FIP02BBblu19 - Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

${\displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{1-2x}}+\sqrt{\frac{x}{1+2x}}>1}$

${\displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{1-2x}}+\sqrt{\frac{x}{1+2x}}>1\to }$

Impostiamo le condizioni di esistenza della disequazione:

Risolviamo le due disequazioni:

${\displaystyle \frac{x+1}{1-2x}\ge }$________$\to$________.

${\displaystyle \frac{x}{1+2x}\ge }$________${\displaystyle \to x<-\frac{1}{2}\vee x\ge 0}$.

Intersechiamo le soluzioni per determinare le condizioni di esistenza.

Le condizioni di esistenza sono ${\displaystyle -1\le x<-\frac{1}{2}\vee 0\le x<\frac{1}{2}}$.

Risolviamo la disequazione.

${\displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{1-2x}}+\sqrt{\frac{x}{1+2x}}>1\to }$

${\displaystyle \frac{x+1}{1-2x}+2\sqrt{\left(\frac{x+1}{1-2x}\right)\left(\frac{x}{1+2x}\right)}+\frac{x}{1+2x}>1\to }$

${\displaystyle 2\cdot \sqrt{\frac{x^2+x}{(1-2x)(1+2x)}}>}$${\displaystyle \frac{1-4x^2-(x+1)(1+2x)-x(1-2x)}{(1-2x)(1+2x)}\to }$

${\displaystyle 2\cdot \sqrt{\frac{x^2+x}{(1-2x)(1+2x)}}>\frac{-4x^2-4x}{(1-2x)(1+2x)}\to }$

${\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+x}{(1-2x)(1+2x)}}>\frac{-2x^2-2x}{(1-2x)(1+2x)}}$

Dopo alcuni passaggi algebrici, otteniamo le seguenti soluzioni

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle -1<x<-\frac{1}{2}\vee 0<x<\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle -1\le x<-\frac{1}{2}\vee 0\le x\le \frac{1}{2}}\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle x\le -1\vee -\frac{1}{2}<x\le 0\vee x>\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle -1<x<\frac{-1-\sqrt{3}}{4}\vee 0<x<\frac{-1+\sqrt{3}}{4}}\end{array}$

Il primo sistema ha come soluzioni ${\displaystyle -1<x<-\frac{1}{2}\vee 0<x<\frac{1}{2}}$, e il secondo sistema è impossibile.

Intersecando le soluzioni ottenute con le condizioni di esistenza otteniamo le soluzioni della disequazione:

${\displaystyle -1<x<-\frac{1}{2}\vee 0<x<\frac{1}{2}}$.

Risolvi il sistema di disequazioni:

$\{\begin{array}{l}\sqrt{x+2}\le 4-x\\ \sqrt{x^2-6x-7}+x\ge 6\end{array}.$

La prima disequazione equivale al sistema:

$\{\begin{array}{l}4-x>0\\ x+2\ge 0\\ x+2\le 16+x^2-8x\end{array}.$

Risolviamolo:

________.

L'insieme delle soluzioni della seconda disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

$\{\begin{array}{l}6-x<0\\ x^2-6x-7\ge 0\end{array}\vee$

Risolviamo i due sistemi:

________

Rappresentiamo le soluzioni delle due disequazioni nello schema grafico

Quindi il sistema

________

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt[3]{x-\sqrt{1-x^2}}<-1$

Eleviamo al cubo:

$x-\sqrt{1-x^2}<$________$\to$

$\sqrt{1-x^2}$________$x+1$.

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

Risolviamo i sistemi:

L'insieme delle soluzioni è ________.

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt{3x^2-5x+1}-x>1$

$\sqrt{3x^2-5x+1}-x>1\to$

$\sqrt{3x^2-5x+1}>x+1$.

La disequazione è equivalente ai due sistemi seguenti:

Risolviamo il primo sistema:

•   $x+1$________$0$$\to$$x$________$-1$;

•   $3x^2-5x+1\ge 0\to 3x^2-5x+1=0$

$\mathrm{\Delta }=25-12=13\to$$x_{1,2}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{13}}{6}\to }$

${\displaystyle x\le \frac{5-\sqrt{13}}{6}\vee x\ge \frac{5+\sqrt{13}}{6}.}$

Cerchiamo le soluzioni comuni delle due disequazioni.

La soluzione del primo sistema è $x<-1$.

Risolviamo il secondo sistema:

• $x+1$________$0$$\to$$x$________$-1$;
  
• $3x^2-5x+1>(x+1{)}^2\to$$3x^2-5x+1>x^2+2x+1\to$$2x^2-7x>0\to x(2x-7)>0\to$$x<0\vee x>\frac{7}{2}$.
  

