Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Problemi con equazioni di secondo grado intere

FIP02BBblu16 - Problemi con equazioni di secondo grado intere

10 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di

5

quella delle decine e la somma dei quadrati delle cifre è uguale al precedente del doppio del numero stesso. Qual è il numero?

Sia

x

la cifra delle unità;

x

________

5

quella delle decine.
Il numero cercato è quindi

10 (x

________

5) + x =

________

x

________

50

.
Scriviamo

x^{2}

________

(x

________

5)^{2} =

2 (11 x

________

50)

________

1

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} + x^{2}

________

10 x + 25 = 22 x -

________

x^{2} - 16 x + 63 = 0

(x

________

9) (x

________

7) = 0

x = 9 \lor x = 7

.
Se la cifra delle unità è

9

, quella delle decine è ________.
Se invece è

7

, quella delle decine è ________.
I numeri cercati sono quindi due,

49

27

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Un terreno, del valore iniziale di

24 000

€, viene scontato di una percentuale

x

per ogni anno in cui rimane invenduto. Dopo due anni, il suo prezzo è sceso a

18 585, 60

€. Quanto vale

x

, la percentuale?

x

è la percentuale di sconto; ________ è la percentuale che corrisponde al valore scontato.
Scriviamo quindi

24 000

(

________

)^{2}

= 18 585, 6

.
Semplifichiamo e risolviamo:

24 000 (1 - 2 x + x^{2}) = 18 585, 6

24 000 x^{2} - 48 000 x

________

5414, 4 = 0

;
dividiamo tutto per

\frac{192}{5}

625 x^{2} - 1250 x

________

141 = 0

\frac{Δ}{4} = 390 625

________

88 125 = 302 500 \to

x_{1, 2} = \frac{625 \pm 550}{625}

x_{1} = 625, 88 x_{2} = 0, 12

Dal contesto ________ quindi l'unico valore accettabile è ________, cioè il ________.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Alice ha il doppio degli anni di Valerio, che ha il doppio degli anni di Federica. Fra un anno il prodotto delle loro tre età aumenterà di

386

rispetto ad oggi. Quanti anni ha oggi Alice?

Indichiamo con

x

gli anni di Alice e

y

gli anni di Federica.
Allora possiamo scrivere:
•

x =

________;
•

(x + 1)

(

________

)

(y + 1) =

________.

Mettiamo le due equazioni a sistema e risolviamo.

{\begin{matrix} x = 4 y \\ (x + 1) (2 y + 1) (y + 1) = 2 x y^{2} + 386 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x = 4 y \\ (4 y + 1) (2 y + 1) (y + 1) = 8 y^{3} + 386 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x = 4 y \\ 8 y^{2} + 4 y^{2} + 4 y + 2 y^{2} + 2 y + y + 1 = 386 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x = 4 y \\ 14 y^{2} + 7 y - 385 = 0 \end{matrix} \to

y_{1, 2} =

________

\to

y_{1} = 5, y_{2} = \frac{- 154}{28}

.
Scartiamo

y_{2}

in quanto negativa e non può rappresentare l'età.

{\begin{matrix} x = 4 \cdot 5 \\ y = 5 \end{matrix} \to x = 20.

Alice ha

20

anni.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Un televisore ha uno schermo di formato

16 : 9

circondato da un borgo largo

1

cm su tutti i quattro lati.
Sapendo che l'intera superficie del televisore occupa un'area di

3854

cm², determina l'area occupata dal solo schermo.
Ricorda: formato schermo = lunghezza : altezza

Indichiamo con

x

y

rispettivamente la lunghezza e l'altezza del solo schermo. Allora possiamo scrivere:
• ________;
• ________

= 3854

.
Poniamo a sistema le due equazioni e risolviamo.

