Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Potenze, radici e somme algebriche di radicali

FIP02BBblu14 - Potenze, radici e somme algebriche di radicali

10 esercizi

SVOLGI

INFO

Applica le regole dei prodotti notevoli per semplificare la seguente espressione:

(\sqrt{3} + 2)^{2} (\sqrt{3} - 2)^{2} + (\sqrt[5]{2 \sqrt{2}})^{10} +

[(5 + 3 \sqrt{3}) (5 - 3 \sqrt{3})]^{3}

(\sqrt{3} + 2)^{2} (\sqrt{3} - 2)^{2} + (\sqrt[5]{2 \sqrt{2}})^{10} +

[[(5 + 3 \sqrt{3}) (5 - 3 \sqrt{3})]^{3} =

(3 -

________

)^{2} + (

________

)^{10} +

[25 -

________

]^{3} =

________

1 +

________

+ [- 2]^{3} =

________

Completamento chiuso

Vero o falso?

\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt[4]{4}

\sqrt[3]{54} - \sqrt[6]{4} = 3

\sqrt{40} + \sqrt{10} = \sqrt{90}

\sqrt{\sqrt{63} + \sqrt{28}} = \sqrt{175}

Vero o falso

Calcola l'area di base di un cubo di volume

6 \sqrt[5]{162}

cm³.

Determiniamo la lunghezza dello spigolo

l

del cubo:

l =

________

=

\sqrt[3]{\sqrt[5]{6^{5} \cdot 162}} =

\sqrt[15]{6^{5} \cdot 2 \cdot 3^{4}} = \sqrt[15]{2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 2 \cdot 3^{4}} =

________

= \sqrt[5]{2^{2} \cdot 3^{3}}

.

Calcoliamo l'area

A

della base del cubo:

A = (\sqrt[5]{2^{2} \cdot 3^{3}})^{2} =

________

=

\sqrt[5]{2^{4} \cdot 3^{6}} = 3 \sqrt[5]{2^{4} \cdot 3} = 3 \sqrt[5]{48}

Completamento chiuso

Considera il parallelogramma

A B C D

in figura, in cui

A H = 2 \sqrt{5}

cm,

H B = 5 \sqrt{5}

cm e

D H = 5 \sqrt{2}

cm.
a. Verifica che il triangolo

A B D

è rettangolo.
b. Calcola perimetro e area del parallelogramma.

a. Per verificare che il triangolo

A B D

è rettangolo dobbiamo verificare che vale la relazione

A B = \sqrt{A D^{2} + D B^{2}}

.
Calcoliamo le lunghezze dei lati

A D

B D

applicando il torema di Pitagora ai triangoli

A H D

B H D

, rispettivamente:

\bar{A D} = \sqrt{{\bar{A H}}^{2} + {\bar{H D}}^{2}} = \sqrt{(2 \sqrt{5})^{2} + (5 \sqrt{2})^{2}} =

________

= \sqrt{70}

;

\bar{B D} = \sqrt{{\bar{H B}}^{2} + {\bar{H D}}^{2}} = \sqrt{(5 \sqrt{5})^{2} + (5 \sqrt{2})^{2}} =

\sqrt{125 + 50} = \sqrt{175}

;

\bar{A B} = \bar{A H} + \bar{H B} = 2 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} =

________;

\sqrt{{\bar{A D}}^{2} + {\bar{D B}}^{2}} = \sqrt{(\sqrt{70})^{2} + (\sqrt{175})^{2}} =

________

= \sqrt{245} = 7 \sqrt{5} = A B

.

Abbiamo verificato che vale il teorema di Pitagora, quindi possiamo concludere che il triangolo

A B D

è rettangolo.

b. Il perimetro del parallelogramma è dato dalla somma dei suoi lati:

\bar{A B} + \bar{B C} + \bar{C D} + \bar{A D} =

7 \sqrt{5} + \sqrt{70} + 7 \sqrt{5} + \sqrt{70} =

________

=

2 (7 \sqrt{5} + \sqrt{70})

.
L'area del parallelogramma è data dal prodotto della base per la sua altezza relativa:
________

=

7 \sqrt{5} \cdot 5 \sqrt{2} =

________.

Completamento chiuso

Completa in modo che siano verificate le uguaglianze.

a.

