Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Equivalenza e area di triangoli e poligoni

FIP02BBbluG6 - Equivalenza e aree, teoremi di Euclide e di Pitagora

9 esercizi

Tipo di esercizi

Completamento chiuso,

Vero o falso

Libro

Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1

Capitolo

Fai il punto sulle competenze - Equivalenza e area di triangoli e poligoni

Libro

Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 2

Capitolo

Fai il punto sulle competenze - Equivalenza e area di triangoli e poligoni

Libro

Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume Algebra 1 con Statistica

Capitolo

Fai il punto sulle competenze - Equivalenza e area di triangoli e poligoni

Libro

Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume Algebra 2 con Probabilità

Capitolo

Fai il punto sulle competenze - Equivalenza e area di triangoli e poligoni

Libro

Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume Geometria

Capitolo

Fai il punto sulle competenze - Equivalenza e area di triangoli e poligoni

In un rettangolo

A B C D

prolunga i lati paralleli

A D

B C

di due segmenti congruenti

D E

C F

. Dimostra che

D B E + A C F ≐ C D E F

.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B C D

rettangolo;

D E ≅ C F

.
Tesi

D B E + A C F ≐ C D E F

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

C D E

D C F

:
•

C \hat{D} E ≅ D \hat{C} F ≅ \frac{π}{2}

;
•

C D

in comune;
•

D E ≅ C F

________.

C D E ≅ D C F

per il ________ criterio di congruenza fra i triangoli rettangoli.
In particolare

C E ≅ D F

.

Pertanto

C D E F

è un ________.

C D E F ≐

________ perché sono un rettangolo e un triangolo con base e altezza congruenti.
Inoltre,

A C F ≐

________ perché triangoli con base e altezza congruenti.
Quindi

C D E F ≐ A C F + D B E

Completamento chiuso

Indica con

M

N

K

i punti medi dei lati

C A

C B

A B

di un triangolo

A B C

e dimostra che l'area del quadrilatero

A K N M

è uguale alla metà dell'area di

A B C

.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A K ≅ K B

;

A M ≅ M C

;

B N ≅ N C

.
Tesi

A K N M ≐ \frac{1}{2} A B C

.

Dimostrazione
La diagonale

K M

del quadrilatero è ________ al lato

B C

per il teorema di ________ e vale

K M ≅

________.

Inoltre,

A K N M ≐ A K M + K M N

con

A K M

K M N

due triangoli con base ________ della base

B C

e altezza ________ dell'altezza relativa a

B C

.

Quindi

A K M N ≐

________

A B C +

________

A B C ≐

\frac{1}{2} A B C

Completamento chiuso

Considera un trapezio

A B C D

. Traccia una retta parallela alla base

C D

, che interseca i lati obliqui

A D

C B

, rispettivamente, nei punti

E

F

. Indica con

P

il punto di intersezione tra

A F

B E

e dimostra che i triangoli

A P E

P B F

sono equivalenti.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B C D

trapezio;

C D ∥ E F

.
Tesi

A P E ≐ P B F

.

Dimostrazione
La distanza di

E

A B

________ congruente alla distanza di

F

A B

.
Quindi

A B E

________

B A F

perché sono due triangoli con stessa base e altezze congruenti.

A P E ≐ A B E

________

A B P ≐

B A F

________

A B P ≐

________.

Completamento chiuso

Dimostra che, congiungendo i vertici di un trapezio con il punto medio di un'altezza, interno al trapezio, la somma dei due triangoli che contengono le basi è equivalente alla somma dei due triangoli che contengono i lati obliqui.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B C D

trapezio;

M E ≅ M F

.
Tesi

A B M + D C M ≐ A M D + B M C

.

Dimostrazione

A B M + D C M ≐

________ perché sono due triangoli con altezze congruenti ________ dell'altezza del trapezio e la somma delle loro basi è la somma delle basi del trapezio.

Quindi

A M D + B M C ≐

A B C D

________

(A B M

________

D C M) ≐

________.
Infine,

A B M + D C M ≐ A M D + B M C

Completamento chiuso

In un trapezio

A B C D

, la base maggiore

A B

, la base minore

C D

e l'altezza misurano, rispettivamente,

24

cm,

16

cm e

12

cm.