{\begin{matrix} 9 x = 16 y \\ (x + 2) (y + 2) = 3584 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x = \frac{16}{9} y \\ (\frac{16}{9} y + 2) (y + 2) = 3854 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x = \frac{16}{9} y \\ 16 y^{2} + 32 y + 18 y + 36 = 34686 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x = \frac{16}{9} y \\ 16 y^{2} + 50 y - 34650 = 0 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x = \frac{16}{9} y \\ 8 y^{2} + 25 y - 17325 = 0 \end{matrix} \to

y_{1, 2} =

________

\to

y_{1} = 45, y_{2} = - \frac{770}{16}

.
Scartiamo

y_{2}

perché negativa e non può rappresentare un'altezza.

{\begin{matrix} x = \frac{16}{9} \cdot 45 \\ y = 45 \end{matrix} \to {\begin{matrix} x = 80 \\ y = 45 \end{matrix}

L'area del solo schermo è quindi

80 \cdot 45 = 3600

cm².

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Il lavoro di un titolo azionario martedì è cresciuto del

p %

rispetto a lunedì e mercoledì rispetto a martedì di nuovo del

p %

. Se lunedì valeva

40

€ e mercoledì

44, 10

€, quanto vale

p

?

Il valore del titolo azionario martedì è

40 +

________.
Mentre il suo valore mercoledì è

40 + p % 40 +

________

= 44, 10

.
Risolviamo l'equazione.

40 + p % 40 + p % 40 + p^{2} % 40 - 44, 10 = 0

40 p^{2} % + 80 p % - 4, 10 = 0

40 p^{2} % + 80 p^{2} % -

________

= 0

400 p^{2} % + 800 p^{2} % - 41 = 0 \to

p_{1, 2} % = \frac{- 800 \pm 840}{800} \to

p_{1} % = \frac{1}{20}, p_{2} % = \frac{- 161}{80}

Scartiamo

p_{2} %

in quanto il titolo azionario è cresciuto, non diminuito. Pertanto il suo valore deve essere positivo.
Quindi

p % = \frac{1}{20} = 5 % \to p = 5

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Ambra vuole progettare una finestra della forma riportata a fianco: un rettangolo sormontato da un semicerchio. La finestra deve essere alta complessivamente $1, 4$ m e avere un'area di $1$ m². Determina la larghezza della finestra, approssimando il risultato al centimetro.

Indichiamo $x$ e $y$ rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo.

Allora deve valere:

• $1, 4 = y +$ ________;

• $1 = x y +$ ________.

Poniamo le due equazioni a sistema e risolviamo.

${\begin{matrix} 1, 4 = y + \frac{x}{2} \\ 1 = x y + {(\frac{x}{2})}^{2} \cdot \frac{π}{2} \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} y = \frac{14}{10} - \frac{x}{2} \\ 1 = x (\frac{14}{10} - \frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{π}{2} \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} y = \frac{14}{10} - \frac{x}{2} \\ 1 = x (\frac{14 - 5 x}{10}) + \frac{x^{2} π}{8} \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} y = \frac{14}{10} - \frac{x}{2} \\ x^{2} (5 π - 20) + 56 x - 40 = 0 \end{matrix} \to$

$x_{1, 2} =$	$- 28 \pm \sqrt{784 + 40 (5 π - 20)}$	.
	________

Scartiamo la soluzione negativa.

La soluzione accettabile è $x ≃ 0, 758$ m, dove il risultato è stato approssimato in centesimi. Quindi la larghezza della finestra sarà ________ cm.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Per il secondo principio della dinamica, un corpo di massa

m

si muove con accelerazione

a

se è soggetto a una forza risultante

F = m a

. Su un corpo di massa

m = 2

kg agiscono due forze tra loro perpendicolari e i valori delle loro intensità differiscono di

2 N

. Il corpo si muove con accelerazione di modulo

a = \sqrt{5}

m/s². Calcola l'intensità delle due forze.

Chiamiamo

x

la forza di intensità minore. Allora vale:
________

= 2 \sqrt{5}

.
Risolviamo l'equazione.

x^{2} + (x + 2)^{2} =

________

x^{2} + x^{2} + 4 + 4 x - 20 = 0

2 x^{2} + 4 x - 16 = 0

x^{2} + 2 x - 8 = 0

\frac{Δ}{4} = 1 +

________

\to

x_{1, 2} = - 1 \pm 3 \to x_{1} = - 4, x_{2} = 2.

