Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Equivalenza e area di triangoli e poligoni

FIP02BBbluG6 - Equivalenza e aree, teoremi di Euclide e di Pitagora

9 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Vero o falso?

A: Un triangolo rettangolo isoscele è equivalente a un quadrato che ha il lato congruente alla metà dell'ipotenusa del triangolo.

B: Un trapezio isoscele è diviso da una delle diagonali in due triangoli equivalenti.

C: Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha per base la media delle basi del trapezio e per altezza il doppio dell'altezza del trapezio.

D: Un esagono regolare è equivalente a un triangolo equilatero che ha per lato il doppio del lato dell'esagono e che è circoscritto alla stessa circonferenza.

Vero o falso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
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Matematica

Indica con

M

N

K

i punti medi dei lati

C A

C B

A B

di un triangolo

A B C

e dimostra che l'area del quadrilatero

A K N M

è uguale alla metà dell'area di

A B C

.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A K ≅ K B

;

A M ≅ M C

;

B N ≅ N C

.
Tesi

A K N M ≐ \frac{1}{2} A B C

.

Dimostrazione
La diagonale

K M

del quadrilatero è ________ al lato

B C

per il teorema di ________ e vale

K M ≅

________.

Inoltre,

A K N M ≐ A K M + K M N

con

A K M

K M N

due triangoli con base ________ della base

B C

e altezza ________ dell'altezza relativa a

B C

.

Quindi

A K M N ≐

________

A B C +

________

A B C ≐

\frac{1}{2} A B C

Completamento chiuso

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Matematica

In un rettangolo

A B C D

prolunga i lati paralleli

A D

B C

di due segmenti congruenti

D E

C F

. Dimostra che

D B E + A C F ≐ C D E F

.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B C D

rettangolo;

D E ≅ C F

.
Tesi

D B E + A C F ≐ C D E F

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

C D E

D C F

:
•

C \hat{D} E ≅ D \hat{C} F ≅ \frac{π}{2}

;
•

C D

in comune;
•

D E ≅ C F

________.

C D E ≅ D C F

per il ________ criterio di congruenza fra i triangoli rettangoli.
In particolare

C E ≅ D F

.

Pertanto

C D E F

è un ________.

C D E F ≐

________ perché sono un rettangolo e un triangolo con base e altezza congruenti.
Inoltre,

A C F ≐

________ perché triangoli con base e altezza congruenti.
Quindi

C D E F ≐ A C F + D B E

Completamento chiuso

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Matematica

Considera un trapezio

A B C D

. Traccia una retta parallela alla base

C D

, che interseca i lati obliqui

A D

C B

, rispettivamente, nei punti

E

F

. Indica con

P

il punto di intersezione tra

A F

B E

e dimostra che i triangoli

A P E

P B F

sono equivalenti.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B C D

trapezio;

C D ∥ E F

.
Tesi

A P E ≐ P B F

.

Dimostrazione
La distanza di

E

A B

________ congruente alla distanza di

F

A B

.
Quindi

A B E

________

B A F

perché sono due triangoli con stessa base e altezze congruenti.

A P E ≐ A B E

________

A B P ≐

B A F

________

A B P ≐

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Dimostra che, congiungendo i vertici di un trapezio con il punto medio di un'altezza, interno al trapezio, la somma dei due triangoli che contengono le basi è equivalente alla somma dei due triangoli che contengono i lati obliqui.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B C D

trapezio;

M E ≅ M F

.
Tesi

A B M + D C M ≐ A M D + B M C

.

Dimostrazione

A B M + D C M ≐

________ perché sono due triangoli con altezze congruenti ________ dell'altezza del trapezio e la somma delle loro basi è la somma delle basi del trapezio.

Quindi

A M D + B M C ≐

A B C D

________

(A B M

________

D C M) ≐

________.
Infine,

A B M + D C M ≐ A M D + B M C

Completamento chiuso

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Matematica

In un trapezio

A B C D

, la base maggiore

A B

, la base minore

C D

e l'altezza misurano, rispettivamente,

24

cm,

16

cm e

12

cm.

