Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Circonferenza e cerchio, teoremi sulle corde

FIP02BBbluG5 - Circonferenza e cerchio, teoremi sulle corde

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Una circonferenza è suddivisa in

18

archi congruenti:

\overset{⏜}{P_{1} P_{2}}

\overset{⏜}{P_{2} P_{3}}

\dots

\overset{⏜}{P_{17} P_{18}}

\overset{⏜}{P_{18} P_{1}}

. Una corda lunga come il raggio ha per estremi

P_{1}

e uno degli altri

17

punti. Determina il secondo estremo della corda.

Sia

n \in N, 1 \leq n \leq 17

.

Si ha che

P_{n} \hat{O} P_{n + 1} = \frac{360^{\circ}}{18} =

________ e

P_{18} \hat{O} P_{1} = \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ}

.

Il triangolo che si viene a formare segliendo come estremi

P_{1}

O

P_{k}

è un triangolo ________, per cui si deve avere che

P_{1} \hat{O} P_{k} =

________.
Per questo si deve avere

k = 4

oppure

k =

________.

Completamento chiuso

In una circonferenza di centro

O

e raggio

25

cm, due corde parallele,

A B

C D

, distano tra loro

27

cm. Determina la lunghezza delle due corde sapendo che la lunghezza di una delle due è uguale ai

\frac{3}{2}

della sua distanza dal centro.

Sia

H

la proiezione di

O

sulla corda

A B

K

la proiezione di

O

sulla corda

C D

.
Si ha che

\bar{H K} = 27

cm.
Sia

\bar{H O} = x \to \bar{K O} =

________,

\bar{A B} = \frac{3}{2} x \to \bar{H B} = \frac{3}{4} x

.
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo

H O B

:
________

+ x^{2} = 25^{2} \to

x^{2} = 400 \to x = 20

.
Dunque,

\bar{A B} = 30

\bar{K O} =

________

= 7

.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo

K O D

, otteniamo

\bar{K D} =

________

= 24

.
Dunque

\bar{C D} = 48

Completamento chiuso

Detto

M

il punto medio di una corda

C D

di una circonferenza di centro

A

, considera sulla retta

C D

due punti

P

Q

esterni alla circonferenza ed equidistanti da

M

. Dimostra che

A P ≅ A Q

.

Ipotesi:

C M ≅ M D

;

P M ≅ M Q

.
Tesi:

A P ≅ A Q

.

Consideriamo i triangoli

A P M

A M Q

.
Essi sono triangoli rettangoli perché

A M

taglia a metà la corda

C D

e quindi risulta ________ a essa.
Inoltre, i due triangoli hanno il lato ________ in comune e

P M ≅ M Q

per ipotesi.
Quindi i due triangoli sono ________.
Ne segue che

A P ≅

________.

Completamento chiuso

Il circuito di Nardò è una pista circolare per prove ad alta velocità situata in Puglia. Un'auto si trova sul circuito e si muove di moto circolare uniforme lungo la circonferenza schematizzata in figura, dove

B D = 3192

m e

C H = 798

m.
a. Dimostra che i percorsi lungo gli archi

\overset{⏜}{A B}

\overset{⏜}{D E}

hanno la stessa lunghezza.
b. Calcola il raggio

r

della pista.
c. L'auto ha massa

m = 750

kg e velocità

v = 50

m/s. Calcola il modulo della forza centripeta

F_{c} = m \cdot \frac{v^{2}}{r}

a cui è soggetta.

a. Consideriamo i triangoli

D H O

H B O

.
Essi sono triangoli congruenti perché sono triangoli rettangoli per costruzione, e hanno il lato

H O

in comune e

D O ≅ B O

perché raggi.
Dunque,

D \hat{O} H ≅

________.
Da questo segue che

D \hat{O} E ≅

________ perché complementari di angoli congruenti.
Quindi

\overset{⏜}{A B} ≅ \overset{⏜}{D E}

.

b. Si ha che

H O = r - 798

e che

H B = \frac{3196}{2} = 1596

m.
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo

H B O

(r - 798)^{2} + 1596^{2} = r^{2} \to

r =

________.

c.

F_{c} = 750 \cdot \frac{50^{2}}{1995} =

________.

Completamento chiuso

Il segmento circolare

a

\frac{1}{4}

del cerchio di centro

O

e la superficie

b

\frac{1}{2}

della superficie di

c

.
L'angolo al centro corrispondente al settore circolare

d

è ampio

80^{\circ}

. Determina la frazione di cerchio relativa a ciascuna superficie colorata.

Osservando la figura, possiamo scrivere che

a + b + c =

________

\to

\frac{1}{4} C +

________

+ c =

________

\to

\frac{3}{2} c = \frac{1}{4} C \to c =

________

C

.
Quindi

b =

________

C

La frazione dei settori circolari è uguale ________ frazione degli angoli corrispondenti, quindi per

d

abbiamo che

\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} =

________, cioè

d =

________

C

{\hat{O}}_{e} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}

quindi per

e

abbiamo che

\frac{100^{\circ}}{360^{\circ}} =

________, cioè

e =

________

C

.

Abbiamo ottenuto quindi

a = \frac{1}{4} C

b =

________

C

c =

________

C

d =

________

C

e =

________

C

Completamento chiuso

Le corde

A B

C D

di una circonferenza di centro

O

si intersecano nel punto

E

, interno alla circonferenza. Chiamiamo

O H

O K

le distanze dal centro rispettivamente di

A B

C D

A B > C D

, allora

O H > O K

A B ≅ C D

, allora

A E D

B E C

sono isosceli.

A B ≅ C D

, allora la retta

E O

è bisettrice di due dei quattro angoli formati dalle due corde.

Vero o falso

In una circonferenza di centro

O

traccia due corde

A B

B C

congruenti tali che il settore circolare, compreso fra i raggi

A O

O C

e l'arco

\overset{⌢}{A B C}

sia

\frac{1}{3}

del cerchio. Se il raggio della circonferenza è di

4

cm, qual è il perimetro del quadrilatero

A B C O

?

Disegniamo la figura.

A \hat{O} C =

________ perché il settore circolare è

\frac{1}{3}

del cerchio. Inoltre, osserviamo che

A \hat{O} C = A \hat{O} B + C \hat{O} B

A \hat{O} B

________

C \hat{O} B

, perché ________ su corde congruenti.
Quindi

A \hat{O} B =

________

= C \hat{O} B

.

I triangoli

A O B

C O B

sono ________ perché

O A ≅ O B ≅ O C

sono tutti raggi e i loro angoli al vertice misurano ________.

Allora i triangoli

A O B

C O B

sono ________. In particolare

A B = B C = 4

cm.

Infine, il perimetro del quadrilatero

A B C O

è di ________ cm.

Completamento chiuso

Le corde $A B$ e $C D$ della circonferenza di centro $O$ sono parallele.

Dimostra che $A C ≅ D B$ .

Ipotesi

$A B ∥ C D$

Tesi

$A C ≅ D B$

Dimostrazione

Tracciamo il raggio $O E$ perpendicolare ad $A B$ e $C D$ che le interseca rispettivamente in $H$ e $K$ .

Consideriamo i triangoli rettangoli $A O H$ e $B O H$ .

Essi hanno:

$A H ≅$ ________ per il teorema delle corde tagliate perpendicolarmente dal raggio.
$O A ≅ O B$ perché ________

quindi $A O H ≅ B O H$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

In particolare $A \hat{O} H ≅ B \hat{O} H$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Consideriamo i triangoli rettangoli $C O K$ e $D O K$ .

Essi hanno:

$C K ≅ D K$ per il teorema delle corde tagliate perpendicolarmente dal raggio;
$O C ≅ O D$ perché raggi;

quindi $C O K ≅ D O K$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

In particolare ________ $≅ D \hat{O} K$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Infine, $A O C ≅ A O H$ ________ $C \hat{O} K ≅$ $B \hat{O} H$ ________ $D \hat{O} K ≅ B \hat{O} D$ .

Quindi $A C ≅ B D$ perché ad angoli ________ congruenti corrispondono corde ________.

Completamento chiuso