Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Disequazioni di secondo grado intere

FIP02BBblu18 - Disequazioni di secondo grado intere

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Vero o falso?
Il trinomio

x^{2} + b x - c

, con

b

c

\in R

è positivo

\forall x \in R

b = 0

c < 0

è negativo per valori interni all'intervallo delle radici se

c = 0

b \neq 0

è positivo per valori interni all'intervallo delle radici se

c > 0

b \neq 0

è negativo se

b = 0

c = 4

Vero o falso

L'area della parte di quadrato colorata in figura, in cui le misure sono in cm, è:

minore di

17

cm² per

a < 4

maggiore o uguale a

23

cm² per

a \leq 5

mai minore di

2

cm² .

maggiore di

8

cm² per

0 < a < 2

Scelta multipla

Risolvi la seguente disequazione.

(x - π) (x + π) - 2 (π - x)^{2} + π (1 - 4 x) >

(2 - π \sqrt{3}) (π \sqrt{3} + 2)

(x - π) (x + π) - 2 (π - x)^{2} + π (1 - 4 x) >

(2 - π \sqrt{3}) (π \sqrt{3} + 2)

x^{2} - π^{2} - 2 (π^{2} + x^{2} - 2 π x) + π - 4 π x > 4 -

________

x^{2} - π^{2} - 2 π^{2} - 2 x^{2} + 4 π x + π - 4 π x > 4 - 3 π^{2}

- x^{2} + π > 4

x^{2}

________

- 4 + π

Passiamo all'equazione associata:

x^{2} = - 4 + π

.
L'equazione è impossibile. Quindi la parabola, che ha la concavità rivolta verso ________, non interseca l'asse

x

in alcun punto.
Non c'è quindi alcun punto che abbia ordinata ________, pertanto la disequazione è impossibile.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

\frac{2 \sqrt{3} x}{1 - \sqrt{3}} + (\sqrt{3} - x) (\sqrt{3} + x) \geq (\sqrt{3} - x)^{2}

\frac{2 \sqrt{3} x}{1 - \sqrt{3}} + (\sqrt{3} - x) (\sqrt{3} + x) \geq (\sqrt{3} - x)^{2}

\frac{2 \sqrt{3} x}{1 - \sqrt{3}} + 3 - x^{2} \geq 3 + x^{2} - 2 \sqrt{3} x

\frac{2 \sqrt{3} x}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})} - 2 x^{2} + 2 \sqrt{3} x \geq 0

\frac{2 \sqrt{3} x + 6 x}{1 - 3} - 2 x^{2} + 2 \sqrt{3} x \geq 0

\sqrt{3} x + 3 x + 2 x^{2} - 2 \sqrt{3} x

________

0

2 x^{2} + 3 x - \sqrt{3} x \leq 0

x (2 x + 3 - \sqrt{3}) \leq 0

Passiamo all'equazione associata:

x (2 x + 3 - \sqrt{3}) = 0

.
L'equazione ha come soluzioni

x = 0

x = \frac{\sqrt{3} - 3}{2}

.
Poiché cerchiamo i valori di

x

per cui

2 x^{2} + 3 x - \sqrt{3} x

è ________, dobbiamo considerare valori ________
all'intervallo delle radici trovate.
Quindi la disequazione è verificata per:
________.

Completamento chiuso

Pinocchio cammina per la strada tenendo in mano un sacchetto di monete tutte uguali, quando incontra il gatto e la volpe. Il gatto dice: «Dammi il sacchetto di monete: io ne tengo due e ti restituisco

10

volte le restanti!». La volpe ribatte: «Dammi il sacchetto e ti ridarò tanti sacchetti pieni di monete uguali al tuo quante sono le monete che contiene!». Pinocchio sa fare i calcoli e accetta la proposta del gatto valutandola più favorevole. Quante potevano essere le monete dentro al sacchetto di Pinocchio?