M

N

sono i punti medi, rispettivamente, di

A B

C D

.
a. Determina le aree dei triangoli

A N D

N B C

.
b. Verifica che i trapezi

A M N D

N M B C

sono equivalenti, indipendentemente dalle dimensioni del trapezio

A B C D

.

Disegniamo la figura.

a.

A N D ≐ N B C

perché triangoli con basi e altezze ________.
Quindi

A_{N B C} = A_{A N D} =

________

= 48

cm².

b.

A M + D N ≅

________

+ N C

per ipotesi.
Quindi

A M N D ≐ N M B C

perché sono ________ con altezze congruenti e somma di basi congruenti.

Completamento chiuso

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Matematica

Minami Torishima è un piccolo atollo giapponese disabitato nell'Oceano Pacifico occidentale e ha approssimativamente la forma del triangolo isoscele

A B C

in figura. Sull'isola è presente una piccola pista di atterraggio, indicata con il segmento

D E

, che misura

1, 3

km, parallelo ad

A B

. Il triangolo

C D E

è isoscele,

A B

misura

1, 9

km, la distanza del punto

C

dalla retta

D E

è di

1

km, e l'area della parte trapezoidale

A B E D

è circa il

33 %

dell'area totale dell'isola. Determina la distanza del punto

C

dalla retta

A B

.

Chiamiamo

K

la proiezione di

C

D E

H

la proiezione di

C

A B

.
Sia

x

la lunghezza del segmento

K H

.

Allora

A_{A B C}

=

________ e

A_{A B D E} = \frac{(1, 9 + 1, 3) x}{2}

.

Impostiamo l'equazione in

x

e risolviamo:

\frac{(1, 9 + 1, 3) x}{2} =

________

\cdot

\frac{1, 9 (1 + x)}{2} \to

320 x = 62, 7 + 62, 7 x \to

257, 3 x = 62, 7 \to x ≃ 0, 24

km.

Quindi la distanza di

C

A B

è di circa ________ km.

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Matematica

Per realizzare l'aquilone schematizzato in figura, Eugenio usa la carta di un rotolo che ha una massa complessiva di

450

g e dimensioni

1

\times

15

m.
Qual è la massa della carta utilizzata per l'aquilone se

A B = B C = 28

cm,

A D = C D = 45

cm e

B D =

53

cm?

Troviamo il semiperimetro di

A B D

p_{A B D} = \frac{28 + 45 + 53}{2} =

________ cm.

Utilizziamo la formula di Erone per calcolare l'area di

A B D

A_{A B D} = \sqrt{63 \cdot 35 \cdot 18 \cdot 10} = 630

cm².

Quindi

A_{A B C D} =

________ cm².

Il rotolo di carta ha una superficie pari a
________

\cdot 1500 =

________ cm².
Quindi

450 g

: ________ cm²

=

x g

: ________ cm²,
cioè

x = 3, 78 g

Completamento chiuso

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Matematica

Il triangolo in figura è il disegno di un ciondolo composto da due materiali diversi: la parte superiore,

E D C

, è realizzata con un materiale con densità superficiale

d

, la parte inferiore,

A B D E

, è realizzata con un materiale con densità

d^{'} = \frac{1}{3} d

E D

è parallelo ad

A B

. Dimostra che, se

E

D

sono i punti medi dei lati

A C

B C

, la massa della parte inferiore è uguale alla massa della parte superiore.

E D ≅

________ per il teorema di Talete,
cioè

A B ≅

________.

Inoltre, sempre per il teorema di Talete, l'altezza di

C D E

relativa a

E D

è congruente ________ del trapezio

A B D E

.

Chiamiamo entrambe le altezze

h

.
Quindi

A_{C D E} = \frac{E D \cdot h}{2}

mentre

A_{A B D E} = \frac{(A B + E D) \cdot h}{2} =

________.

Il rapporto tra le aree del trapezio e del triangolo è dunque uguale a ________, l'inverso del rapporto tra le densità.
Quindi le due masse sono uguali.

Completamento chiuso

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