M

N

sono i punti medi, rispettivamente, di

A B

C D

.
a. Determina le aree dei triangoli

A N D

N B C

.
b. Verifica che i trapezi

A M N D

N M B C

sono equivalenti, indipendentemente dalle dimensioni del trapezio

A B C D

.

Disegniamo la figura.

a.

A N D ≐ N B C

perché triangoli con basi e altezze ________.
Quindi

A_{N B C} = A_{A N D} =

________

= 48

cm².

b.

A M + D N ≅

________

+ N C

per ipotesi.
Quindi

A M N D ≐ N M B C

perché sono ________ con altezze congruenti e somma di basi congruenti.

Completamento chiuso

Minami Torishima è un piccolo atollo giapponese disabitato nell'Oceano Pacifico occidentale e ha approssimativamente la forma del triangolo isoscele

A B C

in figura. Sull'isola è presente una piccola pista di atterraggio, indicata con il segmento

D E

, che misura

1, 3

km, parallelo ad

A B

. Il triangolo

C D E

è isoscele,

A B

misura

1, 9

km, la distanza del punto

C

dalla retta

D E

è di

1

km, e l'area della parte trapezoidale

A B E D

è circa il

33 %

dell'area totale dell'isola. Determina la distanza del punto

C

dalla retta

A B

.

Chiamiamo

K

la proiezione di

C

D E

H

la proiezione di

C

A B

.
Sia

x

la lunghezza del segmento

K H

.

Allora

A_{A B C}

=

________ e

A_{A B D E} = \frac{(1, 9 + 1, 3) x}{2}

.

Impostiamo l'equazione in

x

e risolviamo:

\frac{(1, 9 + 1, 3) x}{2} =

________

\cdot

\frac{1, 9 (1 + x)}{2} \to

320 x = 62, 7 + 62, 7 x \to

257, 3 x = 62, 7 \to x ≃ 0, 24

km.

Quindi la distanza di

C

A B

è di circa ________ km.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: Un triangolo rettangolo isoscele è equivalente a un quadrato che ha il lato congruente alla metà dell'ipotenusa del triangolo.

B: Un trapezio isoscele è diviso da una delle diagonali in due triangoli equivalenti.

C: Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha per base la media delle basi del trapezio e per altezza il doppio dell'altezza del trapezio.

D: Un esagono regolare è equivalente a un triangolo equilatero che ha per lato il doppio del lato dell'esagono e che è circoscritto alla stessa circonferenza.

Vero o falso

Il triangolo in figura è il disegno di un ciondolo composto da due materiali diversi: la parte superiore,

E D C

, è realizzata con un materiale con densità superficiale

d

, la parte inferiore,

A B D E

, è realizzata con un materiale con densità

d^{'} = \frac{1}{3} d

E D

è parallelo ad

A B

. Dimostra che, se

E

D

sono i punti medi dei lati

A C

B C

, la massa della parte inferiore è uguale alla massa della parte superiore.

E D ≅

________ per il teorema di Talete,
cioè

A B ≅

________.

Inoltre, sempre per il teorema di Talete, l'altezza di

C D E

relativa a

E D

è congruente ________ del trapezio

A B D E

.

Chiamiamo entrambe le altezze

h

.
Quindi

A_{C D E} = \frac{E D \cdot h}{2}

mentre

A_{A B D E} = \frac{(A B + E D) \cdot h}{2} =

________.

Il rapporto tra le aree del trapezio e del triangolo è dunque uguale a ________, l'inverso del rapporto tra le densità.
Quindi le due masse sono uguali.

Completamento chiuso

Per realizzare l'aquilone schematizzato in figura, Eugenio usa la carta di un rotolo che ha una massa complessiva di

450

g e dimensioni

1

\times

15

m.
Qual è la massa della carta utilizzata per l'aquilone se

A B = B C = 28

cm,

A D = C D = 45

cm e

B D =

53

cm?

Troviamo il semiperimetro di

A B D

p_{A B D} = \frac{28 + 45 + 53}{2} =

________ cm.

Utilizziamo la formula di Erone per calcolare l'area di

A B D

A_{A B D} = \sqrt{63 \cdot 35 \cdot 18 \cdot 10} = 630

cm².

Quindi

A_{A B C D} =

________ cm².

Il rotolo di carta ha una superficie pari a
________

\cdot 1500 =

________ cm².
Quindi

450 g

: ________ cm²

=

x g

: ________ cm²,
cioè

x = 3, 78 g

Completamento chiuso