Scartiamo la prima soluzione, perché l'intensità di una forza non può essere negativa. Quindi le forze hanno intensità

2 N

4 N

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Il rettangolo

A B C D

in figura è composto da due poligoni congruenti, colorati di verde e di giallo. Ciascuno dei due poligoni ha due angoli retti e i punti

D

E

F

B

sono allineati. Utilizzando le lunghezze in centimetri indicate in figura, calcola l'area di ciascuno dei due poligoni.

Consideriamo il triangolo

D B C

.
I punti

D

E

F

B

, essendo allineati, appartengono tutti alla base

D B

del triangolo.
Per le simmetrie della figura e le informazioni date, possiamo scrivere

D E ≅ F B

.
Chiamiamo

x = \bar{D E}

.
Allora vale

\bar{D B} = 7 +

________.
Applichiamo il ________ teorema di Euclide al triangolo rettangolo

D B C

7 +

________

: 12 = 12 : x \to

(7 + x) x = 12^{2} .

Risolviamo l'equazione.

x^{2} + 7 x - 144 = 0 \to

x_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 15}{2} \to x_{1} = 9, x_{2} = - 16.

Scartiamo la seconda soluzione in quanto negativa.
La base

D B

è quindi lunga

7 + 2 x =

________ cm.
Il triangolo

D B C

è equivalente al poligono verde (o giallo). Pertanto, l'area richiesta è

A = \frac{25 \cdot 12}{2} = 150

cm².

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nel triangolo

A B C

a fianco, gli angoli indicati sono congruenti e le lunghezze , in centimetri, dei segmenti

A D

D B

A C

, in quest'ordine, sono tre numeri interi consecutivi. Calcola l'area del triangolo

A B C

.

Chiamiamo

x

la lunghezza di

A D

, allora

\bar{D B} = x + 1

\bar{A C} =

________.
I triangoli

A D C

A B C

sono isosceli perché hanno gli angoli alla base congruenti. Per cui possiamo anche scrivere

\bar{C D} =

________ e

\bar{B C} =

________.
Inoltre

A D C

A B C

sono triangoli simili, in quanto hanno gli angoli congruenti a due a due. In particolare infatti vale

A \hat{D} C ≅ A \hat{C} B

in quanto angoli supplementari di angoli congruenti.
Per la similitudine tra

A D C

A B C

possiamo scrivere:
________

: (x + 2) = (x + 2) : x \to

(2 x + 1) x = (x + 2)^{2}

.
Risolviamo l'equazione.

x^{2} - 3 x - 4 = 0 \to

x_{1, 2} = \frac{3 \pm 5}{2} \to x_{1} = 4, x_{2} = - 2.

Scartiamo la seconda soluzione in quanto negativa.
Per cui

A B = 9

cm,

A C = B C = 6

cm.
Troviamo l'altezza

C H

del triangolo

A B C

\bar{C H} = \sqrt{6^{2} - {(\frac{9}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{63}}{2} = \frac{3 \sqrt{7}}{2} .

Quindi l'area di

A B C

A = 9 \cdot \frac{3 \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27 \sqrt{7}}{4}

cm².

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

In un triangolo rettangolo di perimetro

120

cm, un cateto supera l'altro di

10

cm. Determina la lunghezza dell'ipotenusa.

Sia

x

il cateto più ________ e

x + 10

quello più ________.
L'ipotenusa dunque è

120 - x - (x + 10) = 100

________

2 x

da cui

x

________

55

.
Utilizziamo il teorema di Pitagora e scriviamo

x^{2}

________

(x + 10)^{2} = (110

________

2 x)^{2}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} + x^{2} + 20 x +

________

=

12100 - 440 x + 4 x^{2}

2 x^{2}

________

460 x + 12000 = 0

dividiamo tutto per

2

x^{2}

________

230 x + 6000 = 0

(x -

________

) (x -

________

) = 0

x =

________

\lor x =

________.
Per le condizioni di esistenza

x =

________ è l'unica soluzione accettabile, quindi l'ipotenusa misura ________ cm.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza