Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Problemi con la parabola

FIP02BBblu17 - Problemi con la parabola

8 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Il getto d'acqua di una fontana esce in direzione orizzontale da un'altezza di

32

cm rispetto al livello dell'acqua nella vasca. Quando l'acqua arriva

20

cm al di sotto del foro di uscita, il getto si è spostato orizzontalmente di

4, 0

cm. Trova l'equazione della traiettoria parabolica nel sistema di riferimento indicato in figura e determina quale distanza orizzontale ha percorso il getto quando arriva nella vasca.

L'equazione della traiettoria parabolica è:

y =

________.

Il getto quando arriva nella vasca ha percorso ________ cm.

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Matematica

La somma di due numeri razionali è uguale a

20

. Determina tali numeri, sapendo che la somma tra il quadrato del primo e il doppio del quadrato del secondo è la minima possibile.

Siano

x

n

due numeri razionali.
Abbiamo che:

x + n = 20 \to n = - x + 20

e che la somma

y = x^{2} +

________
è la minima possibile.
Sostituiamo e troviamo il minimo:

y = x^{2} + 2 (- x + 20)^{2} =

________

x^{2} - 80 x + 800

.
Il minimo è raggiunto nell'ascissa del vertice:

x =

________.
Abbiamo quindi che i due numeri razionali sono

\frac{40}{3}

e ________.

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Matematica

Il triangolo

A B C

è rettangolo isoscele, con i cateti che misurano

4

cm. A partire dai vertici

B

C

si costruiscono due triangoli rettangoli i cui cateti misurano

x

come in figura.
a. Se i due triangoli gialli non possono sovrapporsi, per quale valore di

x

l'area del poligono azzurro è minima? Che poligono diventa in questo caso?
b. Per quale valore di

x

l'area del poligono azzurro è uguale all'area di un rettangolo alto

1

cm con la base che misura

5 + 2 x

?

a. L'area del poligono azzurro è minima per

x =

________ cm, in questo caso il poligono è un ________.

b.

8 -

________

= 5 + 2 x \to

x^{2} + 2 x - 3 = 0 \to x = - 3, x = 1

.
Le due aree sono uguali per

x =

________.

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Matematica

In un rombo, la somma delle lunghezze delle diagonali vale $16$ cm e una diagonale misura $(x - 3)$ cm. Indica quali valori può assumere $x$ ed esprimi l'area del rombo $A (x)$ in funzione di $x$ . Per quali valori di $x$ l'area vale $\frac{15}{2}$ ?

L'area del rombo in funzione di

$x \in [3;$ ________ $]$ è:

$A (x) =$	$(x - 3) (16 - x$ ________ $3)$	$=$
	$2$

$\frac{(x - 3) (- x + 19)}{2} = \frac{- x^{2} + 22 x - 57}{2} =$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 11 x - \frac{57}{2}$ .

L'area vale $\frac{15}{2}$ per:

$- \frac{1}{2} x^{2} + 11 x - \frac{57}{2} =$ ________ $\to$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 11 x - \frac{72}{2} = 0 \to$

$x =$ ________, $x = 18$ .

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Matematica

Il grafico rappresenta la velocità in funzione del tempo per un corpo che si muove di moto rettilineo, la sua posizione iniziale è

s (0) = 2, 0

m.
a. Scrivi la legge oraria.
b. Determina l'istante in cui il corpo si trova alla massima distanza dalla posizione iniziale.

a.

v (t) =

-

________

t + 10 \to

s (t) = - 5 t^{2} + 10 t +

________ con ________.

b. Il corpo si trova alla massima distanza all'istante

t =

________ s.

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Matematica

Un gelataio vende mediamente ogni domenica circa

250

gelati al prezzo di

2

€ l'uno. A causa di maggiori costi di produzione, deve aumentare il prezzo del gelato. Indica con

x

l'aumento, in centesimi di euro, del prezzo di vendita di un gelato: si prevede che ogni aumento di

0, 01

€ provochi una diminuizione nella vendita di un gelato.
a. Determina l'espressione che indica quanti gelati prevede di vendere il gelataio con un aumento di

x

.
b. Qual è il prezzo per gelato che rende massimo il ricavo e quanto vale il ricavo massimo?
c. Quanti gelati si prevede di vendere al prezzo che rende massimo il ricavo?

a.

G (x) = 250

________

100 x =

50 (5 - 2 x)

.

b.

R (x) = (2

________

x) (5 - 2 x) 50 =

50 (- 2 x^{2} + x + 10)

Il massimo si ha in

x =

________.
Il prezzo che rende massimo il ricavo è di

2, 25

€.
Abbiamo quindi che il ricavo massimo è di ________ €.

c. Si prevede di vendere

G (0, 25) =

________ gelati.

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Matematica

Una scatola a forma di prisma retto ha per base un triangolo equilatero il cui lato, in cm, misura

x

. Sai che la scatola ha altezza

4

cm.
a. Trova il volume

V (x)

in funzione di

x

.
b. Quanto vale

x

, se il volume è pari a

12

cm³?

a. L'area di base è:

A (x) = \frac{1}{2} (x \cdot

________

x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}

.
Abbiamo quindi che il volume è:

V (x) =

________

\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} = x^{2} \sqrt{3}

.

b.

x^{2} = \frac{12}{\sqrt{3}} =

\to

x = 2 \sqrt[4]{3}

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Matematica

In una fattoria didattica si vogliono recintare due zone di forma rettangolare, con un lato in comune e la stessa area, per radunare i cavalli da una parte e le mucche dall'altra. In totale si hanno a disposizione

3

km di recizione. Determina i lati in modo che l'area recintata sia la massima possibile.

Indichiamo con

x

il lato in comune e con

y

l'altro lato.
Abbiamo che:

2 y +

________

= 3

\to

y = \frac{1}{2} (3 - 3 x)

.
L'area è quindi

A (x) = x \cdot \frac{1}{2} (3 - 3 x) =

- \frac{3}{2} x^{2} +

________.
L'area massima si ha per

x =

________.
Abbiamo quindi che i lati sono

0, 5

km e ________ km.

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