Cerchiamo le soluzioni comuni delle due disequazioni.

La soluzione del secondo sistema è

$-1\le x<0\vee x>{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

________ le soluzioni dei due sistemi otteniamo la soluzione della disequazione da risolvere, che risulta ${\displaystyle x<0\vee x>{\displaystyle \frac{7}{2}}}$.

Scrivi le condizioni di esistenza della funzione:

$y={\displaystyle \frac{\sqrt{x-3}-2}{\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}}}$.

Le condizioni di esistenza sono rappresentate dal sistema:

Risolviamo:

$\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le -2\vee x\ge 2\\ x^2-4<x^2\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le -2\vee x\ge 2\\ \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}\to$

________.

Quindi le C.E. sono $x\ge 3$.

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{2}>x$

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

Risolviamo i sistemi:

L'insieme delle soluzioni è ________.

Determina le coordinate di un punto $P$ che abbia l'ordinata uguale al triplo dell'ascissa aumentato di $2$ e tale che disti dal punto $A(0;1)$ più di quanto il punto $A$ dista dal punto $B(1;3)$.

Sia $x$ l'ascissa del punto $P$.
Si ha che l'ordinata di tale punto è
$3x$________$2$$\to$$P(x;3x$________$2)$.

Calcoliamo la distanza tra $A$ e $P$:
$\overline{AP}=$________$=$________$=$$\sqrt{x^2+9x^2+6x+1}=\sqrt{10x^2+6x+1}$.

Calcoliamo la distanza tra $A$ e $B$:

$\overline{AB}=\sqrt{1^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$.

Si ha che $\overline{AP}>\overline{AB}$:

$\sqrt{10x^2+6x+1}>\sqrt{5}\to$

La prima disequazione è verificata $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

La seconda disequazione ha come soluzione ________.

Intersecando le soluzioni delle due disequazioni otteniamo la soluzione $x>\frac{5}{2}$.

Determina per quali numeri interi non nulli la somma tra la radice quadrata del numero e la radice quadrata del suo doppio è minore della radice quadrata del successivo del numero.

Sia $x$ un numero intero non nullo.

Dobbiamo determinare i valori di 𝑥 che soddisfano la disequazione seguente:

$\sqrt{x}+$________$<$________.

Imponiamo le condizioni di esistenza

Eleviamo al quadrato entrambi i membri della disequazione:

$\sqrt{x}+$________$<\sqrt{x+1}$$\to$

$x+2\sqrt{2x^2}+$________$x$$<x+1\to$

$2\sqrt{2x^2}<1-2x\to$

$\{\begin{array}{l}1-2x>0\\ 2x^2\ge 0\\ 4(2x^2)<(1-2x{)}^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle x<\frac{1}{2}}\\ \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ 4(2x^2)<(1-2x{)}^2\end{array}.$

Risolviamo la terza disequazione del sistema:

$4(2x^2)<(1-2x{)}^2\to$

$8x^2<1-4x+4x^2\to$

$4x^2+4x-1<0\to$

${\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{2}}{2}.}$

Intersechiamo le soluzioni delle tre disequazioni del sistema, e le condizioni di esistenza.

Le soluzioni della disequazione sono quindi $0\le x<{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{2}}{2}}$.

Quindi $x$________.

Dimostra che

$\sqrt{x^2-1}\ge \sqrt[3]{x^3-1}$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

Risolviamo i due sistemi:

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Considera il quadrato $ABCD$ di lato $2$. Senza usare le disuguaglianze triangolari, stabilisci se esiste un punto $P$ appartenente al segmento $AB$ tale che il perimetro del triangolo $DPC$ non misuri più di $6$.

Sia $\overline{AP}=x$, con ________.

$\overline{PB}=2-x$;

$\overline{PC}=\sqrt{(2-x{)}^2+2^2}=$

$\sqrt{4-4x+x^2+4}=$

$\sqrt{x^2-4x+8}$;

$\overline{PD}=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$.

Determiniamo se esiste $x$ tale che il perimetro del triangolo $DPC$ non misuri più di $6$.

$\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2+4}+2$________$6$$\to$

$\sqrt{(x^2-4x+8)(x^2+4)}\le 2-x^2+2x$

La disequazione è equivalente al seguente sistema:

che ha come soluzioni

$\{\begin{array}{l}1-\sqrt{3}\le x\le 1+\sqrt{3}\\ \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ \nexists x\in \mathbb{R}\end{array}.$

Il sistema risulta impossibile, poiché l'ultima disequazione è impossibile.

Quindi, non esiste un punto $P$ appartenente al segmento $AB$ tale che il perimetro del triangolo $DPC$ non misuri più di $6$.