x y} = \frac{33}{50}

Completamento chiuso