(2

________

- 3 \sqrt{3})^{2} =

35 - 12 \sqrt{6}

(

________

- 3) (2 - \sqrt{8}) = 6 \sqrt{8} - 17

c. ________

=

\sqrt{2}

(1 + \sqrt{3})^{2} = 2 (2 +

________

)

Completamento chiuso

Scrivi le condizioni di esistenza e poni sotto forma di un unico radicale.

\sqrt{\frac{3}{x^{2} - 4} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 4 x + 4}{9}} .}

Scomponiamo tutti i radicandi:
________.
Scriviamo le C.E.:

\frac{3}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{(x - 2)^{2}}{9}} \geq 0

.
Poiché il secondo fattore è sempre positivo se

x \neq 2

ed è nullo se

x = 2

, affinché il prodotto sia positivo o nullo, ci basta porre

\frac{3}{(x - 2) (x + 2)}

________

0

,
tenendo conto del fatto che, per

x = 2

, il secondo fattore si annulla, ma il primo fattore non esiste.
Per risolvere la disequazione

\frac{3}{(x - 2) (x + 2)}

________

0

ci serve la tabella in figura ________, da cui ricaviamo le soluzioni:
________.
Poniamo sotto forma di un unico radicale.
________

Completamento chiuso

Semplifica la seguente espressione supponendo verificate le condizioni di esistenza.

[{(\sqrt[4]{\frac{2}{5} a})}^{3} \cdot {(\sqrt{\sqrt[5]{a^{4}}})}^{3} : a^{2}] \cdot (\sqrt[5]{a})^{2}

[{(\sqrt[4]{\frac{2}{5} a})}^{3} \cdot {(\sqrt{\sqrt[5]{a^{4}}})}^{3} : a^{2}] \cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

[

________

: a^{2}] \cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

[

(

\sqrt[4]{\frac{2}{5} a} \cdot \sqrt[10]{a^{4}}

)^{3} : a^{2}

]

\cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

[

(

________

\cdot \sqrt[20]{a^{8}})^{3} : a^{2}] \cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

[{(\sqrt[20]{{(\frac{2}{5} a)}^{5} \cdot a^{8}})}^{3} : a^{2}] \cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

[(

________

)^{3} : a^{2}]

\cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

[\sqrt[20]{{(\frac{2}{5})}^{15} a^{39}} : a^{2}] \cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

[\frac{a}{a^{2}} \sqrt[20]{{(\frac{2}{5})}^{15} a^{19}}]

\cdot (\sqrt[5]{a})^{2} =

\frac{1}{a} \sqrt[20]{{(\frac{2}{5})}^{15} a^{19}}

\cdot \sqrt[5]{a^{2}} =

\frac{1}{a}

________

=

\frac{1}{a} \sqrt[20]{{(\frac{2}{5})}^{15} a^{27}} = \sqrt[20]{{(\frac{2}{5})}^{15} a^{7}}

Completamento chiuso

Vero o falso?

x \geq 0

allora

\sqrt{\sqrt[6]{x}} = \sqrt[8]{x}

{(\sqrt[6]{8^{2}})}^{5} = 32

{(\sqrt[6]{7})}^{2} = \sqrt[12]{7}

La radice quadrata della radice cubica di

3

è la radice nona di

3

Vero o falso

Calcola il valore dell'espressione

8 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (x - 1)

per

x = 1 - \sqrt{2}

.

Nell'espressione data sostituiamo a

x

il valore assegnato, poi svolgiamo i calcoli:

8 (1 - \sqrt{2})^{3} - 24 (1 - \sqrt{2})^{2} + 16 (1 - \sqrt{2} - 1) =

Svolgendo alcuni passaggi si ottiene:

8 (7

________

) - 24 (3 - 2 \sqrt{2}) - 16 \sqrt{2} =

56 - 40 \sqrt{2} - 72 + 48 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} =

16 -

________

= - 8 (2 + \sqrt{2}) =

________.

Completamento chiuso

Scomponi in fattori le seguenti somme algebriche. Supponi verificate le C.E.

a.

\sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{15} =

________

b.

x^{3} - x^{2} \sqrt{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x =

________

c.

4 a^{2} - 2 \sqrt{5} a + \frac{5}{4} =

________

d.

8 - 2 \sqrt{15} =

________

Completamento chiuso