Chiamiamo

x

il numero di monete dentro il sacchetto di Pinocchio.
Accettando la proposta del gatto, Pinocchio si ritroverebbe con________ monete.
Accettando la proposta della volpe invece rimarrebbe con

x \cdot x = x^{2}

monete.
Essendo più vantaggiosa la proposta del gatto possiamo scrivere

10 (x - 2)

________

x \cdot x

.
Risolviamo la disequazione:

- x^{2} + 10 x - 20 > 0 \to x^{2} - 10 x + 20 < 0

;

\frac{Δ}{4} = 25 - 20 \to

x_{1} = 5 - \sqrt{5}

x_{2} = 5 + \sqrt{5}

.
La disequazione è quindi verificata nell'intervallo
________.
Poiché le monete nel sacchetto sono presenti in numero intero, le possibilità sono:

3

4

5

6

7

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

x (x - 2)^{2} - (x + 2)^{3} + 4 \geq (- x - 2) (x + 2)

Eliminiamo le parentesi:

x^{3} - 4 x^{2} + 4 x +

________

+ 4

\geq

________.
Semplifichiamo:
________

\leq 0

.
Le soluzioni dell'equazione associata sono:

x = - \frac{4}{9}

x =

________.
Le soluzioni della disequazione sono:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

\frac{4}{5} (x - 1) (x + 1) (x - 2) - (x - 1)^{3} - 2 < \frac{17 - x^{3}}{5} - x

Eliminiamo le parentesi e i denominatori.

\frac{4}{5} (x^{2} - 1) (x - 2) +

________

- 2

<

\frac{17 - x^{3}}{5} - x

4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x +

________

- 5 x^{3} + 15 x^{2} - 15 x -

________

<

17 - x^{3} - 5 x .

Portiamo ogni termine al primo membro e ordiniamo il polinomio:
________

< 0.

Le soluzioni dell'equazione associata sono:

x =

________.
Le soluzioni della disequazione sono:
________.

Completamento chiuso

Disegna le due parabole di equazioni

f (x) = x^{2} - 9 x + 18

g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x

.
Determina algebricamente e graficamente per quali valori di

x

si ha:
a.

f (x) \geq 0

;
b.

g (x) < \frac{5}{2}

;
c.

g (x) \leq f (x)

.

Disegniamo le due parabole come in figura.

a. Risolviamo algebricamente.

x^{2} - 9 x + 18 \geq 0

Δ =

________

- 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 > 0

x =

________

\to

x_{1} = 6 \lor x_{2} = 3

.
La soluzione della disequazione quindi è
________.
Risolviamo graficamente.
Dal grafico si osserva che come la parabola

f (x)

sia positiva per:

x \leq 3 \lor x \geq 6

.

b. Risolviamo algebricamente.

- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x < \frac{5}{2}

- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{2} < 0

\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{5}{2} > 0

x^{2} - 6 x + 5 > 0

\frac{Δ}{4} = (- 3)^{2} - 1 \cdot 5 = 9 - 5 = 4

x = 3 \pm 2 \to x_{1} = 5 \lor x_{2} = 1

.
La soluzione della disequazione è quindi
________
Risolviamo graficamente.
Le ascisse dei punti della parabola

g (x)

che hanno ordinata

\frac{5}{2}

sono

x_{1} = 1

x_{2} = 5

. Dato che ci interessano i punti della parabola con ordinata ________ di

\frac{5}{2}

, la soluzione della disequazione è ________.

c. Risolviamo algebricamente.

- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x \leq x^{2} - 9 x + 18

- x^{2} + 6 x \leq 2 x^{2} - 18 x + 36

- 3 x^{2} + 24 x - 36 \leq 0

x^{2} - 8 x + 12 \geq 0

\frac{Δ}{4} = (- 4)^{2} - 12 = 4

x = 4 \pm 2 \to x_{1} = 6 \lor x_{2} = 2

.
Quindi la disequazione ha come soluzione
________.
Risolviamo graficamente.
Si deve cercare per quali valori di

x

l'ordinata

g (x)

è minore o uguale a

f (x)

. Dal grafico si osserva che ciò che accade per

x \leq 2 \lor x \geq 6

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione nell'incognita

x

discutendo al variare del parametro in

R

a x^{2} - 2 x + 2 - a \leq 0

La disequazione è nella forma

A x^{2} + B x + C \leq 0

. Studiamo il caso in cui il coefficiente di

x^{2}

si annulla: se

a = 0

, la disequazione diventa:
________

\to x \geq 1.

Se invece

a \neq 0

, troviamo le soluzioni dell'equazione associata.

a x^{2} - 2 x + (2 - a) = 0

x_{1} = \frac{2 - a}{a}

x_{2} =

________.
Per capire quale delle due radici è più piccola, studiamo la disequazione:

\frac{2 - a}{a} \leq 1

________

\leq 0

\to

________.
Discutiamo le soluzioni:
• se

a < 0

, le soluzioni sono:
________;
• se

a = 0

, le soluzioni sono:

x \geq 1

;
• se

0 < a < 1

, le soluzioni sono:
________;
• se

a = 1

, la disequazione è verificata
________;
• se

a > 1

, le soluzioni sono:
________.

Completamento chiuso

Durante una competizione sportiva, due motoscafi che procedono parallelamente nello stesso verso oltrepassano una boa nello stesso istante

t = 0

s: il primo, che viaggiava a una velocità di

14

m/s, accelera con un'accelerazione costante di

0, 6

m/s²; il secondo continua a viaggiare a una velocità costante di

16

m/s. Supponi che, dall'istante

t = 0

s in poi, i due motoscafi proseguano rispettivamente con moto rettilineo uniformemente accelerato e con moto rettilineo uniforme.
a. Scrivi le leggi orarie di ciascuno dei due moti, che descrivono lo spazio percorso

s

, in metri, in funzione del tempo

t

, in secondi, e rappresentale graficamente.
b. In quale intervallo di tempo il secondo motoscafo è in testa?

a.
L'accelerazione del primo motoscafo è

0, 6

m/s² =

\frac{3}{5}

m/s².
La legge oraria di un moto rettilineo uniformemente accelerato è

s = s_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

.
Quindi la legge oraria del primo motoscafo è

s =

________.
Il secondo motoscafo compie un moto rettilineo uniforme, quindi la sua legge oraria sarà

s = 16 t

.
Rappresentiamo in un piano cartesiano le due leggi orarie, ponendo la posizione

s

nell'asse delle ________ e il tempo

t

nell'asse delle ________.

b.
Il secondo motoscafo è in testa se

14 t + \frac{3}{10} t^{2}

________

16 t

.
Risolviamo la disequazione.

\frac{3}{10} t^{2} + 14 t - 16 t < 0

3 t^{2} - 20 t < 0

t (3 t - 20) < 0 \to

________.
Quindi il secondo motoscafo è in testa nei primi

\frac{20}{3} s ≃ 6, 67 s

Completamento chiuso

Dimostra che ogni numero naturale è tale che, sommando il suo quadrato al suo doppio, si ottiene una quantità che non supera il triplo prodotto fra il numero stesso e il suo successivo.
La proprietà è valida anche per i numeri interi?

Chiamiamo

x

un generico numero naturale.
Dobbiamo dimostrare che vale:

x^{2} + 2 x

________________.
Risolviamo la disequazione.

x^{2} + 2 x \leq 3 x^{2} + 3 x

- 2 x^{2} - x \leq 0

2 x^{2} + x

________

0

x (2 x + 1) \geq 0

\to

________.
L'intervallo trovato include sia i numeri naturali che tutti i numeri interi, quindi la proprietà è valida anche per i numeri interi.

Completamento chiuso